第九章压杆稳定性设计2010--

如图示，如取 E =200GPa，d =160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
直 线 平 衡 构 形
是不稳定的。
弯 曲 平 衡 构 形
失稳（屈曲）
在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯
曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直
线平衡构形的过程，称为失稳或屈曲。
临界压力
受压杆件由直线平衡状态过渡到微 弯的曲线平衡状态的最小荷载值。
Fcr：压杆失稳时的最小值；保持稳定的最大值
§9-2 压杆的临界荷载
定、一端自由，设材料的屈服极限 s 240MPa 弹性 模量E=210GPa。试按强度观念和稳定观念，分 别计算屈服荷载和临界压力，并加以比较。
解：
查表知： 10号工字钢 A 14.3cm2 I min 33cm4
2
屈服荷载 PS s A (240 106 ) (14.3104 ) N 343.2kN
y
附：
两端铰支细长压杆 临界压力欧拉公式的推导
F
x B Fcr M ( x) x
w
d 2w EI 2 M ( x) Fcr w dx
Fcr k EI
2
d w dx 2
2
k 2w 0

l A
w C1 sinkx C 2 coskx x 0, w 0, C 2 0 x l , w 0, C1 0 或 sinkl 0
例9 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
为一端固定、一端铰支的压杆。已知杆长l=2m, 直径d=65mm,材料的E=210GPa, p =288MPa,顶杆 工作时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数 nst =3.0。试校核该顶杆的稳定性。
解：1、计算顶杆的柔度
0.7
l
i I A
成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相 同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种 载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。
B B
A P
C P P
A
C P
D
(a) (b)
D
解： (a)杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
A
B
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
C P D (a)
P
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
第九章 压杆稳定性设计
本章重点 1、 压杆稳定的概念 2、 压杆的临界荷载 3、 压杆稳定性的合理设计
§9-1 压杆稳定性的概念
稳定？
构件保持原有平衡状态的能力，称为稳定性。
钢板尺：
一端固定
一端自由
承受轴向压力的工程构件
压杆
桁架中的压杆
Pcr
称为临界压力
本教材符号为：Fcr
压杆的两种平衡构形：
式中
Fmax
Fcr
[nst ]
Fmax ------压杆所受最大工作载荷 Fcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成： n
Fcr Fmax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际工作的稳定安全系数。
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
计算压杆临界应力的欧拉公式
欧拉公式的适用范围
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似 微分方程
E I v M ( x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，
欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用.
E cr 2 p
2
或写成
E p
2
记
E p p
2
2
2 E ( i A ) E EI cr 2 2 2 ( l ) A A (l ) A l i 2 l E 令 则 cr 2 i
Pc r
2
2
2
l i
E cr 2
2
压杆的长细比 （压杆的柔度）
解： (1)
EI Pcr 2 ( l)
2
E
2
d
4
64 ( l) 2
1 16
2 2
E I正
2
(2)
Pcr 正 Pcr 圆

( l)
2
2
E I圆
( l)
2

I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64


3
例5：五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构
欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
例8 ：一Q235钢杆,两端铰支,长l =1.5m,横截面直径为
50mm, E为206GPa,
P 为200MPa， 确定其临界压力。
I A 4 d 1 d 2 64 d 4
4
解: (1)计算
i
l 11.5 4 120 3 i 50 10 2 (2)计算 P P E 100 P (3) 使用欧拉公式, 并代入数据
d4
d 64 16.25mm d2 4
4
0.7 2 86.2 3 i 16.25 10
2、计算临界柔度
2E 210 109 p 84.6 6 P 288 10
3、稳定性校核

＞
4 12 65 10 2 9 (210 10 )( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
2 EI
l 2 sin2
当AB杆和CB杆的承受能力都同时达到临界值时F为 最大： 2 EI F cos 2 2 2 2 l cos tg ctg arctgctg 2
EI F sin 2 2 l sin
例7 ：长为1m的10号工字钢细长压杆，一端固
松木
28.7
0.19
稳定计算中，无论是欧拉公式或 经验公式，都是以杆件的整体变形 为基础的。局部削弱（如开孔、切 口等）对杆件的整体变形影响很小， 所以计算临界应力时，可采用未经 削弱的横截面面积 A 和惯性矩 I。 但对这类压杆进行强度校核时，应 使用削弱后的净截面面积。
§9-3 稳定性设计
稳定性条件：
n kl n , k l
2
x w w Fcr
sin kl 0
n 2 2 EI l2
Fcr k EI
Fcr
n 2 2 EI l
2
, n 0, 1, 2,
Fcr
2 EI
l2

l x
w C 1 sin
F Fcr
w
例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆
AB为零杆


