11_1对弧长曲线积分
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2
(3)
21
ds l
( l 曲线弧 的长度)
教师：周志轩
( 由1, 2 组成)
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3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y )ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
在曲线
Mk sk M k 1
都存在, 则称此极限为函数
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
4 教师：周志轩
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结束
如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
15
教师：周志轩
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思考: 例5中 改为 计算
, 如何
X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
( X 1) 2 ds
利用形心公式
2 X ds
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧
曲线积分 曲面积分
1
曲面域
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
教师：周志轩
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第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
k 1
3
教师：周志轩
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2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
( k ,k , k )
0
lim
n
k 1
f ( k ,k , k )sk
记作
f ( x, y, z) ds
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练习：
x2 y2 1, 其周长为a，则 4. 设L是椭圆 4 3
（考研真题）
L
( 2 xy 3 x 2 4 y 2 )ds ( 12a
).
20
教师：周志轩
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内容小结
1. 定义
L f ( x, y) ds
f ( x, y , z ) d s
2 3 π a 2 X 2 π a 3
教师：周志轩
圆 的形心 在原点, 故 X 0
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16
例6. 计算
其中 为球面
x 2 y 2 z 2 9 与平面x z 1的交线. 2
1 ( x 1 )2 1 y 2 1 2 4 , 化为参数方程 解: : 2 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2π : y 2 sin z 1 2 cos 2 则
x
1
y
x 1 4x 2 dx
0
0 1
B(1,1)
y x2 L
1
1 2 (1 4x ) 12 1 ( 5 5 1) 12
11
3
2
0
O
1 x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
2. 性质
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) d s g ( x, y, z )ds (2) f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
(1)
1
( , 为常数)
f ( x, y, z ) ds
8
0 k 1
lim( ] f [ ( k ) 0 k ) f ( k , k )sk ,
k 1
教师：周志轩
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n
因此
说明:
(1) sk 0, tk 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
9 教师：周志轩
y
ds d y dx x x
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2
2
O
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
ds
( 2 sin ) 2
( 2 sin ) d 2d
2
17
9 2π I 2 d 18 π 2 0
教师：周志轩
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y ds 解: d Fx k cos ( x, y ) 2 R ds d Fy k 2 sin R O R x R π 2k 2k π sin cos Fx cos d R R 0 0 π 2k 2k π cos sin Fy sin d R R 0 0 故所求引力为 F 4k , 2k π R R
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
O
( )
L R x
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 0 2 R 3 ( sin cos )
2π 2 a k 2 (3a 2 4 π 2 k 2 ) 3
14 教师：周志轩
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例5. 计算
其中 为球面 所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
2
x 2 ds y 2 ds z 2 d s
1 2 2 2 x d s ( x y z ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
10 教师：周志轩
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1)
2
教师：周志轩
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
B
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
A
2
(2)
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
组成)
(由
( l 为曲线弧 的长度)
6 教师：周志轩
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
O
x
4 4
13
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
π
0
4 a 2 cos
d
教师：周志轩
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例4. 计算曲线积分 线
其中 为螺旋
的一段弧.
2
解:
( x
2
y z ) ds
2
a k
2
2
0
2π
[a 2 k 2 t 2 ] d t
5 教师：周志轩
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3. 性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z)ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
1
（, 为常数)
s k
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) t k ,
lim
f [ ( k ) , ( k ) ] 0
k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim
b
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
22 教师：周志轩
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思考与练习
y x2 y2 1周长为a , 求 1. 已知椭圆 L : 3 4 3 (2 xy 3x 2 4 y 2 ) ds 2 O 2x L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
n
证: 根据定义
lim
7
f ( k ,k )sk 0
k 1
教师：周志轩
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设各分点对应参数为
点 ( k ,k ) 对应参数为
3. 计算曲线积分 Le
x2 y2
ds,
其中L为圆周 x2+y2=4,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界。
2 17 1 4 17 3 2 2 答案：1. ln ; 2. (1 e ) ; 3. e (2 ) 2 . 2 8 2 1 2 2 2
19 教师：周志轩
提示: 利用对称性
Fra Baidu bibliotek
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
23
2 x( )
教师：周志轩
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2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) I z ( x y ) d s
18 教师：周志轩
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练习：
1. 计算 I Lxds, 其中L为双曲线xy=1从点(0.5,2)至点(1,1)的弧段。
1 ds, 2. 计算 I 2 L x y2 z2 其中L为曲线 x=etcost, y=etsint, z=et上相应于t从0变到2的这段弧。
分为
L f ( x, y) ds lim0 f ( k ,k )sk k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) 则 f ( x, y , z ) d s
3 2 R sin
12 教师：周志轩
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
(0 π ) 4
π 4 r cos
(3)
21
ds l
( l 曲线弧 的长度)
教师：周志轩
( 由1, 2 组成)
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3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y )ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
在曲线
Mk sk M k 1
都存在, 则称此极限为函数
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
4 教师：周志轩
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如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
15
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思考: 例5中 改为 计算
, 如何
X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
( X 1) 2 ds
利用形心公式
2 X ds
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧
曲线积分 曲面积分
1
曲面域
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
教师：周志轩
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第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
k 1
3
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2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
( k ,k , k )
0
lim
n
k 1
f ( k ,k , k )sk
记作
f ( x, y, z) ds
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练习：
x2 y2 1, 其周长为a，则 4. 设L是椭圆 4 3
（考研真题）
L
( 2 xy 3 x 2 4 y 2 )ds ( 12a
).
