晶体简介及倒易点阵(优.选)
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—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
二、晶面指数和晶向指数
同一个格子，两组不同的晶面族
1、晶面指数的确定方法
(1)、晶体的定向 • 在晶体学中，将坐标系引入晶体图形中的
手续称为晶体的定向。 • 通常根据矢量a, b, c选择晶体的坐标轴x,
y ,z，所选取的三个坐标轴称为晶轴，三 个晶轴上的单位向量a, b, c 称为轴单位。
如何确定倒易点阵的阵点
倒易点阵的原点Ｏ＊与正点阵的原点Ｏ重合； 点子取在（hkl）的法线上，且Phkl 点到倒易点阵原 点的距离与（hkl）面间距dhkl成反比； 如果在点阵S 中任选一点阵点作为原点O，沿(hkl)的 法线方向在距离原点为n/dhkl处，画出一系列的点， 这些点形成等间距的直线点列，为一直线点阵。
每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为：
000，1/2 1/2 0
◆体心点阵 I
除8个顶点外， 体心上还有一个 阵点。
每个阵胞含有两 个阵点：
000，1/2 1/2 1/2
◆面心点阵 F
除8个顶点外，每 个面心上有一个 阵点，每个阵胞 上有阵点：4个
其坐标分别为： 000， 1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
夹角
α=β=γ= 900 α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ≠ 900 α≠β≠γ≠ 900
晶体实例
NaCl
Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O
小结：晶系与点阵常数的关系
二、晶面指数和晶向指数
1.G(hkl)垂直于正点阵中的（hkl）晶面; 2.其长度G(hkl)等于（hkl）晶面之晶面间距d(hkl)
的倒数。
倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的
对应关系
• G(hkl)的基本性质确切表达了其与(hkl)的一 一对应关系，即一个G(hkl) 与一组(hkl)对
应；
• G(hkl) 的方向与大小表达了(hkl)在正点阵
只含一个阵点的晶胞---简单晶胞（单位晶胞， unit cell） 含有一个以上的晶胞---复杂晶胞
Leabharlann Baidu
晶轴的选择原则
晶轴的选择不是任意的，应遵守下列原则： 91)应符合晶体所固有的对称性。因此，晶
轴与对称轴或对称面的法线重合，若无对 称轴和对称面，则晶轴可平行晶棱选取。 92)在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或 近于垂直，并使轴长趋于近于相等，即尽 可能趋于α=β=γ=90°，a=b=c。
• 显然，h, k, l为互质整数
(2) 晶面指数的确定方法---举例
• 如果在坐标轴上的截距分别为1、2、3，其 倒数为1、1/2、1/3，将三个倒数化为简单 整数为：6、3、2，所以，该晶面的晶面指 数为(632)。
几点注意:
A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就 是负的，并将负号标在数字的上面。
立方晶系
正方晶系
六方晶系
可见，平面间距既与晶胞参数有关，又与晶面指数有关
晶面夹角的计算
• 若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，可 以求二者之间的夹角ψ(晶面法线的夹角 )。 立方晶系的公式 ：
倒易点阵（Reciprocal Lattice ）
倒易点阵的定义
定义：将晶体学中的空间点阵（正点阵），通 过某种联系，抽象出另一套结点的组合，称倒 易点阵。 在晶体点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空 间中将用一个点Phkl表示，该点与晶面有倒易 关系。
矢量的倒数
B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与X、 Y、Z轴的关系，它们之间不能随意变换。
C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的 一组面，而不是一个面。
几点注意：
D、对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价 的面具有相同的指数，这些结晶学上的等 价面就构成一个晶面族 {hkl}。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。如（100） (001）。
中的方位与晶面间距；反之，(hkl)决定了
G(hkl) 的方向与大小; • G(hkl) 的基本性质也建立了作为H(hkl) 终点
的倒易(阵)点与(hkl)的一一对应关系：
倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的
对应关系
(1) 正点阵中每一组(hkl)对应着一个倒易 点，该倒易点在倒易点阵中的坐标(可称阵 点指数)即为hkl ；
• 1. g*矢量的长度等于其
对应晶面间距的倒数
• g* hkl = n/dhkl • 2.其方向与晶面相垂
直 • g* //N(晶面法线)
倒易点阵的基本性质
3 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积 为1，不同名基矢的点积为零，即：
(1) 正点阵晶胞（或原胞）体积V与倒易 点阵晶胞（或原胞）体积V*成倒数关
¾ 它们是法国晶体学家布拉菲总结出来的，故亦称 为布拉菲点阵。
¾ 根据点阵参数的特点和结点的分布，所有晶体空 间点阵的种类有14种。
14种可能的Bravais点阵
晶系与布拉菲点阵
• 根据结点在单胞中的分布，单位点阵有 简单（原始）点阵（P）： 结点均在角顶上 底心点阵（C）： 除角顶外每一对面上各有一个 结点 体心点阵（I）： 除角顶外中央有一个结点 面心点阵（F）： 除角顶外每个面上均还有一个 结点
空间点阵和晶体结构的关系
空间点阵+结构基元=晶体结构
虽然空间点阵只有14种，但晶体结构的 种类是无限的。
小结：晶系与点阵常数的关系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
对于立方体
(100) 面等效的晶面数分别为：3个 表示为 {100} (110) 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 {110} (111) 面等效的晶面数分别为：4个 表示为 {111}
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才 有意义, 在晶体内部这些面都是等效的。
(3) 立方体的几个主要晶面及晶面指数
晶体学知识、倒易点阵
2007.9.18 胡小平
点阵划分为晶格可 以有不同的方法
晶胞的选择方式（原则）
1. 在晶体学中常用与宏观晶体有 同样对称的平行六面体作为晶 胞；
2. 它们应具有棱与棱之间的最多 直角数；
3. 还应具有最小的体积。 4. 当交角不为直角时，在遵循前
三条的前提下，应选择结点间 距小的行列作为平行六面体的 棱，且棱间交角接近于直角的 平行六面体。
• 结点(阵点）的空间位置表示： 用它在三个晶轴上的截距并用a，b，c 来度量。 如000；111； 1/2 1/2 1/2 等。
晶系与布拉菲点阵
◆简单（原始）点阵 P
• 单胞中结点的数目：1 • 简单点阵的阵点坐标为:
000
◆底心点阵 C
除八个顶点上有阵点 外，两个相对的面心上 有阵点，面心上的阵点 为两个相邻的平行六面 体所共有。
系。 (2) 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互
为倒易。
倒易矢量、倒易点
• 在倒易点阵中建立坐标系，一般取倒易坐标原点 与正点阵的坐标原点重合。
• 由倒易坐标原点向任意倒易阵点（倒易点）的连
接矢量称为倒易矢量，记为G(hkl)。 • G(hkl)的终点坐标为（h, k, l) • G(hkl) =ha*+kb*+lc* • G(hkl)的基本性质为：
晶体的坐标
(2) 晶面指数的确定方法
• 在一组互相平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距并以点阵的 三个单位向量a, b, c来度量；
• 写出三个截距的倒数； • 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，
把它们化为三个简单整数，再用圆括号括 起，即为该组晶面的晶面指数，记为(hkl)。
1、图中虚线代表平面点阵(hkl)的法线，在虚线 上等间距排列的点为倒易点阵点nh nk nl； 2、相邻两倒易点阵点间的距离为1/dhkl；
3、晶体中有无数组平面点阵，对每一平面点阵 族都可按上图那样得到一个直线点阵；
4、由于晶体的点阵性质，所有这些直线点阵中 的点形成三维点阵，称为点阵S 的倒易点阵S*。
a∗ = b × c V
b∗ = c× a V
c∗ = a×b V
•(仅当正交晶系）
a∗ = 1 ，b∗ = 1 ，c∗ = 1
a
b
c
倒易点阵的基本性质
• 根据定义在倒易点阵中,从 倒易原点到任一倒易点P的
矢量称倒易矢量ghkl
• g* hkl = ha ∗ + kb∗ + lc ∗
• 可以证明:
正倒易点阵的几何对应关系
晶面与倒易结点（矢量）的关系
定义倒易点阵（见书）
• 定义：倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异 名矢量构成的平面
c∗ ⋅c = a∗ ⋅ a = b∗ ⋅b = 1
a∗ ⋅b = a∗ ⋅c = b∗ ⋅ a = b∗ ⋅c = c∗ ⋅ a = c∗ ⋅b = 0
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
