倒易点阵
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r r G h1 k1l1 = h1 a ′ + k 1b ′ + l1 c ′ r r r r G h2 k 2 l 2 = h2 a ′ + k 2 b ′ + l 2 c ′ r r r r G h1 k1l1 ⋅ G h 2 k 2 l 2 = G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ r r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ = r ⋅ r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,
光程差
d
2 d sin θ = k λ
r k
k0
θ r
r r r s = k − k0
r E (s ) =
电子密度的Bloch波：
V
r r r i 2πs ⋅r ∫ ρ ( r ) e f e E 0 dv
r r r − i 2 πG ⋅r φ ( G ) e ∑ r G
r ρ (r ) =
r E (s ) =
倒易点阵：
r r r 1 a P = a (e x + e y ) r r r 1 bP = a (e y + e z ) r r r 1 c P = a (e x + e z )
2 点阵常数为 的面心立方(FCC)点阵 a
例：点阵常数为a的面心立方点阵
点阵：
r r a r a P = 2 (e x + e y ) r r a r bP = 2 (e y + e z ) r r a r c P = 2 (e x + e z )
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 § 3.2 倒易点阵的定义及应用 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角
第三章：倒易点阵 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 与面指数的关系：
1)
r r r r G hkl = h a ′ + k b ′ + l c ′ r G hkl ⊥ ( hkl )点阵面
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 应用：X射线衍射
劳厄的一个科学假设 1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄 在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X 射线的波长属于同一量级，因 此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X 射线在三维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和 Friedrich 在1912 年4月开始用 CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到 X 射线衍射的证据。这不但 证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。 布拉格父子 老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X 射线 的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验。根据衍射斑点 的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知 ZnS 具有面心立方晶 格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反 射，从而推导出著名的布拉格方程。
(
)
r G hkl = OA ⋅ r G hkl r r r 1 r h a ′ + k b ′ + lc ′ = a⋅ r h G hkl 1 = r G hkl
r 倒格点 G hkl 与点阵面 ( hkl )
一一对应
立 方 晶 系 d hkl＝
a h ＋k ＋l
1 ⎛l⎞ ⎛h⎞ ⎛k⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝a⎠ ⎝a⎠
r k
r G hkl r k0
1
θ
R=
λ
O
R sin θ =
1 2
G
2 d hkl sin θ = λ
美以科学家分享2009年诺贝尔化学奖
３名获奖者通过独立的研究工作，分别采用 X射线蛋白质晶体学方法绘制出3D模型来体 现合成核糖体的成千上万个原子的位置， 他们绘制的模型已被广泛应用于新抗生素的 研制，以减少患者的病痛和拯救生命。
§ 3.2 倒到易点阵的定义及应用 r
r c
r b
r c′
V
r a
r b′
1 Ω= V
r a′
某方向点阵越长，倒易点阵越短
晶胞有不同的取法， 点阵是客观存在的，
倒易点阵是唯一的， 倒易点阵晶胞随晶胞变化。
L
L-1
特别注意：画在一起，但并不在同一空间
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
与两个正交，长度与另一个成反比。
倒易点阵的倒易点阵是正点阵，正点阵和倒易点阵互为倒易点阵。
例：点阵常数为a的一维点阵
• • • •
•← ⎯ →• a
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗← ⎯ 1 →⊗
a
r r 点阵： a = a e x ,
倒易点阵：
r r b = c = 0, V = 0 r r r 1 r 1 r a ′ = ex , G = na ′ = n ex a a
n为整数
点阵常数为 a 的一维点阵的倒易点阵
1 是点阵常数为 的一维点阵 a
例：点阵常数为a的二维正方点阵
点阵：
r r a = aex r r b = ae y r c =0
r b
a a
r a
r b′
1 a 1 a
r 1 r 倒易点阵：a ′ = ex , a
r a′
r r r 1 r 1 r ′ ′ G = na + m b = n ex + m e y a a 1 点阵常数为 a 的二维
布拉格父子开拓了X射线晶体结构分析这门新兴学科，从简单的无机 化合物和矿物，逐渐发展到有机化合物和生物大分子，发展成为晶体结 构分析最常规的手段。迄今，人类创造的新物质大概有3000万种，绝大 多数都是通过X射线衍射确定结构的。
距 间 晶面
d d
i) 点间（面内）干涉：
θ
θ′
θ =θ′
即二维点阵的零级主极强方向在以晶 面为镜面的反射方向上。 ii) 面间干涉（布喇格）公式：
r a
(
)
r r r r ⎛ 1 r 1 r′⎞ CB ⋅ G hkl = ⎜ b − c ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ l ⎠ ⎝k r r r r r r c×a a×b =b⋅ r r r −c⋅ r r r =0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
证明2)： d hkl
r 1 r b ′ = ey a
正方点阵
例：点阵常数为a的简单立方点阵
r c
a
V =a
3
r c′
1 a
Ω=
( )
1 −3 a
r b
a
r b′
1 a
r a
a
倒易点阵：
r a′
1 a
点阵：
r r a = aex r r b = ae y r r c = aez
r r r 1 r 1 r 1 r a ′ = ex , b ′ = e y , c ′ = ez a a a r 1 r 1 r 1 r G = n ex + m e y + l ez a a a
当h＋2k＝3n（n＝0， 1，，， 2 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅），l=奇数，有附加面：
d hkl＝ 1 2 1 4 h ＋hk＋k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
，
如(0 0 1)面
通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小.
