复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解

1． 利用导数定义推出：

1) ()1

-=n n

nz

z '

（n 为正整数）

解： ()

()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n

n n n n z n n

z n ∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→ 2210

0121lim

lim '

()()11210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡++-+=

n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆ lim 2) 211z z -=⎪⎭

⎫

⎝⎛'

解： ()()

2

0001111

11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '

2． 下列函数何处可导何处解析

1)

()iy x z f -=2

解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=

x x u 2=∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂x

v ，1-=∂∂y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2

1

-=x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在直线2

1

-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2)

()3332y i x z f +=

解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v =

26x x u =∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂x

v ，29y y v =∂∂都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。

3)

()y ix xy z f 22+=

解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=

2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xy x

v 2=∂∂，2x y v =∂∂都是连续函数。 只有22x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。

4)

()xshy i xchy z f cos sin +=

解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =

xchy x u cos =∂∂，xshy y u sin =∂∂，xshy x

v

sin -=∂∂，xchy y v cos =∂∂都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。

3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。

1)

()51-z

解：()()415-=z z f '，()z f 在复平面内处处解析。

2) z i z 23

+

解：()i z z f 232+='，()z f 在复平面内处处解析。

3)

1

1

2

-z 解：()()

2

2

12--

=z

z

z f '，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。

4)

d

cz b

az ++（c ，d 中至少有一个不为0）

解：()()()2

2d cz bc

ad d cz b az c d cz a z f +-=++-+=

'

当0≠c ，则当c

d

z -≠时，()()

2

d cz bc ad z f +-='，()z f 在复平面内除点c d

z -≠外处处解析。

当0=c 时，则0≠d ，()d

a

z f =

'，()z f 在复平面内处处解析。 4． 求下列函数的奇点：

1)

()

11

2++z z z

解：令()012=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()

11

2++=

z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。

2)

()()

112

2

2++-z z z 解：令()()01122=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()()

112

2

2++-=z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。

5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同判断函数的解析性有哪些方法

解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析

⇔()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满足柯西—黎曼方程。

6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。

1)

如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '存在；

解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()z f '不存在。

2)

如果()z f '存在，那末()z f 在0z 解析；

解：假命题。例如，()y ix xy z f 22+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。

3)

如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；

解：假命题。例如，()i y x z f 33+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但

()z f 在0=±y x 上的点均可导。