• 点阵中所有的晶面都有自己的面间距，一般的规律是:在 空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶 面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要 性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。
晶面指数与晶面间距和晶面上结点密度的关系（二维）
平面间距d(hkl)的计算
• 不同晶系的平面间距可用不同的公式计算：
(2) 反之，一个阵点指数为hkl的倒易点对 应正点阵中一组(hkl)，(hkl)方位与晶面
间距由该倒易点相应的H(hkl) 决定。
总结：倒易点阵的性质
• 倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。 • 正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的
倒数。 • dhkl=1/r* • 同样倒易点阵平面间距也等于正空间点阵
2、晶向指数
• 晶向指数表示某一晶向（线）的方向，一 个晶向的指数就是其方向余弦数。
立方体系中的几个 晶向指数
3、晶向指数的确定方法
• 在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点的 结点直线；
• 在该直线上选距原点最近的结点，量出它的结点 坐标（用a, b, c度量） ；
• 将三个坐标值化为简单整数u, v, w，用方括号括 起，即为该晶向族结点直线的晶向指数。当泛指 某晶向指数时，用[uvw]表示。
晶系与布拉菲点阵
• 从以上原则来选取晶胞，只需7种晶胞就可 包括所有的晶体，从而所有晶体都分成7种 晶系：
立方晶系(等轴晶系) 正方晶系(四方晶系) 六方晶系 菱方晶系（三方晶系） 斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
晶系与布拉菲点阵
• 布拉菲点阵 如果在空间点阵的单位阵胞中只有一个阵点，或 者包含有两个或两个以上的阵点，而每个阵点的 环境和阵胞中其它阵点的环境都完全相同，则这 种点阵称为布拉菲点阵。
例：立方晶系中的一些重要晶向
[100]: 轴向 [110]: 面对角线 [111]: 体对角线 [112]: 顶点到面心方向 在立方晶系中，如果一
个晶面指数与一个晶 向指数数值相等，符 号相同，则该晶面与 晶向互相垂直[100]。
4、平面间距 d(hkl)
• 平面间距是指平面点阵族(hkl)中两个相邻的平行晶面间 的垂直距离。通常用d(hkl)或简写为d来表示。
二、晶面指数和晶向指数
同一个格子，两组不同的晶面族
1、晶面指数的确定方法
(1)、晶体的定向 • 在晶体学中，将坐标系引入晶体图形中的
手续称为晶体的定向。 • 通常根据矢量a, b, c选择晶体的坐标轴x,
y ,z，所选取的三个坐标轴称为晶轴，三 个晶轴上的单位向量a, b, c 称为轴单位。
如何确定倒易点阵的阵点
倒易点阵的原点Ｏ＊与正点阵的原点Ｏ重合； 点子取在（hkl）的法线上，且Phkl 点到倒易点阵原 点的距离与（hkl）面间距dhkl成反比； 如果在点阵S 中任选一点阵点作为原点O，沿(hkl)的 法线方向在距离原点为n/dhkl处，画出一系列的点， 这些点形成等间距的直线点列，为一直线点阵。
每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为：
000，1/2 1/2 0
◆体心点阵 I
除8个顶点外， 体心上还有一个 阵点。
每个阵胞含有两 个阵点：
000，1/2 1/2 1/2
◆面心点阵 F
除8个顶点外，每 个面心上有一个 阵点，每个阵胞 上有阵点：4个
其坐标分别为： 000， 1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
夹角
α=β=γ= 900 α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ≠ 900 α≠β≠γ≠ 900
晶体实例
NaCl
Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O
小结：晶系与点阵常数的关系
二、晶面指数和晶向指数
1.G(hkl)垂直于正点阵中的（hkl）晶面; 2.其长度G(hkl)等于（hkl）晶面之晶面间距d(hkl)
的倒数。
倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的
对应关系
• G(hkl)的基本性质确切表达了其与(hkl)的一 一对应关系，即一个G(hkl) 与一组(hkl)对
应；
• G(hkl) 的方向与大小表达了(hkl)在正点阵
只含一个阵点的晶胞---简单晶胞（单位晶胞， unit cell） 含有一个以上的晶胞---复杂晶胞
Leabharlann Baidu
晶轴的选择原则
