算法设计与分析算法分析基础PPT课件
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能解决输入规模为多大的问题？
设在新机器上用 t 秒时间能解决输入规模为 N 的问题，则
由于此时
f (N)
N，2 新机器的运行速度/每语句为： t新
t0 , 64
代入关系式
f (N ) *t新 t ，得
N2
*
t0 64
t
n2
* t0
解，得
N 8n
思考：以上说明了什么问题？
2.2 算法的渐进分析
2. 大Ω符号--运行时间的下界
定义1.2 若存在两个正的常数c和n0，对于任意 n≥n0，都有T(n)≥c×g(n)，则称T(n)=Ω(g(n))
执
T(n)
行
次
c×g(n)
数
n情0
之 况
前 无
的 关
紧要
n0
问题规模n
2.2 算法的渐进分析
➢ 大Ω符号用来描述增长率的下界
➢ 也就是说， T(n)=Ω(g(n))是当输入规模为n时，算法消耗时间
➢若g(n)= O(f(n)) 则 O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。
➢若T(n)是关于n的k阶多项式，那么T(n)=O(nk)
2.2 算法的渐进分析
定理1.1 若T(n)=amnm+…+ a1n+ a0是一个m次多项式，则 T(n证)=明O：(n取mn)。0=1,当n>=n0时，利用T(n)的定义和一个简单的不等
渐进时间复杂度表示： 随着问题规模 n 的增长，算法执行时间的增长率和算法的语句频
度f（n）的增长率相同，则可记作： T（n）= O（f（n））
称 T（n）为算法的(渐近)时间复杂度
2.2 算法的渐进分析
二、表示方法 1. 大O符号--运行时间的上界
定义1.1 若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都 有T(n)≤c×f(n)，则称T(n)=O(f(n))
二、算法分析的目的： ➢ 设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法 ➢ 选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者
2.1 算法分析的基本概念
三、算法分析的两个阶段 1、事前分析—求出该算法的一个时间限界函数。 2、事后测试—收集此算法的执行时间和实际占用空间的 统计资料。
2.2 算法的渐进分析
一、相关概念 算法的渐进分析
确定一个算法时间的数量级是十分重要的，它在本质上反映了 一个算法所需要的计算时间。
2.2 算法的渐进分析
语句频度：语句执行的次数 算法的语句频度f(n)：
f(n)=∑( 语句(i)的执行次数） 算法中基本操作重复执行的次数之和
算法的执行时间：是所有语句的执行时间之和 T（n）=∑( 语句(i)的执行次数×语句的执行时间 ) (假设每条语句执行的时间相等)
意一个常数，此定理都成立。
此定理表明，变量n的固定阶数为m的任一多项式，与此多项式 的最高阶nm同阶.
2.2 算法的渐进分析
示例
2.2 算法的渐进分析
2.2 算法的渐进分析
2.2 算法的渐进分析
例.1）假设某算法在输入规模是 n 时为 f (n) 3* 2n .在某台计算机上
实现并完成该算法的时间是 t 秒. 现有另一台计算机,其运行速度为第
由于新机器运行速度提高64倍，则运行时间/每语句变为
t新
t0 64
由关系式 f (n) *t0 t，f (m) *t新 t ，得
3* 2n * t0 t
解，得 m n 6.