详见：《结晶学》附录1
第三章：倒易点阵 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角 r r
周期函数
f ( t ) = f ( t + nT )
t
时域（正空间） 真实，难以描述
T
F (ω )
很多物理性质与倒空间的特性 相联系：音调、滤波、……
……
ω
2π T 4π T
2π T
频域（倒空间） 抽象，易于描述
F (nω 0 ) =
6π T
8π T
ω0 =
ω = nω 0
f (t ) =
1 2
∫ π ∑ F (nω
2 2 2
2
2
2
四方晶系 d hkl =
1 正 交 晶 系 d hkl＝ h 2 k 2 l 2 （ ）＋ （ ）＋ （ ） a b c
六 方 晶 系 d hkl＝
1 4 h ＋ hk ＋ k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响 立方晶系： f c c 当（h k l）不为全奇、偶数时，有附加面： 1 a d hkl＝ ，如{1 0 0},{1 1 0} 2 2 2 2 h ＋k ＋l b c c 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面： 如{1 0 0},{1 1 1} 六方晶系:
1 点阵常数为 a 的立方点阵
例：点阵常数为a的体心立方点阵
VP =
r cP
1 2
a3
r ′ bP
2 Ω= 3 a
r ′ cP
r bP
r aP
r ′ aP
点阵：
r r r a r a P = 2 (e x + e y − e z ) r r r r a bP = 2 ( − e x + e y + e z ) r r r a r c P = 2 (e x − e y + e z )
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 § 3.2 倒易点阵的定义及应用 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念， 也是衍射理论的基础。 晶体点阵：－－实空间 由晶体的周期性直接抽象出的点阵 (正点阵)； 倒易点阵：－－倒易空间 由正点阵的傅里叶变换得来的点阵。 （倒易点阵）
V
r r r i 2 π ( sr − G )⋅r φ ( G ) e f E dv 0 e ∫∑ r G倒易点阵和波矢在同一空间！
r r r r 衍射条件(非零解)： s = k − k = G 0
Ewald球 1 R= λ
r k
r r r s = k − k0
r k0
O
物理：电子的波动周期正好补偿衍射矢量之差！
⎧1 i = j r r ei′ ⋅ e j = δ ij = ⎨ (i, j = 1,2,3) ⎩0 i ≠ j
r r r r r c×a ′ b ⋅a = a ⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c )
r r a′⋅c = 0 r r b′⋅a = 0 r r c′⋅b = 0
r r r r b×c 证明：a ′ ⋅ a = a ⋅ r r r = 1, a ⋅ (b × c )
∞
0
T
f ( t ) e in ω 0 t dt
− in ω 0 t ) e 0
n=0
晶体：三维空间的周期函数
晶体中原子的周期排列决定了晶体中的一切都是周期的。 例：电子密度的傅里叶变换
r r r r r ρ ( r ) = ρ ( r + n a + m b + lc ) r r r − i 2πG r ⋅r ρ (r ) = ∑ φ ( G ) e Bloch波： r
r φ (G ) =
va r r r r G = n a ′ + m b ′ + lc ′
r r r i 2 πG ⋅r ρ ( r ) e dv ∫
G
倒空间中的倒易点阵
第三章：倒易点阵
r r r r r r r r b×c c×a a×b 定义：a ′ = r r r , b ′ = r r r , c ′ = r r r a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c ) r r r V = a ⋅ ( b × c ) 晶胞体积 量纲：L-1
倒易点阵：
r r r r 1 ′ = a (e x + e y − e z ) aP r r r r 1 ′ = a (−ex + e y + ez ) bP r r r r 1 ′ = a (e x − e y + e z ) cP
Ω= 4 a3
1 3 VP = a 4
2 点阵常数为 a 的体心立方(FCC)点阵
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,
光程差
d
2 d sin θ = k λ
r k
k0
θ r
r r r s = k − k0
r E (s ) =
电子密度的Bloch波：
V
r r r i 2πs ⋅r ∫ ρ ( r ) e f e E 0 dv
r r r − i 2 πG ⋅r φ ( G ) e ∑ r G
r ρ (r ) =
r E (s ) =
倒易点阵：
r r r 1 a P = a (e x + e y ) r r r 1 bP = a (e y + e z ) r r r 1 c P = a (e x + e z )
2 点阵常数为 的面心立方(FCC)点阵 a
例：点阵常数为a的面心立方点阵
点阵：
r r a r a P = 2 (e x + e y ) r r a r bP = 2 (e y + e z ) r r a r c P = 2 (e x + e z )
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 § 3.2 倒易点阵的定义及应用 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角
第三章：倒易点阵 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 与面指数的关系：
1)