晶轴的选择不是任意的，应遵守下列原则： 91)应符合晶体所固有的对称性。因此，晶
轴与对称轴或对称面的法线重合，若无对 称轴和对称面，则晶轴可平行晶棱选取。 92)在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或 近于垂直，并使轴长趋于近于相等，即尽 可能趋于α=β=γ=90°，a=b=c。
• 显然，h, k, l为互质整数
(2) 晶面指数的确定方法---举例
• 如果在坐标轴上的截距分别为1、2、3，其 倒数为1、1/2、1/3，将三个倒数化为简单 整数为：6、3、2，所以，该晶面的晶面指 数为(632)。
几点注意:
A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就 是负的，并将负号标在数字的上面。
立方晶系
正方晶系
六方晶系
可见，平面间距既与晶胞参数有关，又与晶面指数有关
晶面夹角的计算
• 若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，可 以求二者之间的夹角ψ(晶面法线的夹角 )。 立方晶系的公式 ：
倒易点阵（Reciprocal Lattice ）
倒易点阵的定义
定义：将晶体学中的空间点阵（正点阵），通 过某种联系，抽象出另一套结点的组合，称倒 易点阵。 在晶体点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空 间中将用一个点Phkl表示，该点与晶面有倒易 关系。
矢量的倒数
B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与X、 Y、Z轴的关系，它们之间不能随意变换。
C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的 一组面，而不是一个面。
几点注意：
D、对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价 的面具有相同的指数，这些结晶学上的等 价面就构成一个晶面族 {hkl}。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。如（100） (001）。
中的方位与晶面间距；反之，(hkl)决定了
G(hkl) 的方向与大小; • G(hkl) 的基本性质也建立了作为H(hkl) 终点
的倒易(阵)点与(hkl)的一一对应关系：
倒易点与正点阵中的（hkl）晶面的
对应关系
(1) 正点阵中每一组(hkl)对应着一个倒易 点，该倒易点在倒易点阵中的坐标(可称阵 点指数)即为hkl ；
• 1. g*矢量的长度等于其
对应晶面间距的倒数
• g* hkl = n/dhkl • 2.其方向与晶面相垂
直 • g* //N(晶面法线)
倒易点阵的基本性质
3 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积 为1，不同名基矢的点积为零，即：
(1) 正点阵晶胞（或原胞）体积V与倒易 点阵晶胞（或原胞）体积V*成倒数关
¾ 它们是法国晶体学家布拉菲总结出来的，故亦称 为布拉菲点阵。
¾ 根据点阵参数的特点和结点的分布，所有晶体空 间点阵的种类有14种。
14种可能的Bravais点阵
晶系与布拉菲点阵
• 根据结点在单胞中的分布，单位点阵有 简单（原始）点阵（P）： 结点均在角顶上 底心点阵（C）： 除角顶外每一对面上各有一个 结点 体心点阵（I）： 除角顶外中央有一个结点 面心点阵（F）： 除角顶外每个面上均还有一个 结点
空间点阵和晶体结构的关系
空间点阵+结构基元=晶体结构
虽然空间点阵只有14种，但晶体结构的 种类是无限的。
小结：晶系与点阵常数的关系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
对于立方体
(100) 面等效的晶面数分别为：3个 表示为 {100} (110) 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 {110} (111) 面等效的晶面数分别为：4个 表示为 {111}
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才 有意义, 在晶体内部这些面都是等效的。
(3) 立方体的几个主要晶面及晶面指数
晶体学知识、倒易点阵
2007.9.18 胡小平
点阵划分为晶格可 以有不同的方法
晶胞的选择方式（原则）
1. 在晶体学中常用与宏观晶体有 同样对称的平行六面体作为晶 胞；
2. 它们应具有棱与棱之间的最多 直角数；
3. 还应具有最小的体积。 4. 当交角不为直角时，在遵循前
三条的前提下，应选择结点间 距小的行列作为平行六面体的 棱，且棱间交角接近于直角的 平行六面体。
• 结点(阵点）的空间位置表示： 用它在三个晶轴上的截距并用a，b，c 来度量。 如000；111； 1/2 1/2 1/2 等。
晶系与布拉菲点阵
◆简单（原始）点阵 P
• 单胞中结点的数目：1 • 简单点阵的阵点坐标为:
000
