幂级数收敛域(绝好课件)资料

当x 1时,级 数 为
1
发散
n1 n
故,级数收敛域为 [1, 1)
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问题： 由以上三个例题
[小可结]以由看以出上，三幂个例级子数可的见收, 幂敛级域数
是怎样的？
的收敛域有以下三种情形:
(1) 收敛域为整个实数集;
(2) 收敛域为一个单点集;
(3) 收敛域为一个有穷区间.
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由 达 朗 贝 尔 判 别 法 知, 级 数 收 敛
故,级数收敛域为 (,)
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[例2] 求 (n!)xn 的 收 敛 域. n1
[解] 当x 0时, 级数收敛;
当x 0时,
lim un1( x) lim (n 1) x n un ( x) n
由 达 朗 贝 尔 判 别 法 知, 级 数 发 散
n0
考 察 lim un1( x) lim an1 x n1 lim an1 x
n un ( x)
n an xn
a n n
若 lim an1 ,则由达朗贝尔判别法知
a n n
当 x 1时, 幂 级 数 an xn收 敛; n0
an x n有 发 散 点.
n0
设x x0是 一 个 发 散 点,则 由 阿 贝 尔 定 理
知, 对 一 切 满 足x x0 的 点x,幂 级 数 an xn n0
都 发 散.
记 幂 级 数 an xn的 收 敛 点 集 为E. n0
则x0 是E的一个上界.
由 确 界 定 理 知, E有 上 确 界R.
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定理1 ( 阿贝尔定理 )
若 幂 级 数 an xn在 点x1( 0)处 收 敛,则 n0
对 满 足 不 等 式xx xx11 的 一 切 点x,幂 级 数
an xn绝绝对对收收敛敛; 若 幂 级 数 an xn在 点
n0
n0
x2 ( 0)处 发 散,则 对 满 足 不 等 式x x2
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定义 (幂级数的收敛半径、收敛区间)
R称 为 幂 级 数 an xn 的收收敛敛半半径径.
n0
区间(R, R)称为幂级数 an xn 的
n0
收收敛敛区间.
[注意] : 在端点x R处,幂级数
an xn的收敛性要另行讨论.
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[证]
由 条 件 知, 幂 级 数
lim
n
an
x1n
0, 使 得
0
n
an x1n M (n 0,1, 2,)
n
n
于 是, 有
an xn
an x1n
x x1
M x x1
因为当x
x1 时,等 比 级 数
M
n0
x x1
n
收敛
所 以,级 数 an xn 绝 对 收 敛
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n0
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第二部分证明用反证法 假 设 有 一 点x0 ,满 足 x0 x2 ,而 使 级 数
第二讲 幂级数（一） —— 幂级数收敛域
一、幂级数及其收敛性
二、幂级数的解析性质
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一、幂级数及其收敛性
什麽叫幂级数？
每一项都是幂函数的函数项级数
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n (1)
n0
绝 n0对an 收 x0n收敛,敛从. 而收 敛,矛 盾!
n0
则由前一部分的证明知,级数 an x2 n
所 以, 对 满 足 不 等 式x x2 的 一 切 点x,
幂 级 数 an xn发 散.
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问题： 由阿贝尔定理看， 幂级数的收敛域有何特点？
发散
绝对收敛
发散
•R
x2 x1
o
R•
x1 x2
x
发散
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绝对收敛
发散
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定 理2： 如 果 幂 级 数 an xn 既 有 非 零 n0
收 敛 点,又 有 发 散 点,则 必 存 在 唯 一
确 定 的 正 数R 0, 使 得
(1)当 x R时,幂 级 数 an xn绝 对 收 敛; n0
(2)当 x R时,幂 级 数 an xn发 散. n0
的 一 切 点x,幂 级 数 an xn发发散 散.
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n0
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发散
绝对收敛
发散
•
x2 x1
在 X2 发散
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•
o
x1 x2
x
在 x1 收敛
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怎样证明?
要 证 明: 任 取 x,当 x x1 时, an xn 收 敛. n0
用 比 较 法,只 须 找 一 个 不 等 式
作变换： x x0 t
aan xntnnaa00aa11xt a2tx22aanntxn n (2()2)
nn00
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问题：幂级数的收敛域是怎样的？
[例1] 求 xn 的 收 敛 域.
n1 n!
[解] 当x 0时, 级数收敛;
当x 0时,
lim un1( x) lim x 0 1 n un ( x) n n 1
x 处绝对收敛.
n0
(2)当 x R时,必 存 在x2 , 使 得 x x2 R
因 为R是E的 上 确 界, 所 以x2必 是 发 散 点,
于 是,幂 级 数
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an xn在 点x处 发 散.
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n0
问题： 怎样求幂级数的收敛半径?
设 有 幂 级 数 an xn ,
记 un an x n
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又 因 为, 幂 级 数 an xn 有 非 零 收 敛 点,
所以R 0.
n0
(1)当 x R时,必 存 在x1 , 使 得 x x1 R
因 为R是E的 上 确 界, 所 以x1必 是 收 敛 点,
于 是,由 阿 贝 尔 定 理 知, 幂 级 数 an xn在 点
故,级 数 只 有 一 个 收 敛 点: x 0
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[例3] 求 xn 的 收 敛 域.
n1 n
[解] 当x 0时, lim un1( x) lim n x x
n un ( x) n n 1
当 x 1时, 级 数 收 敛
当x 1时,级 数 为
(1)n
收敛
n1 n
an xn un
而 un
n0
变形
n
an xn
an x1n
x x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
收 敛.
只须
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an x1n M an x1n收 敛
n0
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[证] 设 an xn在 点x1( 0)处 收 敛
n0
即, 数 项 级 数 an x1n收 敛, 故 有
因 而, 数 列{annx01 } 有 界,即 存 在M