偏微分方程离散差分格式差分方法等

2u j
u j1
(2)
Taylor 展开
u n1 j
u
n j
t
u t
1 t2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 2!
x2
2u x 2
1 3!
x3
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u ( 2 ) 等价于：
u 1 t t 2
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J
u
n j
1
x
jJ
jJ
u
n j
x
jJ
~f n J
1
t
2
~f n J
1
t
2
再对 n求和 :
jJ
u
n j
1
x
jJ
jJ
u
0 j
x
jJ
N k 0
~ f
k
J
1
t
2
N k 0
~ f
k
J
1
t
2
可以看成是积分
u ( x, t )dx xJ1/ 2
x J 1 / 2
2
G1 if 1
• 1 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
11
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
• 定义
u d f 0
t i1 xi
对于一维单个守恒律：
u f (u) 0 t x 其差分格式如果具有如
下形式
u n1 j
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
14
3.1.6 偏微分方程的全离散方法
3.1.3 差分方程的修正方程
• 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 • 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 • Warming-Hyett方法：
u c u 0
(1)
t x
u
n 1 j
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2
2
u j1
u n1 j
t x
~ f
n j
1
2
~ f
n j
1
2
则为守恒型差分格式。
其中
~f
n j
1
称为数值通量，它是
2 l 个变量的多变量函数：
2
~f
n j
1
~f
(u
n j l 1
,
u
n jl
பைடு நூலகம்
2,
,
u
n jl
),
2
~f 满足相容性条件 :
~f (u , u , u ) f (u )
12
3.1.5 守恒型差分格式（续）
2u t 2
1 t2 6
3u t 3
c
u x
1 x2 6
3u x3
c
2
t
1 2
2u x 2
1 24
4u x 4
(3)
• 差分方程(2)写成算子的形式：
6
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
t
(e t
1)u
1 2
x
(e x
x
e x )u
1 2
2
e
x
x
2
x
e x
u
(4)
t4
4u t4
可以将
t 表示成
t
(e t
1 ) l 的级数
t
t
t
l1
b l
e
t t
1 l , b 1
1, b 2
1 2
,b3
1 3
,b3
3 8
最后得到
t
t
b
l
e
t
t
1 l
l1
l
bl
1 2
e
x
x
x
e x
1 2
2
e
x
x
2
x
e x
即有
u
t
k
k 1
n 1
xJ 1/ 2 u ( x,0)dx
x J 1 / 2
t 0
n
1
u
(
x
J
1
,
t
)
dt
2
t 0
n
1
u
(
x
J
1
,
t
)
dt
2
该积分代表离散的守恒 律。完全对应于连续的 守恒律：
u ( x, t)dx f (u ( x, t)) dt 0
• 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。
记算子
t
(e t
1)
t
u t
1 t2 2!
2u t2
1 t3 3!
3u t3
则
t
(e t
1)2
t2
2u t2
1 2
1 2
t 3
3u t3
2
1 6
1 2
1 2
t 4
4u t4
t
(e t
1)3
t3
3u t3
1
1 2
t 4
4u t4
t
(e t
1)4
满足稳定性要求的
amplificat ion factor G
A n1
G An 1
10
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）
G1eikx 1(coksxisinkx) 1(1coskx)isinkx
G2 1(1coskx)2 2sin2 kx14(1)sin2kx,
uin 1 tuinc 1 x(uin 1uin)0 , c0(1)
设 c t x
误差的基本解
代入 (1 ) :
u
n i
A n e ikx i
u n1 i
A e n 1 ikx i
u A e n
n ikx i1
i1
u
n 1
u
n i
(
u
n i
u
n i
1
)
A e n 1 ikx i A n e ikx i ( A en ikx i A e ) n ikx i1
符合 War min g Hyett 稳定性判别条件
. why CFL 1 for scheme (2) ?
8
3.1.4 差分方法的理论基础
• 相容性，稳定性，收敛性 • 等价性定理 • Fourier稳定性分析
9
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
( 1 ) p 2 p 1 k 2 p 1 p0
格式稳定的充分必要条
件是
( 1 ) p 2 p k 2 p 0 , k p 1
偶次项系数 满足 : ( 1 ) p 2 p 0
对于（ 2）：
1
c，
2
0, 3
1 6
c(c 2 t2
x2)
4
1 c2t 8
(3c 2 t2 x 2 )
ku xk
p0
2 p1
2 p1u x 2 p1
2p
p 1
2pu x2p
(5)
7
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u
t
k
k 1
ku xk
基本解为
p0
2 p1
2 p1u x 2 p1
2p
p 1
2pu x2p
e e ( i ) t ikx
( 1 ) p 2 p k 2 p p 1
13
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式
是和守恒律
un1 j
unj1 xt~ fjn12
~ fjn12
uf (u) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。