◆底心点阵 C
除八个顶点上有阵点 外，两个相对的面心上 有阵点，面心上的阵点 为两个相邻的平行六面 体所共有。
系。 (2) 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互
为倒易。
倒易矢量、倒易点
• 在倒易点阵中建立坐标系，一般取倒易坐标原点 与正点阵的坐标原点重合。
• 由倒易坐标原点向任意倒易阵点（倒易点）的连
接矢量称为倒易矢量，记为G(hkl)。 • G(hkl)的终点坐标为（h, k, l) • G(hkl) =ha*+kb*+lc* • G(hkl)的基本性质为：
晶体的坐标
(2) 晶面指数的确定方法
• 在一组互相平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距并以点阵的 三个单位向量a, b, c来度量；
• 写出三个截距的倒数； • 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，
把它们化为三个简单整数，再用圆括号括 起，即为该组晶面的晶面指数，记为(hkl)。
1、图中虚线代表平面点阵(hkl)的法线，在虚线 上等间距排列的点为倒易点阵点nh nk nl； 2、相邻两倒易点阵点间的距离为1/dhkl；
3、晶体中有无数组平面点阵，对每一平面点阵 族都可按上图那样得到一个直线点阵；
4、由于晶体的点阵性质，所有这些直线点阵中 的点形成三维点阵，称为点阵S 的倒易点阵S*。
a∗ = b × c V
b∗ = c× a V
c∗ = a×b V
•(仅当正交晶系）
a∗ = 1 ，b∗ = 1 ，c∗ = 1
a
b
c
倒易点阵的基本性质
• 根据定义在倒易点阵中,从 倒易原点到任一倒易点P的
矢量称倒易矢量ghkl
• g* hkl = ha ∗ + kb∗ + lc ∗
• 可以证明:
正倒易点阵的几何对应关系
晶面与倒易结点（矢量）的关系
定义倒易点阵（见书）
• 定义：倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异 名矢量构成的平面
c∗ ⋅c = a∗ ⋅ a = b∗ ⋅b = 1
a∗ ⋅b = a∗ ⋅c = b∗ ⋅ a = b∗ ⋅c = c∗ ⋅ a = c∗ ⋅b = 0
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
• 点阵中所有的晶面都有自己的面间距，一般的规律是:在 空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶 面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要 性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。
晶面指数与晶面间距和晶面上结点密度的关系（二维）
平面间距d(hkl)的计算
• 不同晶系的平面间距可用不同的公式计算：
(2) 反之，一个阵点指数为hkl的倒易点对 应正点阵中一组(hkl)，(hkl)方位与晶面
间距由该倒易点相应的H(hkl) 决定。
总结：倒易点阵的性质
• 倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。 • 正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的
倒数。 • dhkl=1/r* • 同样倒易点阵平面间距也等于正空间点阵
2、晶向指数
• 晶向指数表示某一晶向（线）的方向，一 个晶向的指数就是其方向余弦数。
立方体系中的几个 晶向指数
3、晶向指数的确定方法
• 在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点的 结点直线；
• 在该直线上选距原点最近的结点，量出它的结点 坐标（用a, b, c度量） ；
• 将三个坐标值化为简单整数u, v, w，用方括号括 起，即为该晶向族结点直线的晶向指数。当泛指 某晶向指数时，用[uvw]表示。
晶系与布拉菲点阵
• 从以上原则来选取晶胞，只需7种晶胞就可 包括所有的晶体，从而所有晶体都分成7种 晶系：
立方晶系(等轴晶系) 正方晶系(四方晶系) 六方晶系 菱方晶系（三方晶系） 斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
晶系与布拉菲点阵
• 布拉菲点阵 如果在空间点阵的单位阵胞中只有一个阵点，或 者包含有两个或两个以上的阵点，而每个阵点的 环境和阵胞中其它阵点的环境都完全相同，则这 种点阵称为布拉菲点阵。
例：立方晶系中的一些重要晶向
[100]: 轴向 [110]: 面对角线 [111]: 体对角线 [112]: 顶点到面心方向 在立方晶系中，如果一
个晶面指数与一个晶 向指数数值相等，符 号相同，则该晶面与 晶向互相垂直[100]。
4、平面间距 d(hkl)
• 平面间距是指平面点阵族(hkl)中两个相邻的平行晶面间 的垂直距离。通常用d(hkl)或简写为d来表示。