晶体学基础-倒易点阵

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晶体学基础-倒易点阵

倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。

倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。

将晶体点阵空间称为正空间。

倒易空间中的结点称为倒易点。

部分。

a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。

倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。

S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。

(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。

a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。

CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。

左图图面为（010）面。

•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。

把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。

所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。

倒易点阵介绍

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的端点如果在反射球面上，说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上，说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反射球，这是因为只有在这个球面上的倒易点所对应的晶面才能产生衍射。有时也称此球为干涉球， Ewald球。围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点形成的球称为倒易球以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。

26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶体衍射有力手段。

2-4-倒易点阵

第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。

矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。

相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。

显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。

我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。

其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。

5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。

倒易点阵

倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三维晶体中的衍射。在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢

倒易点阵名词解释

倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。

倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。

倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。

到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。

由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。

在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。

但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。

倒易点阵

由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角： c 与c 的夹角
*

根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a

2011 固表 Chap 3 XRD-1-2 晶体学知识-晶面指标-倒易点阵

第三章X射线衍射法（X-Ray Diffraction：XRD）一晶体学知识晶体对X-射线的衍射二X-射线的本质、产生与探测三X-射线衍射法原理四X-射线粉末衍射（实验方法）五X-射线衍射法在物相分析中的应用晶胞的指标化晶体中最小的结构重复单元，形状为平行六面体，其三边长度a,b,c不一定相等，也不一定垂直。

整个晶体是由晶胞并置堆砌而成。

划分晶胞2原则：一是尽可能反映晶体内结构的对称性；二是尽可能小。

晶胞的两个基本要素1.晶胞的大小和形状，可以用晶胞参数表示。

2.晶胞中原子的位置，通常用分数坐标表示，原子的位置可用向量OP = xa+ yb+ zc。

---CsCl晶体中，Cs+ (O点)（0，0，0）Cl-（P点）（1/2，1/2，1/2）XY ZOPCsCl晶胞abca bc 1/k 1/l1/h平面在三个坐标轴的截距a/h, b/k, c/l ，点阵平面的指数定义为hkl （hkl 为整数且无公约数）。

坐标原点到hkl 平面的距离d hkl 称晶面间距（d hkl ）。

从原点发出的射线在三个坐标轴的投影为ua, vb, wc ，（uvw 为整数且无公约数）称为点阵方向或晶向[uvw]。

[uvw]点阵平面的指数晶面指标---米勒指数（Miller indices）的定义晶面在三个晶轴上的倒易截数的互质整数之比。

截距：h’a, k’b, l’c截数：h’, k’, l’倒易截数：1/h’, 1/k’, 1/l’倒易截数之比化为一组互质的整数比：1/h’:1/k’:1/l’~（h*:k*:l*）(h* k* l*) 称晶面指标，abc右图晶面：1/3:1/2:1/1~2:3:6，则晶面指标(236)。

倒易点阵一、布拉格方程的另一种表示方法2d h*k*l*sin θ= n λn:晶面间距为d h*k*l*的晶面（h*k*l*）进行着n 级反射。

此式可以化为2d h*k*l*sin θ/n = λ如果用d hkl 代替d h*k*l*/n ，则2d hkl sin θ= λ式中d hkl 是假想的（hkl ）晶面的面间距。

倒易点阵

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。

第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件

单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群对称要素晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面，，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。

倒易点阵介绍

❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
7
是晶带定理。
衍射条件
设:入射线波长为λ,入
射线方向为单位矢量S0,
衍射线方向为单位矢量S,
那么在S方向有衍射线的
条件是:在与S方向相垂
1
直的波阵面上,晶体中各
原子散射线的位向相同。
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
5
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b)
表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：

倒易点阵

r r G h1 k1l1 = h1 a ′ + k 1b ′ + l1 c ′ r r r r G h2 k 2 l 2 = h2 a ′ + k 2 b ′ + l 2 c ′ r r r r G h1 k1l1 ⋅ G h 2 k 2 l 2 = G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ r r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ = r ⋅ r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,