3* 2m * t0 t 64
2.2 算法的渐进分析
2)若上述算法改进后，新算法 f (n) n 2 , 则在新机器上用 t 秒时间
式，有 | T (n) || am | nm | a1 | n | a0 | (| am | | am1 | /n | a0 | /nm )nm (| am | | a0 |)nm
取c=|am|+….+|a0| 定理得证. 事实上，只要将n0取得足够大，可以证明只要c是比|am|大的任
的最小值。
➢ 与大Ｏ符号对称，这个下限的阶越高，结果就越有价值。
➢ 问题的计算时间下界为(f(n))，则计算时间复杂性为O(f(n))的 算法是最优算法。 例如：计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 （堆排序算法就是最优算法）。
是一种事前估算的方法，是指忽略具体机器、编程语言和编译 器的影响，只关注在输入规模增大时算法运行时间的增长趋势。 渐进时间复杂性
当问题的规模n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n) 的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此，可 以用T(n)的数量级(阶)评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶) 称为渐进时间复杂性。
第2章 算法分析基础
2.1 算法分析的基本概念 2.2 算法的渐进分析 2.3 最好、最坏和平均情况 2.4 非递归算法的分析 2.5 递归算法的分析
2.1 算法分析的基本概念
一、算法分析（Algorithm Analysis）：对算法所需要的两种计 算机资源——时间和空间进行估算 ➢ 时间复杂性（Time Complexity） ➢ 空间复杂性（Space Complexity）
➢ 典型的增长阶:
O(1), O(lgn), O(n),Baidu NhomakorabeaO(nlgn), O(n2), O(n3), O(2n), O(n!)
2.2 算法的渐进分析
算术运算： ➢O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ； ➢O(f(m))+O(g(n)) = O(f(m)+g(n)) ； ➢O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ； ➢O(cf(n)) = O(f(n)) ；
执
c×f(n)
行
次 数
T(n)
n情0
之 况
前 无
的 关
紧要
n0
问题规模n
2.2 算法的渐进分析
➢ 大O符号描述增长率的上限，表示T(n)的增长最多像f(n)增 长的那样快
➢ 当说一个算法具有O(f(n))的计算时间时，指的是如果此算法 用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间 总是小于f(n)的一个常数倍。所以f(n)是计算时间T(n)的一个 上界函数，T(n)的数量级就是f(n)
一台的64倍, 那么,在这台计算机上用同一算法在 t 秒内能解决规模为
多大的问题?
规模
语句频度
运行时间/每语句
总时间
n
f (n) 3* 2n
t0
t
关系式: f (n) *t0 t
算法语句频度*运行速度(时间/每语句)=运行总时间
解:设在新机器上t 秒内能解决规模为 m 的问题，f (m) 3*2m
设在新机器上用 t 秒时间能解决输入规模为 N 的问题，则
由于此时
f (N)
N，2 新机器的运行速度/每语句为： t新
t0 , 64
代入关系式
f (N ) *t新 t ，得
N2
*
t0 64
t
n2
* t0
解，得
N 8n
思考：以上说明了什么问题？
2.2 算法的渐进分析
2. 大Ω符号--运行时间的下界
定义1.2 若存在两个正的常数c和n0，对于任意 n≥n0，都有T(n)≥c×g(n)，则称T(n)=Ω(g(n))
执
T(n)
行
次
c×g(n)
数
n情0
之 况
前 无
的 关
紧要
n0
问题规模n
2.2 算法的渐进分析
➢ 大Ω符号用来描述增长率的下界
➢ 也就是说， T(n)=Ω(g(n))是当输入规模为n时，算法消耗时间
➢若g(n)= O(f(n)) 则 O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。
➢若T(n)是关于n的k阶多项式，那么T(n)=O(nk)
2.2 算法的渐进分析
定理1.1 若T(n)=amnm+…+ a1n+ a0是一个m次多项式，则 T(n证)=明O：(n取mn)。0=1,当n>=n0时，利用T(n)的定义和一个简单的不等
渐进时间复杂度表示： 随着问题规模 n 的增长，算法执行时间的增长率和算法的语句频
度f（n）的增长率相同，则可记作： T（n）= O（f（n））
称 T（n）为算法的(渐近)时间复杂度
2.2 算法的渐进分析
二、表示方法 1. 大O符号--运行时间的上界
定义1.1 若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都 有T(n)≤c×f(n)，则称T(n)=O(f(n))
二、算法分析的目的： ➢ 设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法 ➢ 选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者
2.1 算法分析的基本概念
三、算法分析的两个阶段 1、事前分析—求出该算法的一个时间限界函数。 2、事后测试—收集此算法的执行时间和实际占用空间的 统计资料。
2.2 算法的渐进分析
一、相关概念 算法的渐进分析
确定一个算法时间的数量级是十分重要的，它在本质上反映了 一个算法所需要的计算时间。
2.2 算法的渐进分析
语句频度：语句执行的次数 算法的语句频度f(n)：
f(n)=∑( 语句(i)的执行次数） 算法中基本操作重复执行的次数之和
算法的执行时间：是所有语句的执行时间之和 T（n）=∑( 语句(i)的执行次数×语句的执行时间 ) (假设每条语句执行的时间相等)
意一个常数，此定理都成立。
此定理表明，变量n的固定阶数为m的任一多项式，与此多项式 的最高阶nm同阶.
