高一十五讲 三角函数总复习(教师版)

1. 角的概念的推广

（1）角的概念、正角、负角、零角的概念。在这些概念中要注意旋转的方向。

（2）象限角的概念，这个概念的前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合。在这个前提下，才能由终边所在象限来判定某角为第几象限角。在上述前提下，如果某角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。 ①会表示象限角、区间角、终边相同的角及其它特殊角。

（3）终边相同角的统一记法，与角α终边相同的角的一般形式为α＋k ·360°。要注

意：①k ∈Z ；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。 2. 弧度制

（1）把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。

（2）弧度制的意义：首先是定义三角函数及绘制三角函数图象的需要，其次弧度数是实数，它把角集合与实数集合之间建立了一一对应关系，再次可简化弧长公式与扇形面积公式。

（3）角度制与弧度制的换算：180°＝πrad 是角度与弧度换算公式的基础，这里π是圆周率，应注意π≠3.14，π≠1 rad 。

3. 任意角的三角函数

（1）三角函数的概念：

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离为r ，三个量的六种比值是：

这六种比值分别叫做α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。这种以角为自变量，

以比值为函数值的函数，统称为三角函数。由于角α终边确定，由几何知识知，这六个比值与P 点在α终边上的位置无关。

②会由的范围求

，，的范围。ααα

α232弦长公式：扇形面积：l l ==

αr S r 12sin cos tan cot sec csc αααααα=

=====y r x r y x x y r x r y ，，，，，三角函数总复习

（2）三角函数线

借助三角函数定义，可用单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 等分别表示α角的正弦，余弦，正切。可见三角函数线是三角函数定义的形象表示。（注意课本上字母的确定位置。） （3）三角函数值以及符号

由于用角α终边上点的坐标来定义三角函数，因此，由点的坐标的符号，就可以决定α的六个三角函数值符号。

（4）终边相同的三角函数值

由三角函数的定义知：终边相同的角的同一三角函数值相同。即：

它可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°之间角的三角函数值。 4.

（1）根据一个角的某一三角函数值求其它的三角函数值。需注意先用平方关系，后用商数关系，最后用倒数关系，关键注意符号问题。

（2）三角函数式的化简，注意化简的结果做到“五个尽量”，即①项数尽量少，②次数尽量低，③尽量不含分母，④尽量不带根号，⑤尽量化为数值。

（3）三角恒等式的证明，掌握常规的化弦法（即：切割化弦）以及由繁到简法等。 5. 诱导公式

同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。 此外，我们还证明了诱导公式

对于α为任意角都能成立。

（1）［0°，360°］间的角用［0°，90°］间的角表示。

若0°≤α≤90°，则［90°，180°］间的角可表示为180°－α。 ［180°，270°］间的角可表示为180°＋α， ［270°，360°］间的角可表示为360°－α。

()

()()sin sin cos cos tan tan αααααα+=+=∈+=k k k Z)k o o o

·，

·，·360360360(公式的推导−→−−−−公式的运用→−−−−()概括地说，就是，，的三角函数值，等于的

απαπαπαα+∈-±-22k k Z sin cos cos sin πααπαα22-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪=-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪=()()

()（），，以及2180180sin sin cos cos sin sin ,

o o +=-+=--=-αααααα

6. 三角函数的图象和性质

［要点1］用“五点法”作图。五个特殊点。

［要点2］正弦函数、余弦函数性质。研究函数性质通常从五个方面研究：定义域、值

域、单调性、奇偶性、周期性。

（1）五点法画图

（2）变换

()cos cos -=αα都是在单位圆中利用三角函数的定义推导。

正弦函数 余弦函数 正切函数

()8.sin 函数的图象

y A x =+ωϕ

8. 已知三角函数值求角

（1）反正弦概念 反正弦的定义

理解反正弦概念须注意以下几点：

arcsina 无意义。

()（）图象如何变换得到图象

3y x y A x ==+sin sin ωϕ

周期变换

()在闭区间，上，符合条件的角叫做实数的反

-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-≤≤π

π2211sin x a a x a 正弦，记作，即，其中，，且。

arcsin arcsin sin a x a x a x =∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=π

π22①当时，表示一个角，且，，当时，

||arcsin arcsin ||a a a a ≤∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥>1221π

π()()

②sin arcsina a a =-≤≤11

（2）反余弦概念

反余弦的定义

理解反余弦定义须注意：

（3）反正切概念

（20-40分钟）

【典题导入】【亮点题】

③当时，，；时，。

010200<≤∈⎛

⎝ ⎤⎦

⎥==a a a a arcsin arcsin π当时，，。

-≤<∈-⎡⎣⎢⎫

⎭⎪1020a a arcsin π[]()在区间，上，符合条件的角叫做实数的反余弦，

011πcosx a a x a =-≤≤[]记作，即，其中，且。

arccos arccos cos a x a x a x =∈=0π①，无意义。

a a >1arccos ②时，；时，。010202<≤≤<

==a a a a arccos arccos ππ-≤<<≤102a a 时，

。π

πarccos ()在开区间，内，符合条件为任意实数的角，叫做实数

-⎛⎝ ⎫⎭

⎪=π

π22tan x a a x a a x a x a x 的反正切，记作，即，其中，且。

arctan arctan tan =∈-⎛⎝ ⎫⎭

⎪=π

π22()由反正切定义易得，；

tan arctan a a =a a a a a a >∈⎛

⎝ ⎫⎭⎪==<∈-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪00200020时，，；

时，；

时，，。

arctan arctan arctan ππ