09-不定积分的第二类换元法课件

不定积分的 第二类换元法
The second type of Substitution in Indefinite Integrals
第二类换元公式
第一类换元法
设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x) 可导， 则
ff[[((xx))]]((xx))ddxx ff((uu))dduu uu((xx)) f (x) d x ff[[((uu))]]((uu))dduu xx((uu))
例 求积分 a2 x2 d x (a 0)
sin 2 x cos2 x 1
解
令
x
a
sin
t
，t
π 2
,
π 2
则
aaa22xxx222ddxx a cost a cost d t a2 cos2 t d t
a2 2
2
(1
cos 2t) d t
a 2
t
1 2
sin
2t
定理 设 x (u) 是单调的可导函数，且(u) 0
又 ff[[((uu))]]((uu))有原函数，则有换元公式
f ( x) d x ff[[((uu))]]((uu))dduu 11 uu ((xx))
证 设 f [(u)](u) 有原函数 (u)， 并记
F ( x) (u) |u1( x)
x
a2
(a
0)
tan2 x 1 sec2 x
解
令
x
a
tan
t
，t
π 2
,
π 2
则
xd2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa2
a s1ec
t
a
sec2
t
d
t
sec t d t ln sec t tan t C
由 tan t x 得 sect a2 x2
a
a
a2 x2 x
t
a
所以
d x ln x2 a2 x C
第二类换元法 举例
第二类换元
法设 x (u) 是单调的可导函数，且(u) 0 又 f [(u)](u) 有原函数，则有换元公式
f ( x)d x fff[[((uuu))]]((uuu))ddduuu 1 u ( x )
ff((xx))ddxx|xx((uu)) f [(u)]d[(u)] ff[[((uu))]]((uu))dduu
三角代换法
例 求积分
1 x2 x4
dx
解 令 x sin t ，则
1 x2 x4 d x
cos t cos t d t
sin4 t
cot2 t csc2 t d t
cot2 t d(cot t) 1 cot3 t C
3
x sin t
1 x2 x4
d
x
1 cot3 t 3
x2 a2
a
a
ln(x x2 a2 ) C ln a
ln(x x2 a2 ) C1
同理可得
d x ln x x2 a2 C x2 a2
常用的变量代换有 ：
含 a2 x2 的可令x a sin t 含 a2 x2 的可令 x a tan t
含 x2 a2 的可令 x a sec t
C
由 ssinnttxx得 ccoosstt a
于是
aa2 xx2 a
a x
t
a2 x2
a2 x2 d x a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
a2
x2
dx
a2
t 1 sin 2t C
2
a (t sin t cos t) C
2 2
2
例
求积分
xd2
C
3
1 3
1 x2 x
C
3
(1 x2 )2 C 3x3
t
2
,0
t
0,
2
1 x
t 1 x2
例 求积分
1 x2 x4
dx
解 令 x 1 ，则 t
1 x2 d x
x4
t4
1 1 t2
1 t2
d
t
t
t2 1d t
3
1
((tt22
33
11))22
C
(1
x2
)2
C
3
3x3
小结
1．不定积分的第二类换元公式 ； 2．举例计算不定积分 ．
d x ln x x2 a2 C (a 0)
x2 a2
(u) f [(u)](u)
则
(u) f [ (u)](u) F ( x) (u) |u1( x)
F(x) d dduu ff[((uu))]]((uu)) 11
d u ddxx
((uu))
f [(u)] f (x)
因此 F(x)是 f (x) 的原函数，从而
ff((xx))ddxx F ( x) C f(u[[)|(uuu))]1 (x(u)u))Cdduuu1(x)