r r r r G hkl = h a ′ + k b ′ + l c ′ r G hkl ⊥ ( hkl )点阵面
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 应用：X射线衍射
劳厄的一个科学假设 1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄 在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X 射线的波长属于同一量级，因 此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X 射线在三维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和 Friedrich 在1912 年4月开始用 CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到 X 射线衍射的证据。这不但 证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。 布拉格父子 老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X 射线 的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验。根据衍射斑点 的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知 ZnS 具有面心立方晶 格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反 射，从而推导出著名的布拉格方程。
(
)
r G hkl = OA ⋅ r G hkl r r r 1 r h a ′ + k b ′ + lc ′ = a⋅ r h G hkl 1 = r G hkl
r 倒格点 G hkl 与点阵面 ( hkl )
一一对应
立 方 晶 系 d hkl＝
a h ＋k ＋l
1 ⎛l⎞ ⎛h⎞ ⎛k⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝a⎠ ⎝a⎠
r k
r G hkl r k0
1
θ
R=
λ
O
R sin θ =
1 2
G
2 d hkl sin θ = λ
美以科学家分享2009年诺贝尔化学奖
３名获奖者通过独立的研究工作，分别采用 X射线蛋白质晶体学方法绘制出3D模型来体 现合成核糖体的成千上万个原子的位置， 他们绘制的模型已被广泛应用于新抗生素的 研制，以减少患者的病痛和拯救生命。
§ 3.2 倒到易点阵的定义及应用 r
r c
r b
r c′
V
r a
r b′
1 Ω= V
r a′
某方向点阵越长，倒易点阵越短
晶胞有不同的取法， 点阵是客观存在的，
倒易点阵是唯一的， 倒易点阵晶胞随晶胞变化。
L
L-1
特别注意：画在一起，但并不在同一空间
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
与两个正交，长度与另一个成反比。
倒易点阵的倒易点阵是正点阵，正点阵和倒易点阵互为倒易点阵。
例：点阵常数为a的一维点阵
• • • •
•← ⎯ →• a
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗← ⎯ 1 →⊗
a
r r 点阵： a = a e x ,
倒易点阵：
r r b = c = 0, V = 0 r r r 1 r 1 r a ′ = ex , G = na ′ = n ex a a
n为整数
点阵常数为 a 的一维点阵的倒易点阵
1 是点阵常数为 的一维点阵 a
例：点阵常数为a的二维正方点阵
点阵：
r r a = aex r r b = ae y r c =0
r b
a a
r a
r b′
1 a 1 a
r 1 r 倒易点阵：a ′ = ex , a
r a′
r r r 1 r 1 r ′ ′ G = na + m b = n ex + m e y a a 1 点阵常数为 a 的二维
布拉格父子开拓了X射线晶体结构分析这门新兴学科，从简单的无机 化合物和矿物，逐渐发展到有机化合物和生物大分子，发展成为晶体结 构分析最常规的手段。迄今，人类创造的新物质大概有3000万种，绝大 多数都是通过X射线衍射确定结构的。
距 间 晶面
d d
i) 点间（面内）干涉：
θ
θ′
θ =θ′
即二维点阵的零级主极强方向在以晶 面为镜面的反射方向上。 ii) 面间干涉（布喇格）公式：
r a
(
)
r r r r ⎛ 1 r 1 r′⎞ CB ⋅ G hkl = ⎜ b − c ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ l ⎠ ⎝k r r r r r r c×a a×b =b⋅ r r r −c⋅ r r r =0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
证明2)： d hkl
r 1 r b ′ = ey a
正方点阵
例：点阵常数为a的简单立方点阵
r c
a
V =a
3
r c′
1 a
Ω=
( )
1 −3 a
r b
a
r b′
1 a
r a
a
倒易点阵：
r a′
1 a
点阵：
r r a = aex r r b = ae y r r c = aez
r r r 1 r 1 r 1 r a ′ = ex , b ′ = e y , c ′ = ez a a a r 1 r 1 r 1 r G = n ex + m e y + l ez a a a
当h＋2k＝3n（n＝0， 1，，， 2 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅），l=奇数，有附加面：
d hkl＝ 1 2 1 4 h ＋hk＋k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
，
如(0 0 1)面
通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小.