三维晶体的倒易点阵

三维晶体的倒易点阵
在固体物理学领域中，晶体结构是一个重要的研究方向。

晶体的结构可以通过晶体学中的点阵理论进行描述和分析。

在三维晶体中，倒易点阵是一个关键概念，它对于理解晶体的物理性质和行为起着重要的作用。

倒易点阵是指晶体中原子的倒空间排列方式。

倒空间是晶体中晶胞的倒格子所张成的空间。

晶体的倒格子是原晶格的傅里叶变换。

在倒空间中，原子的位置和相互关系对应于在实空间中原子之间的相对位置和相互关系。

倒易点阵可以通过倒格子的点群和空间群来描述。

点群是倒格子中保持不变的对称操作的集合，而空间群则是包括平移操作在内的点群和平移操作的组合。

倒易点阵具有与原晶格相似的对称性，但是点群元素的性质发生了改变。

例如，在立方晶体中，原晶格具有立方对称性，而其倒易点阵具有体心立方对称性。

倒易点阵的理解对于研究晶体的电子结构、光学性质等具有重要意义。

电子在倒易点阵中的能带结构决定了晶体的导电性质。

倒易点阵的对称性可以导致特殊的电子态出现，例如在倒易点阵中存在能带交叉点的材料具有独特的电子输运性质。

另外，倒易点阵还可以用来描述晶体的光学性质，例如晶体的光学吸收、折射等现象。

总而言之，三维晶体的倒易点阵是描述晶体结构和性质的重要概念。

倒易点阵通过倒格子的点群和空间群来描述晶体中原子的倒空间排列方式。

倒易点阵的理解对于研究晶体的物理性质具有重要意义，包括电子结构和光学性质等方面。

深入理解倒易点阵的概念将有助于我们更好地理解和应用晶体学的知识。

倒易点阵

厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合, 厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合,表示衍射条件与衍射方向
反射球(衍射球, 反射球(衍射球,厄瓦尔德球) 瓦尔德球):在入射线方向上任取一点C为球心,以入射线波长的倒数为半径的球. 产生衍射的条件: 产生衍射的条件:若以入射线与反射球的交点为原点,形成倒易点阵,只要倒易点落在反射球面上, 对应的点阵面都能满足布拉格条件,衍射线方向为反射球心射向球面上其倒易结点的方向.
P1
SP1 / λ
r
* P1
SP2 / λ
S0 / λ
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1,劳埃法:单晶体试样固定不动,采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2,旋转晶体法:单晶体绕与入射线垂直的轴转动.
材料现代研究方法讲义
b×c b×c a*= = V a b × c
c×a c×a b* = = V bc× a a×b a×b c* = = V ca×b
aib * = bic * = cia * = 0
a* = 1 a , b* = 1 b , c* = 1 c
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点,线,面的关系点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * 倒易点阵基本平移矢量: 倒易点阵基本平移矢量:a *, b *, c *
为新的三个基矢, 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢, 引入另一个点阵, 引入另一个点阵,显然该点阵 c×a 中的点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * b* = V 的方向就是晶面(hkl)的法线方的方向就是晶面的法线方 a×b 向,该矢量指向的点阵点指数 c* = V 即为hkl 即为 . 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面

倒易点阵

正点阵基矢间夹角和倒点阵基矢间夹角间的关系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
• 最后得 • 同理得 • 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
a
Hhkl
垂直关系（方向）
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc* Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直，即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
晶体学基础
倒易点阵
Outline
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质
• 由正点阵导出倒易点阵 • 倒易矢量在晶体学中几何关系的应用
倒易点阵引入（1）
• 1913-1921年Ewald根据Gibbs倒易空间概念提出了倒易点阵。 • 晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 底心点阵的倒易点阵仍为底心点阵，如果是C面有心化，倒易点阵单胞的棱长已不是a*, b*, c*，而是 2a*, 2b*, c* 。单胞体积变为正点阵单胞的4倍。
SUMMARY
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质（垂直及倒数关系） • 如何由正点阵导出倒易点阵 • 求点阵平面的法线方向指数
倒易点阵定义
点阵参数分别为a, b, c和a*,b*,c* 的两个点阵的基矢存在如下关系：
则，这两个点阵互为倒易。正点阵晶胞体积为V，则 V = a●b×c 因a ● a*=1，则 a* =(b×c)/V 同理 b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V 同理 a =(b* ×c*)/V*; b =(c* ×a *)/V*; c =(a* ×b)/V* 正点阵晶胞体积与倒易点阵晶胞体积之间也存在倒易关系，即 V● V*≡1

第1章晶体学基础-2-倒格子

电子衍射图
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指两个相邻晶面间的垂直距离。对晶面(hkl), 一般用dhkl来表示其晶面间距。一般的规律是，在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。
d2 HKL
a2 sin 2
b2
c2 sin 2
ac sin 2
14
晶面间距的计算
1 d HKL
RH* KL
1 d2
HKL
R* HKL
2
R* HKL
R* HKL
H a* Kb* Lc* H a* Kb* Lc*
2
2
2
H 2 a* K 2b* L2 c* 2HK a* b* 2HLa* c* 2KLb* c*
将 a*、b*、c* 的定义式代入上式，经适当运算后，即可得各
之平行六面体）体积，按矢量混合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚，数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。

晶体的投影和倒易点阵 ppt课件

9
极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
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D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2021/5/14
球面投影与极射赤面投影之间的关系：
球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径；
球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径；
W
E
14
经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。
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1.4 倒易点阵
第2章晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
1
目录
晶体及其基本性质晶向、晶面及晶带晶体的间隙晶体的缺陷晶体的投影倒易点阵
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
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2021/5/14
2. 倒易点阵坐标系的建立：
从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该法线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数，则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便构成了倒易点阵。

2.晶体学基础

三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立起来的空间点阵，是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵，是因为它的基矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为了便于区别，有时将晶体点阵称为正点阵
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题，能使几何关系更清楚，数学推演更简化。晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只对应一个零维的倒易阵点，晶面间距和取向这两个参量在倒易点阵中只用一个倒易矢量就可以表达。衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易阵点的投影，从这个意义上讲，倒易点阵本身就具有衍射属性
为了从（2-9）式得出倒易基矢量的长度，
将（2-9）式改写成其标量形式：
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
（2-10）式中、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角

图2-37以倒易基矢量c*为例，画出了它
与正点阵的对应关系其中OP为c在c*上的投影，同时也是a、 b所构成的（001）晶面的面间距d001 OP=c cosω＝ d001 1 c*= 1/c cosω=
第二章晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1
晶
体
学基
础
根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲点阵分为四类：
（l）简单点阵：用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点，每个阵点同时为相邻的八个平行六面体所共有，因此，每个阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方法为：以阵胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a、b、c）为度量单位。阵胞顶点的阵点坐标为000。

固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础

1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ；化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义：从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢量来表示。为了表达最简单，应该选择最理想、最适当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且（ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。

晶体学基础-倒易点阵