《弹塑性力学》第九章 空间轴对称问题

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第一节
空间轴对称问题的基本方程
代入齐次拉梅方程，第一式自然满足，而 第二式为基本方程： 4=0 (r,z)——为双调和方程。 同时应力分量由(r,z)表示为：
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
轴对称问题按位移求解，归结为寻找一个 恰当的重调和函数(r,z)，使按其导出位移和 应力能满足给定的边界条件。
应力：
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
根据边界条件来确定A1和A2： 在z=0且r 0边界上, z=0 自然满足。 在z=0且r 0边界上, zr= 0
y
P

R
x
（1-2）A1+ A2 = 0—(a)
r z
z
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
还需一个条件（包括P的）。
在z= z0 0平面上，要求 z 的合力与P平衡。
z0 P
r
z
z
r
dr
将z 表达式代入，得
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
而
P - 4A1(1-）- 2 A2 = 0 ——(b)
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
4.物理方程（四个）：
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
r=e2Gr、 z=e2Gz、
其中 或
=e2G、 rz=G rz
——体积应变
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第一节
5.边界条件
空间轴对称问题的基本方程
并考虑适当的边界条件。
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
b. 引入Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体 力作用时） 对于位移法的基本方程的解可由考虑体 力的一个特解加上齐次方程的通解。
轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一 个 Love 位移函数 (r,z), 使得位移由 (r,z) 表示：
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
(r,z) 满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡
方程及四个相容方程，共同要求 2 2= 4 =0 ——(r,z)应满足的基本微分方程。
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第一节
其中
空间轴对称问题的基本方程
7．按位移法解 a．基本未知函数： ur和w 基本方程两个：
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
3．待求的物理量（10个） ：ur、w、r、、 z、 rz= zr、r、、z、 rz=zr 1.2基本方程 1.平衡微分方程（两个）：
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
2.几何方程（四个）：
3.变形协调方程（四个）
在Su上
位移边界：
力的边界：在 r=r0 在 z=z0 6.按应力解法 四个应力分量r、、z、
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rz
为基本未知量。
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
基本方程（六个）： 两个平衡微分方程与 四个用应力表示的变 形协 调方程； பைடு நூலகம்加上力的边界条件。
如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则 可采用应力函数解法，引入应力函数 (r,z) ， 使得应力用 (r,z) 表示:
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第一节
空间轴对称问题的基本方程
1.1空间轴对称问题特点：
与平面轴对称问题类似，空间轴对称 问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴） 对称，导致如下简化， 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、 应力、应变）均为r、z的函数。 2．荷载：体力f=0，面力 F 0，位移u=0， 应力 r= z=0，应变 r=z=0。
第九章
空间轴对称问题
本章讨论空间轴对称问题的基本方程和 一些轴对称问题的基本解。对于一般空间问 题的解法我们在第五章已有讨论，但一般空 间问题一般解（具体求解）通解讨论在杜庆 华等编著的“弹性理论”中有较多的论述。 我们不刻意从数学上论述一般空间问题一般 解的表达式，而对于空间轴对称问题作一些 讨论和举例。
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P

x
y
R
r z
z
第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
Boussinesq 采取 Love 函数求解， (r,z) 为重调和函数，由 (r,z) 的三次微分导出应力。 y
选 (r,z) 为r和z的正一次幂式: (r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
在z=0平面上
P
r
z
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第三节 半空间体在边界上受法向分布力q
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2) 、A2 = -（1-2）P /（2）
代回位移、应力表达式，见徐芝纶（上册） P.297 （ 9 － 17 ） 、 （ 9 － 18 ） 式 ， 称 为 Boussinesq问题解。 由 P.297 （ 9 － 17 ）、（ 9 － 18 ） 式见：位移 和应力随R 的增加而减小。
P

R
x
r z
z
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
P
(r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] 则 (r,z) 自然满足 4=0 。
代入位移、应力计算式. 位 移 ：

x
y
R
r z
z
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
比较应力函数解法和love位移法知： (r,z)= (r,z)
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第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
半空间体，体力不计，边界受法向集中力 P作用. 轴对称问题，P作用在坐标原点上。 已知，当z=0且r 0时, z=0 , zr= 0； 当R 时，R=(r2+z2)1/2， 应力、位移 0； 当R 0时，应力奇异。