详见：《结晶学》附录1
第三章：倒易点阵 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角 r r
周期函数
f ( t ) = f ( t + nT )
t
时域（正空间） 真实，难以描述
T
F (ω )
很多物理性质与倒空间的特性 相联系：音调、滤波、……
……
ω
2π T 4π T
2π T
频域（倒空间） 抽象，易于描述
F (nω 0 ) =
6π T
8π T
ω0 =
ω = nω 0
f (t ) =
1 2
∫ π ∑ F (nω
2 2 2
2
2
2
四方晶系 d hkl =
1 正 交 晶 系 d hkl＝ h 2 k 2 l 2 （ ）＋ （ ）＋ （ ） a b c
六 方 晶 系 d hkl＝
1 4 h ＋ hk ＋ k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响 立方晶系： f c c 当（h k l）不为全奇、偶数时，有附加面： 1 a d hkl＝ ，如{1 0 0},{1 1 0} 2 2 2 2 h ＋k ＋l b c c 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面： 如{1 0 0},{1 1 1} 六方晶系:
1 点阵常数为 a 的立方点阵
例：点阵常数为a的体心立方点阵
VP =
r cP
1 2
a3
r ′ bP
2 Ω= 3 a
r ′ cP
r bP
r aP
r ′ aP
点阵：
r r r a r a P = 2 (e x + e y − e z ) r r r r a bP = 2 ( − e x + e y + e z ) r r r a r c P = 2 (e x − e y + e z )
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 § 3.2 倒易点阵的定义及应用 § 3.3 利用倒易点阵计算晶面间距 § 3.4 利用倒易点阵计算晶面夹角
第三章：倒易点阵 § 3.1 倒易点阵的概念及一般介绍 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念， 也是衍射理论的基础。 晶体点阵：－－实空间 由晶体的周期性直接抽象出的点阵 (正点阵)； 倒易点阵：－－倒易空间 由正点阵的傅里叶变换得来的点阵。 （倒易点阵）
V
r r r i 2 π ( sr − G )⋅r φ ( G ) e f E dv 0 e ∫∑ r G倒易点阵和波矢在同一空间！
r r r r 衍射条件(非零解)： s = k − k = G 0
Ewald球 1 R= λ
r k
r r r s = k − k0
r k0
O
物理：电子的波动周期正好补偿衍射矢量之差！
⎧1 i = j r r ei′ ⋅ e j = δ ij = ⎨ (i, j = 1,2,3) ⎩0 i ≠ j
r r r r r c×a ′ b ⋅a = a ⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c )
r r a′⋅c = 0 r r b′⋅a = 0 r r c′⋅b = 0
r r r r b×c 证明：a ′ ⋅ a = a ⋅ r r r = 1, a ⋅ (b × c )
∞
0
T
f ( t ) e in ω 0 t dt
− in ω 0 t ) e 0
n=0
晶体：三维空间的周期函数
晶体中原子的周期排列决定了晶体中的一切都是周期的。 例：电子密度的傅里叶变换
r r r r r ρ ( r ) = ρ ( r + n a + m b + lc ) r r r − i 2πG r ⋅r ρ (r ) = ∑ φ ( G ) e Bloch波： r
r φ (G ) =
va r r r r G = n a ′ + m b ′ + lc ′
r r r i 2 πG ⋅r ρ ( r ) e dv ∫
G
倒空间中的倒易点阵
第三章：倒易点阵
r r r r r r r r b×c c×a a×b 定义：a ′ = r r r , b ′ = r r r , c ′ = r r r a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c ) r r r V = a ⋅ ( b × c ) 晶胞体积 量纲：L-1
倒易点阵：
r r r r 1 ′ = a (e x + e y − e z ) aP r r r r 1 ′ = a (−ex + e y + ez ) bP r r r r 1 ′ = a (e x − e y + e z ) cP
Ω= 4 a3
1 3 VP = a 4
2 点阵常数为 a 的体心立方(FCC)点阵