数学建模钢管订购和运输

钢管的订购和运输优化模型

摘要

本文建立的多元非线性优化模型。问题一在保证天然气管道铺设可以顺

利实施的情况下，给出了钢管的订购与运输总费用最小的方案。在求钢管由钢厂运输到站点的费用和铺设钢管时产生的运输费，根据图一，我们通过深度优先遍历的方法对整个图一进行路径搜索，然后根据每条搜索到的路径上的铁路和公路上的不同权重，找到了各个钢厂到各个天然气管道上的站点的最佳路径。对于整个优化过程我们给出了相关的算法，并用matlab 软件编程，经过一系列计算之后，得出了最优的订购与运输方案。对于问题 1 ，我们求得的最优解为（具体方案见表五）：

对于问题 2 我们经过计算比较得出： S6钢管销价的变化对购运计划和总费用

影响最大。 S1 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大

对于问题 3 ，当天然气管道呈现的是一个树状图的时候，我们得到的最优解

关键字：非线性优化深度优先遍历最佳路径一、问题重述

要铺设一条 A1 A2 A15的输送天然气的主管道, 如图一所示（见下

页）。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1,S2, S7 。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km）。

为方便计，1km主管道钢管称为 1 单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂 S i在指定

期限内能生产该钢管的最大数量为 s i个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为 p i

万元，如下表：

1 单位钢管的铁路运价如下表：

3

104

3 104运价（万

元）20 23 26 29 32

里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000 运价（万

元）37 44 50 55 60 1000km以上每增加 1 至100km运价增加 5 万元。

公路运输费用为 1 单位钢管每公里0.1 万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点 A1,A2, , A15 ，而是管

道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要

求

给出模型和结果。

290

A3

301 A2

A1

S3

S4

S2 690 16 320

160

20

690 70

1200 170 S6

11

720 52 500

62

420 A14 202 462 S5

1150

600

80

75 1100

195

20

S1 70

12

42 10 220

A13

210

A12

30

10

10

31

20

480

A9

680

A8

A10

300A11

194205 A6

A5

606

A4

A7

图一

二、模型假设

1、假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路；

2、运费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他一切外因带来的费用；

3、钢管在铺设过程中以1km 为单位进行铺设；

4、钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；

5、所有钢管在指定期限内都能按时生产并运送指定地点；

6、钢管铺设过程中由站点向左右两边进行铺设。

三、符号说明

S i ：第i 个厂 i 1,2 7 ；

A j ：第j 个站点 j 1,2 15 ；

m ij : S i向 A j运送的钢管量单位（km）；

max i : S i 在指定期限内的最大生产量单位（km）；

R j : A j向右铺设的钢管量单位（km）；

L j : A j向左铺设的钢管量单位

1,2 14 单位（km）；

D j : A j到A j 1间的距离

D0 : 管道全线总长单位（km）；

P i : S i钢管出厂销价 i 1,2 7 单位（万元/单位）；

T ij : S i向A j运送一单位钢管所需的铁路费单位（万元/单位）；

D ij : S i向A j运送一单位钢管所需的公路费单位（万元/单位）；

M ：购买钢管所花的总费用；

Y : 由厂到站点所需运输总费；

Y0 ：由站点到铺设地点所需运输总费；

W : 订购和运输钢管所需总费用单位（万元）。

四、问题分析

问题一是在一定约束条件下的非线性优化问题，由题意知，拟建立以总费用为目标函数来寻求最优解。总费用W 由钢管的购买费、厂到站点的运输费以及站点到铺设地点的运输费三部分组成。一、钢管的购买费可由在每个厂的购买量与每个厂的出厂销价的线性运算得到。在每个厂购买的钢管量必须大于500km ，否则则不在该厂购买。可以构造一个 1 7的矩阵S，那么当

S i为0时，表示不在第i 个钢厂购买，否则则在第i 个钢厂购买大于500km 的钢量。二、要求得每个钢厂到站点的运输费需先知道每个厂到各个站点的钢管输送量，以及所选择的路线即铁路总长和公路总长，所以需要首先计算出各个钢厂到每个站点的最佳运输路径，使得平均单位公里的运输费用最小。但是由于铁路每公里的运输费用不是线性变化，而是变化不均匀的分段函数。在这里，我们利用深度优先遍历，找到某个厂到达各个站点的所有路径，然后根据每条路径的铁路和公路里程数计算出平均每公里运输费用最小的一条。以此类推，计算出所有钢厂到所有站点的最佳路径。三、在站点到铺设地点的运输费问题上，如果我们认为车边向前走边进行铺设，即边走边将钢管放下，那么就需要通过积分来计算。但是，尽管用积分算下来结果会很精确，但在实际中不可能这样实施。另外，这也与题目中不足整公里的按整公里计算相矛盾。所以，我们假设以1km为单位进行铺设，即铺设中车每向前开1km便将1km的钢管放下。由于铺设管道是线型的，除了两个端点外，每个站点需要往两边进行铺设管道。所以，假设第j 个站点往左、右边铺设管道为 R j和L j 公里，则由站点到铺设地点的运输费就可以通过等差数列求和得到。问题二即为对问题一中模型的灵敏度分析，在讨论各厂的钢管销价和生产上限对购运计划和总费用的影响时，只让其中一个量变化，其他一切条件皆不变，