2.2 算法的渐进分析
示例
2.2 算法的渐进分析
2.2 算法的渐进分析
2.2 算法的渐进分析
例.1）假设某算法在输入规模是 n 时为 f (n) 3* 2n .在某台计算机上
实现并完成该算法的时间是 t 秒. 现有另一台计算机,其运行速度为第
由于新机器运行速度提高64倍，则运行时间/每语句变为
t新
t0 64
由关系式 f (n) *t0 t，f (m) *t新 t ，得
3* 2n * t0 t
解，得 m n 6.
3* 2m * t0 t 64
2.2 算法的渐进分析
2)若上述算法改进后，新算法 f (n) n 2 , 则在新机器上用 t 秒时间
式，有 | T (n) || am | nm | a1 | n | a0 | (| am | | am1 | /n | a0 | /nm )nm (| am | | a0 |)nm
取c=|am|+….+|a0| 定理得证. 事实上，只要将n0取得足够大，可以证明只要c是比|am|大的任
的最小值。
➢ 与大Ｏ符号对称，这个下限的阶越高，结果就越有价值。
➢ 问题的计算时间下界为(f(n))，则计算时间复杂性为O(f(n))的 算法是最优算法。 例如：计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 （堆排序算法就是最优算法）。
是一种事前估算的方法，是指忽略具体机器、编程语言和编译 器的影响，只关注在输入规模增大时算法运行时间的增长趋势。 渐进时间复杂性
当问题的规模n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n) 的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此，可 以用T(n)的数量级(阶)评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶) 称为渐进时间复杂性。
第2章 算法分析基础
2.1 算法分析的基本概念 2.2 算法的渐进分析 2.3 最好、最坏和平均情况 2.4 非递归算法的分析 2.5 递归算法的分析
2.1 算法分析的基本概念
一、算法分析（Algorithm Analysis）：对算法所需要的两种计 算机资源——时间和空间进行估算 ➢ 时间复杂性（Time Complexity） ➢ 空间复杂性（Space Complexity）
➢ 典型的增长阶:
O(1), O(lgn), O(n),Baidu NhomakorabeaO(nlgn), O(n2), O(n3), O(2n), O(n!)
2.2 算法的渐进分析
算术运算： ➢O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ； ➢O(f(m))+O(g(n)) = O(f(m)+g(n)) ； ➢O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ； ➢O(cf(n)) = O(f(n)) ；
执
c×f(n)
行
次 数
T(n)
n情0
之 况
前 无
的 关
紧要
n0
问题规模n
2.2 算法的渐进分析
➢ 大O符号描述增长率的上限，表示T(n)的增长最多像f(n)增 长的那样快
➢ 当说一个算法具有O(f(n))的计算时间时，指的是如果此算法 用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间 总是小于f(n)的一个常数倍。所以f(n)是计算时间T(n)的一个 上界函数，T(n)的数量级就是f(n)
一台的64倍, 那么,在这台计算机上用同一算法在 t 秒内能解决规模为
多大的问题?
规模
语句频度
运行时间/每语句
总时间
n
f (n) 3* 2n
t0
t
关系式: f (n) *t0 t
算法语句频度*运行速度(时间/每语句)=运行总时间
解:设在新机器上t 秒内能解决规模为 m 的问题，f (m) 3*2m