第一节留数定理

l
一般就不等于零.
1
0, ••• (l不包围 a ) 1 因此将f(z)在此邻域内 ( z a ) dz 2 i 1, ••• (l包围 a ) 展开为洛朗级数 1 n n 1 ( z a ) dz 0 • • •(n -1) f(z)=...+a-n(z-z0) +...+a-1(z-z0) 2i l +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...
无限远的邻域上展为洛朗级数,并代入积分式,可得

l
l
k f z dz ak z dz l k -
2i- a-1 2i Re sf
(1)
除k=-1项外,其他各项为零,则有
f z dz -2ia
-1
-a-1定义为f(z)在无限远点的留数 Re sf ,留数定理对于无限 远点也成立,但要注意,即使无限远点不是奇点, Re sf 也可不为零
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如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部
z R, 在环域 R z
l
内任取一个回路l,则由留数定理得
f ( z )dz 2i f z 在所有有限远点的留数
(1)+(2)可得
之和 (2)
0 2if z 在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点
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例3 确定函数f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的极点,求出函数在这些
极点的留数.
解 对分母先进行处理,分离出因式,并约分
z 2i z 2i 1 f ( z) 3 2 3 3 z ( z 4) z ( z 2i )(z - 2i) z ( z - 2i )
1 1 i limz - 2i f ( z ) lim 3 - z 2i z 2i z 8i 8




故此单极点在单位圆内,计算积分时必须考虑,我们可以得到
-1 1 - 2 Re sf
1 1 1 lim lim z z0 2z 2 2 1 - 2 z z0 2 z 2 z


然后应用留数定理可得结果如下
1 1 1 lim n-1 另解 lim n z 1 ( z - 1) n z 1 nz
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例2 确定函数f(z)=1/sinz的极点,求出函数在这些极点的留数
解
z n (n Z ), • •sin z 0, f ( z)
z - n lim z - n f ( z ) lim z n z n sin z
P(z),Q(z) 在 z 0 点是解析的，
P ( z 0 )≠ 0
Q( z 0 )=0, Q ' ( z 0 ) ≠ 0,
罗毕达法则
则有： P( z 0 ) P ( z0 ) = ( z - z 0 ) f ( z ) = lim ( z - z0 ) Re sf ( z0 ) zlim z0 z z0 Q( z 0 ) Q ' ( z0 )
D bn l3 b3
ln l2
b1 b2 l
l1
3
[证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的 正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点 Z 0 时
f ( z) =
k -


ak
(z - z0 )
l
k
Cauchy 定理知： f ( z )dz =
ze 例 Re s 2 ,-1 z - 1 ze z Re s 2 ,1 z - 1
z
z z e -1 ze ze lim lim z 1 2 z 1 z -1 2 2z z - 1 ze z ze z e lim lim z - 1 2 z 1 z 1 z 1 z 1 2
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2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则
f (z) a -m1 a-m a-1 a0 a1 (z - z0 ) L m -m1 L z - z0 (z - z 0) (z - z )
0
1 (z - z0 )m f (z) a-m a-m1 (z - z0 ) L a-1(z - z0 )m 1 a0 (z - z0 )m a1 (z - z0 )m + L
1 n lim - 1 z n cos z
因此可以确定,
z0 来自百度文库 n
是极点
应用罗毕达法则可以确定上式的极限
z - n lim z - n f ( z ) lim z n z n sin z
单极点的留数就是(-1)n
(-1)n是非零有限值,因此 z0 n 是f(z)=1/sinz的单极点,且f(z)在
-1 l
后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下 a -1 (z-z0 ) 的一项等于 2 ia-1 外, 其余各项积分都等于零, 所以
-1
f ( z) d z 2 π ia
l
-1
.
其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即 1
Res f ( z0 )
f ( z) d z 2i
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f ( z ) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个 去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭 曲线l的积分
f ( z) d z
包括无限远点和有限远的奇点.
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二. 留数的计算方法
（一）可去奇点的留数：
对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 （二） 极点的留数 1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
f (z)
= a (z- z ) k 0
k -1
-1

k
= a-1 ( z - z0 ) + a0 + a1 ( z - z0 ) + a 2 ( z - z0 ) +……
1 又Q 2i dz z -a l
l0
f ( z )dz
0 (l不包围 a） = 1 (l包围a )

l
f ( z )dz =
l0 k -
a ( z - z0 ) dz= a
k k

-1
2 i =2 i
a -1
a -1 =Resf( z 0 )
4
② l包围多个孤立奇点时：


就是函数f(z)的两个单极点 单极点 z

-1 - 1 - 2

的模
-1 - 1 - 2


1 1- 2


1

1
故此单极点在单位圆外,也在积分回路外,计算积分不用考虑
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单极点 z
-1 1 - 2
-1 1 - 2

