晶体的投影和倒易点阵ppt课件

a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b = 0 倒易点阵的基矢垂直于正点阵异名矢量构成的平面。
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单位
格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
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a b c , V
W
E
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经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到 此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相 对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。
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1.4 倒易点阵
[uvtw]; 点阵参数：a、b、c、α、β、γ，基矢量a、b、c，任意矢量R可
表示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与
c，c与a，a与b之间的夹角。
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二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立 起来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶
立方二维点阵与其倒易点阵的关系：
Z
立方晶格的倒易变换
0.25 Å-1
Y
1Å
b
(010)
020 120 220 X H220
(220)
(110) (100)
(210)
c
a
正晶格
b* 010
110
210
H110
H210
C*
100
200
000 a*
倒易晶格
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
➢ 极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
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D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
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球面投影与极射赤面投影之间的关系： 球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径； 球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径； 水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身； 水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆； 倾斜小圆的投影为椭圆； 直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。
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晶体的球面投影
球面坐标：
如果此球面具有像地球仪那样的经纬线，而且以φ表示经度，ρ表 示纬度，那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标φ和ρ在 这里将有一致的表达。
球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的两个晶面法线之间 的夹角。面间夹角就是它的补角。 方位角φ: 0 ~ 360 极距角ρ: 0 ~ 180, 从北极开始
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2. 晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平 投影和极射赤平投影。
➢ 心射极平投影：
定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点， 以球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点。 缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影 平面只能记录球面上部分晶面极点。 应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。
d(20) d(10)
d(02) d(01)
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三、倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
设有一正点阵S，它由三个基矢a，b，c来描述，即S=S(a，b， c)。现引入三个新基矢a*，b*，c*，由它们描述倒易点阵 S*=S*(a*，b*，c*)。则新基矢a*，b*，c*与正点阵基矢a， b，c的关系为： a*·a = b*·b =c*·c =1，
a * bc sin 1 V a cos
b c a ， b * ac sin 1
V
V b cos
c a b ， c * ba sin = 1
V
V c cos
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与 c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则 a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
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一、晶体的球面投影和极射赤面投影
1. 晶体的球面投影：各晶面法线之投影。设想以晶体的中心为球心， 任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。
大园: 过球心的平面 小园: 平面半径小于球的半径
1.正点阵 2.倒易点阵 3.倒易矢量的基本性质 4.正倒空间的关系 5.广义晶带理论
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一、正点阵
概念：晶体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周 期性排列；与晶体结构相关，描述的是晶体中原子的分布规律， 是实际物质空间，所在空间为正空间；
分类：7大晶系、14种晶胞类型; 晶面、晶向表征方法：米勒指数（hkl）、[uvw]或（hkil）、
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
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概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*
kb*
lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
g* hkl =1/dhkl
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证：设ABC平面是正点阵中平行晶面(hkl)组中距原点最近的平面， 它在三个晶轴上的截距分别为a/h、b/k、c/l。由图可知，有矢量关 系式AB = OB-OA，所以：AB = b/k – a/h，
则g*hkl·AB = ( ha*+kb*+lc*)·(b/k – a/h) = h/k a*·b –a*·a +b*·b –k/h b*·a + l/k c*·b –l/h c*·a = 0 所以g*hkl ⊥AB，同理g*hkl ⊥BC，
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极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶
向间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到
限制。
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2. 乌氏网：(Wulff net)
以同时过NS和EW的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的 交点，即前后极点F或L，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。 南北轴NS和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后 轴FL的投影为乌式网的中心； 经线的投影为一簇以N、S为端点的大圆弧； 纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。 实际使用的乌式网直径为20 mm，圆弧间隔均为2° 乌式网的应用：1.夹角测量；2.晶体转到；3.投影面转换
故g*hkl⊥ABC平面， 即g*hkl⊥(hkl)晶面。
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设n为沿着g*hkl方向的单位矢量，则n = g*hkl / |g*hkl|。由图知，dhkl等 于a/h在n方向上的投影，即
dhkl = a/h·n = a/h·( ha*+kb*+lc*)/ |g*hkl| = 1/ |g*hkl|
面在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射
现象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
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2. 倒易点阵坐标系的建立：
➢ 从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该 法线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
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目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