[理学]弹性力学 第8章_空间问题的基本理论与解答

并使斜面与边界重合。斜面
应力分量( px , py , pz ) 应代之为面力分量
，
从而f得x, 出fy, 空fz , 间问题的应力边界条件:
(lσx m yx n zx )s
fx
,
(x, y, z;l,m,n) .
(在Sσ上)
(d ) 8
§8.1 平衡微分方程
如果边界面 sσ是坐标面，则边界条件可以
得到简化。例如边界面为正、负x面，则
l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：
x
xy
x面 x面
fx, fy,
xz x面 fz
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§8.1 平衡微分方程
如果某一小部分边界上，如S1上，精确的应力边界 条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理， 可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。 有两种表达方式： （1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩 分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条 件）； （2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体， 列出脱离体的力的平衡条件。
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§8.2 几何方程及物理方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系： ⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
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§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
由形变求位移，要通过积分，会出现待定的
函数。若 x yz 0 (x, y, z)，还存在对应的位
对于空间轴对称问题：
所有物理量仅为(ρ,z)的
函数。
应力中只有 σ ,σ ,σ z , z , z 0;
形变中只有 , , z , z , z 0; (a)
位移中只有 u ,uz ,
u 0。
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§8.3 轴对称问题的基本方程
平衡微分方程：
F 0, FZ 0,
σ
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§8.1 平衡微分方程
思考题 z
在图中，若点
o的x向正应力分 量为 σ x ，试表
B dz
示点 A , B 的x向 正应力分量。
dy
y
o dx
A
x
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§8.2 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
x
u x
,
(x, y, z;u,v,w)
(a)
yz
w y
v z
,
(x, y, z;u,v,w)
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§8.2 几何方程及物理方程 空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x
1 E
(σ
x
σ
y
σ
z
),
yz
2(1 E
) yz ,
( x ,y ,z ).
(e)
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§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
x
E
1
( 1 2
x
),
yz
E
(1 )
yz ,
(x ,y , z). ( f )
第8章
空间问题的基本理论 与解答
目录
1
主要内容
§8-1 平衡微分方程 §8-2 几何方程及物理方程 §8-3 轴对称问题的基本方程 §8-4 按位移求解空间问题 §8-5 半空间体受重力及均布压力 §8-6 半空间体在边界上受法向集中力 §8-7 按应力求解空间问题
目录
2
§8.1 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基本 知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
Mz 0. (b)
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
σ x x
yx
y
zx
z
fx
0
,
(x, y, z).
(c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量 纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其 方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余 两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
3
§8.1 平衡微Fra Baidu bibliotek方程
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F x 0,
Fy 0, Fz 0; (a)
Mx 0,
M y 0,
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§8.1 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M x 0 ， yz zy ，
空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (dxd ydz)。
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§8.1 平衡微分方程
在 sσ 上的应力边界条件
设在sσ 边界上，给定了
面力分量( f x , f y , f z )则可将微
分四面体移动到边界点上，
由物理方程可以导出 1 2 Θ, （g）
E
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
E
1 2
--称为体积模量。
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§8.2 几何方程及物理方程
结论：
空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数 在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个 几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。
移分量，为：
u u0 y z z y, (x, y, z;u,v, w). (b)
u0 , v0 , w0 --沿x , y , z 向的刚体平移；
x ,y ,z --绕x , y , z轴的刚体转动。
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§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v, w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u)s u , (u,v, w).
(c)
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§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv
dv (dx x dx)(d y y d y)(d z z dz)dxd ydz
dxd ydz
(1 x)(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
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§8.2 几何方程及物理方程
思考题
若形变分量为零， x γ yz 0 (x,y,z),
试导出对应的位移分量。
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§8.3 轴对称问题的基本方程
空间轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。
采用柱坐标 ( , , z) 表示。
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§8.3 轴对称问题的基本方程
z
z
σ
σ
f
0,
σ z z
z
z
fz
0.
(b)
而由 F 0, 得出为σ σ。
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§8.3 轴对称问题的基本方程
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
u
,
u
,
z
uz