1- 1- 2
的模
1 - (1 )(1 - ) 1 - (1 - ) 1
2 2 3 ( z - z0 ) f(z)= a -1 + a0 ( z - z0 ) + a1 ( z - z0 ) + a 2 ( z - z0 ) +……
z z0
lim ( z - z 0 ) f ( z ) = a -1 =Resf( z 0 )
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P( z ) 对于 f(z) 可表示为形式 f(z)= Q ( z ) 时，且
由此可得z0=1是单极点 1 Re sf (1) lim( z - 1) n -1 n-2 z 1 ( z 1 )( z z ... z 1 )
• • • • • • •
1 1 lim n -1 n - 2 z 1 ( z z ... z 1) n
z0=2i是单极点,在此点留数为i/8
• f ( z) z0=2i是极点 (1) z 2i, •
• f ( z ) z0=0是极点 (2) z 0, •
1 1 lim z f ( z ) lim z 0 z 0 z - 2i 2i
3


z0=0是三级极点
由此我们按照计算m级极点留数的法则,可得:
m-1
0

求留数
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有了以上法则,我们就可以不必把函数f(z)展开为洛朗级数就
可以判断极点的阶,而且还可以算出函数f(z)在极点的留数.
例1 求f(z)=1/(zn-1)在z0=1的留数 z0=1是函数的极点, 解 lim f ( z )
z 1
1 1 f ( z) n z - 1 ( z - 1)(z n -1 z n -2 ... z 1)
l j 1
n
j
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环 域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知 道奇点的类型, 对求留数可能更有利.
5
设函数f(z)在无限远点的邻域上解析,来计算绕 的正向回路 积分
3. 无穷远点的留数
f z dz
l
在l以外的区域上没有f(z)的有限远奇点,将f(z)在
dz 1 i • 2i Re sf ( z0 ) 2i 2 2 2 z 2 z 2 1 1 | z| 1
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ze z dz 2 练习 1. 计算积分 C z - 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) 2 [解 ]由于 z - 1 有两个一阶极点 +1,-1, 而
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1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z - 2i 1 1 i lim 3 z 0 z - 2i 8 8i dz • (0 1) 例4 计算沿单位圆|z|=1的回路积分 z 2 2 z • | z| 1 1 的分母为零,可以得到 解 令被积函数 f ( z ) 2 z 2 z 2 1 1 二次代数方程 z 2 2 z 0 其两根为 z
lim(z - z0 )m f (z) 非零有限值
0

判断极点的阶 P( z 0 ) P ( z0 ) = Q( z 0 ) Q ' ( z0 )
- z 0 ) f ( z ) = lim ( z - z 0 ) ( z Re sf ( z0 ) zlim z zz
Resf (z0 ) lim 1 d { m-1 [(z - z0 )m f (z)]} zz0 (m -1 )! dz
zz0
lim(z - z0 )m f (z) 非零有限值
1 dm 1 m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f (z)]} 0 0 求 a-1 得， m-1 zz0 (m -1 )! dz
z z0
zz0
-
lim ( z - z 0 ) f ( z ) = 非零有限值
f ( z ) d z f ( z) d z f ( z ) d z L f ( z) d z.
l l1 l2 ln
1 f ( z ) d z Res f (b1 ) Res f (b2 ) L Res f (bn ) 2πi l 即
f ( z ) d z 2 π i Res f (b ).
C
Res f ( z0 ) a-1
2
2 留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 b1,b2,...,bn 外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简 单闭曲线, 则
f ( z) d z 2 π i Res f (b ).
l j 1 j
n
留数定理将回
路积分化为被
积函数在回路 所围区域上各 奇点留数之和