20
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内容小结
1. 定义
L f ( x, y) ds
f ( x, y , z ) d s
2 3 π a 2 X 2 π a 3
教师：周志轩
圆 的形心 在原点, 故 X 0
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例6. 计算
其中 为球面
x 2 y 2 z 2 9 与平面x z 1的交线. 2
1 ( x 1 )2 1 y 2 1 2 4 , 化为参数方程 解: : 2 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2π : y 2 sin z 1 2 cos 2 则
x
1
y
x 1 4x 2 dx
0
0 1
B(1,1)
y x2 L
1
1 2 (1 4x ) 12 1 ( 5 5 1) 12
11
3
2
0
O
1 x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
2. 性质
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) d s g ( x, y, z )ds (2) f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
(1)
1
( , 为常数)
f ( x, y, z ) ds
8
0 k 1
lim( ] f [ ( k ) 0 k ) f ( k , k )sk ,
k 1
教师：周志轩
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n
因此
说明:
(1) sk 0, tk 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
9 教师：周志轩
y
ds d y dx x x
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2
2
O
目录
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
ds
( 2 sin ) 2
( 2 sin ) d 2d
2
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9 2π I 2 d 18 π 2 0
教师：周志轩
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y ds 解: d Fx k cos ( x, y ) 2 R ds d Fy k 2 sin R O R x R π 2k 2k π sin cos Fx cos d R R 0 0 π 2k 2k π cos sin Fy sin d R R 0 0 故所求引力为 F 4k , 2k π R R
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
O
( )
L R x
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 0 2 R 3 ( sin cos )
2π 2 a k 2 (3a 2 4 π 2 k 2 ) 3
14 教师：周志轩
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例5. 计算
其中 为球面 所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
2
x 2 ds y 2 ds z 2 d s
1 2 2 2 x d s ( x y z ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
10 教师：周志轩
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1)
2
教师：周志轩
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
B
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
A
2
(2)
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
组成)
(由
( l 为曲线弧 的长度)
6 教师：周志轩
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
O
x
4 4
13
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
π
0
4 a 2 cos
d
教师：周志轩
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例4. 计算曲线积分 线
其中 为螺旋
的一段弧.
2
解:
( x
2
y z ) ds
2
a k
2
2
0
2π
[a 2 k 2 t 2 ] d t
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3. 性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z)ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
1
（, 为常数)
s k
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) t k ,
lim
f [ ( k ) , ( k ) ] 0
k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim
b
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
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思考与练习
y x2 y2 1周长为a , 求 1. 已知椭圆 L : 3 4 3 (2 xy 3x 2 4 y 2 ) ds 2 O 2x L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
n
证: 根据定义
lim
7
f ( k ,k )sk 0
k 1
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设各分点对应参数为
点 ( k ,k ) 对应参数为
3. 计算曲线积分 Le
x2 y2
ds,
其中L为圆周 x2+y2=4,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界。
2 17 1 4 17 3 2 2 答案：1. ln ; 2. (1 e ) ; 3. e (2 ) 2 . 2 8 2 1 2 2 2
19 教师：周志轩
提示: 利用对称性
Fra Baidu bibliotek
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
23
2 x( )
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2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) I z ( x y ) d s
18 教师：周志轩
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练习：
1. 计算 I Lxds, 其中L为双曲线xy=1从点(0.5,2)至点(1,1)的弧段。
1 ds, 2. 计算 I 2 L x y2 z2 其中L为曲线 x=etcost, y=etsint, z=et上相应于t从0变到2的这段弧。
分为
L f ( x, y) ds lim0 f ( k ,k )sk k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) 则 f ( x, y , z ) d s
3 2 R sin
12 教师：周志轩
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
(0 π ) 4
π 4 r cos