1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压 2 E I N F N AB P 2 2 a
A B P1 P2
AC为零杆
P2
A
EI
2
a
2
B
a
C D C D
a
a
a
例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；
如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr 是原来的多少倍？
大柔度杆
cr
π E 2
2
Fcr Cr A 270 MPa
三、非细长压杆的临界荷载
p 时，一般采用以试验结果为依据的经验公式。
cr a b
2
抛物线公式
a , b 为与材料性质有关的常数。
求得压杆临界应力后，其临界荷载为：
Fcr cr A
临界应力总图
P
应用欧拉公式
Fcr 925.2 103 5.16 ＞ nst 3.0 n 3 F 18.3 10 9.8
该杆满足稳定性要求
例10 ：一压缩机连杆，材料为Q275钢，两端为
柱形铰支承，力学简图如图所示，承受最大轴向压 力为Fmax=60kN。若规定的稳定安全系数nst=3.5， F F 试校核连杆的稳定性。 x x
1、FP<FPcr :直线平衡构形
直 线 平 在扰动作用下，直线平衡构形转变 衡 构 为弯曲平衡构形，扰动除去后，能 形
够恢复到直线平衡构形，则称原来
的直线平衡构形是稳定的。
2、FP>FPcr :弯曲平衡构形
在扰动作用下，直线平衡构形 转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构 形，则称原来的直线平衡构形
N AB F cos , N BC F sin
2 EI
2 l AB
N AB 由欧拉公式：
N CB
2 EI
2 l CB
A

C
设支座A、C之间距离为l：
l AB l cos l CB l sin , N AB
2 EI
2
l cos
2
N CB
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
B
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
A P D (b)
C P
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
2 Ed
3
4
64a
2
例6：有一销接桁架ABC由两根具有相同截面和同
样材料的细长杆所组成。假设由于杆的失稳引起破 坏，试确定使载荷F为最大的角（假设0< </2）。 F 解：根据平衡条件, B
一、细长压杆的临界荷载（临界压力）
EI P cr 2 ( l )
2
称为长度系数
欧 拉 公 式
不同杆端约束取值不同（教材：表9.1）
两 端 铰 支
Pcr
l
EI
2
l
2
1
一 端 固 定 一 端 自 由
l
l
Pcr
l
EI
2 2
(2 l ) 2
一 端 固 定 一 端 铰 支
Pcr
0.7 l
EI
2 2
(0.7 l ) 0.7
0.3 l
两 端 固 定
0.25 l
Pcr
EI
2 2
0.5 l
(0.5 l ) 0.5
0.25 l
l 0.7 l
0.25 l
l
l 0.3 l
0.5 l
0.25 l
Pcr
EI
2
EI
2
EI
2
EI
2 2
cr
s p
2 A cr a b
P K
cr 2E 2
k
B
p K

直线公式的系数
材料 A3 钢
a( MPa)
304 461
b(MPa)
1.12 2.568
优质碳钢
硅钢 铬钼钢 铸铁
578பைடு நூலகம்
980.7 332.2 373
3.744
5.296 1.454 2.15
强铝
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
2
0.7 7
2 200109
64
2645 kN
Plj
EI 2 L
2
0.164
2
0.5 9
64
3136kN
P cr ( a ) P cr (b ) P cr (c )
2 9 8 EI (210 10 ) (33 10 ) 临界压力 P N 171kN cr 2 2 (2 1) (l ) PS 2 可见：压杆的承载能力取决于稳定 Pcr 而不取决于强度。
若仅从强度观念考虑那就很危险了！！！
二、压杆的临界应力
EI Pcr 2 (l )
h
h h (b)
l
b (a)
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b I ( l) h b 12 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
2
l
b (a)
h h (b)
h
例4：圆截面的细长压杆，材料、
杆长和杆端约束保持不变，若将 压杆的直径缩小一半，则其临界 压力为原压杆的＿＿＿＿＿；若 将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面，则其临界压力为 原压杆的＿＿＿＿＿。
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，
设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
A
P1
B
P2
A
B
a
C D C D
a
a
a
解：图(a)中，AD杆受压 2 EI N F N AD 2 P 1 2 2a
(1l )
2
(2 l )
2
(0.7 l )
(0.5l )
2
z y b x h
2 EI P cr ( l )2
注意判断在哪个平面内失稳
1、若杆端在各个方向的约束情况都 相同（如球形铰），则 I 应取最小的 形心主惯性矩； 2、若杆端在各个方向的约束情况不同 （如柱形铰），则 I 应取挠曲时横截 面对其中性轴的惯性矩。