【2019最新】高中数学第2章统计2-1抽样方法2-1-3分层抽样教材梳理导学案

【2019最新】高中数学第2章统计2-1抽样方法2-1-3分层抽样教

材梳理导学案.1．3 分层抽样

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、分层抽样的概念

当已知总体由差异明显的几部分组成时，不宜用简单随机抽样和系统抽样，为了使样本更能充分地反映总体的情况，应将总体分成互不交叉的几部分，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分抽出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.其中所分成的每一部分叫层.

根据定义可知，分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显的区别，互不重叠，而层内个体间差异很小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即总体容量样本容量.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构基本相同，可以提高样本对总体的代表性.

深化升华 分层抽样具有以下主要特点：

（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

（2）在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；

（3）它能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；

（4）它也是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是

N n .而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法.

二、分层抽样的一般步骤

分层抽样的操作步骤是：

（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分.

（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比.

计算出抽样比k=总体容量

样本容量 （3）确定各层应抽取的样本容量.

（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本.

（5）汇合成样本.

学法一得 ①分层抽样时，各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；每一层抽样中采用简单随机抽样或系统抽样.②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.

三、三种抽样方法的比较

在具体情景中，需要我们准确地选择适当的抽样方法进行抽样.在各种方法间选择时，要遵循以下原则：

（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则宜用分层抽样法.当抽样比与各层的个体数的乘

积是整数时，则该积就是该层的入样数；当抽样比与各层的个体数的乘积不是整数时，则该积经过四舍五入后就是该层的入样数.

（2）若总体中没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.

①当总体容量较小时宜用抽签法；

②当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；

③当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样法.

三种抽样方法的优、缺点及相互之间的关系：

简单随机抽样：简单随机抽样是最基本的抽样方法，其他的各种随机抽样方法中大都会用到它.其优点是简便易行，缺点是当容量较大时难于操作，个体差异明显时所得样本无代表性.

系统抽样：优点是①系统抽样比其他随机抽样方法更容易实现，可节约抽样成本.②系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广.它可以应用到个体有自然编号，但总体中个体的数目却在抽样时无法确定的情况（如生产线的产品的质量检验）.

缺点是系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关（简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关）.如果编号的个体特征随编号变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差.

分层抽样：优点是充分利用了已知的总体信息，得到的样本比前两种方法有更好的代表性，并且可得到各层的子样本以顾及各层的信息.

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性.其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样的方法，抽样方法经常交叉起来使用.对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中每一均衡部分，又可采用简单随机抽样.

典题·热题

知识点一分层抽样的概念

例1 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）

A.简单随机抽样

B.系统抽样

C.分层抽样

D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

思路解析：由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.

总体总人数为28+54+81=163(人).样本容量为36，若按36︰163取样本，无法得到整数解.故考虑先剔除1人，

抽取比例变为36︰162=2︰9，则中年人取54×

92=12(人)，青年人取81×92=18(人)， 应从老年人中剔除1人，老年人取27×9

2=6(人)，组成容量为36的样本. ∴应选D.

答案：D

误区警示 通过以上的实例分析可以感悟到，在具体情景中，需要我们准确地选择适当的抽样方法进行抽样.各种方法间选择时，要遵循以下原则：（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则宜用分层抽样法.当抽样比与各层的个体数的乘积是整数时，则该积就是该层的入样数；当抽样比与各层的个体数的乘积不是整数时，则该积经过四舍五入后就是该层的入样数.

知识点二 分层抽样的过程与步骤

例2 选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.

（1）30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；

（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；

（4）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样.

思路分析：应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题. 解：（1）总体由差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法.

第一步：确定抽取个数，30/10=3，所以甲厂生产的应抽取21/3=7个，乙厂生产的应抽取9/3=3个；

第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个.这些篮球便组成了我们要抽取的样本；

（2）总体容量较小，用抽签法.

第一步：将30个篮球编号，编号为00，01， (29)

第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签； 第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；

第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；

第五步：找出和所得号码对应的篮球.

（3）总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.

第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002， (299)

第二步：在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数7开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；

第三步：从数7开始向右读，每次读三位，凡不在001—299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到286，211，234，297，207，013，027，086，284，281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.

（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法.

第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，…，299，并分成30段；

第二步：在第一段000，001，002，…，009这三个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；

第三步：将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，组成样本.

巧解提示 在解决问题的过程中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法.