高中数学反三角函数(教案)
第4节 反三角函数（2课时）
第1课时
[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。
另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。
[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道
()?++=+x b a x b x a sin cos sin 22，
其中2
2
2
2
sin ,cos b
a b b
a a +=
+=??，这
样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角?呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]：
师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？
答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数x y sin =在定义域R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：
??
?
???-∈=2,2,sin ππx x y ，这个函数是单调函数，因而有反函数。
师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换y x ,） （这里我们使用符号arcsin 表示反解）反解得y x arcsin =，互换得x y arcsin =，其中
[]??
?
???-∈-∈2,2,1,1ππy x ，这就是要求的反正弦函数。
1． 反正弦函数的图象
反正弦函数[]1,1arcsin -∈=x x y ，与函数??
?
???-∈=2,2,sin ππx x y 互为反函数，因此两个函数图象关于直线x y =对称。 2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）
①定义域为[]11
，-，值域为??
?
???-2,2ππ； ②x y arcsin =在定义域[]11
，-上单调递增； ③x y arcsin =是奇函数，即对任意[]1,1-∈x ，有()x x arcsin arcsin -=- 3． 反正弦函数的恒等式
①由“一一对应”的性质知：对任意值[]1,1-∈x ，在??
?
???-
2,2ππ上都有唯一对应的角
x arcsin ，使得它的正弦值为x ，即得恒等式()[]1,1,arcsin sin -∈=x x x ；
②由“一一对应”的性质知：对任意角??
?
???-
∈2,2ππx ，在[]11，-上都有唯一对应的值x sin ，使得它的反正弦值为x ，即得恒等式()???
??
?-∈=2,2,sin arcsin ππx x x 。 例题选编：
[例1]：求下列反三角函数值： （1）23arcsin
； （2）0arcsin （3）??
?
??-21arcsin 解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记x x x sin 23sin 23arcsin sin 23arcsin
=?=???
? ???=，也就是在??????-2,2ππ上找一个角x ，使得2
3
sin =
x ；（2）（3）类似。 说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。 [例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ： （1）??
????-∈=
2,2,53sin ππx x ， （2）??
????-∈-
=2,2,41sin ππx x ， （3）[]π,0,3
3
sin ∈=
x x 解：利用恒等式2来理解题意：
（1）
()53arcsin sin arcsin 53sin =?=x x ，而???
???-∈2,2ππx ，故有53arcsin =x ；
（3）()33arcsin sin arcsin 33sin =?=
x x ，而??
?
???-?2,2ππx ，故不能直接利用恒等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到???
??
?-
2,2ππ上，此时涉及讨论：
若??
?
???∈2,
0πx ，则()33arcsin 33arcsin sin arcsin =?=x x 若????
??∈ππ,2x ，则??
?
???∈-2,0ππx ，故有 ()()[]3
3
arcsin 33arcsin sin arcsin 33arcsin
sin arcsin =-?=-?=x x x ππ 即3
3arcsin
-=πx 。 [例3]：化简下列各式： （1）???
?
?9sin
arcsin π （2）??? ?
?
65sin arcsin π （3）()π49.3sin arcsin 解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。 （1）
??????-∈229πππ
，，由恒等式2得99sin arcsin ππ=??? ?
?
； （2）66sin arcsin 65sin
arcsin πππ=??
? ??
=??? ?
?
，这里将
65π转化了； （3）()()[]()ππππ49.0sin arcsin 49.03sin arcsin 49.3sin arcsin -=+=
()ππ49.049.0sin arcsin -=-=。
[例4]：判断下列各式是否成立： （1）323arcsin
π=； （2）233arcsin =π； （3）Z k k ∈+=,2
21arcsin ππ （4）3arcsin 3arcsin ππ-=??
?
??-
； （5）()
22arcsin sin =
（6）1010arcsin sin 2
2ππ=???
? ??
解：（1）对；（2）错；（3）当0=k 时对；（4）错，[]1,13
-∈-π
；（5）错；（6）对。
[例5]：写出下列函数的定义域和值域：
（1）x y arcsin 2=； （2）()
x x y +=2
arcsin
解：（1）
[][]1,01,1∈?-∈x x ，由反正弦函数的单调性知[]π,0∈y
（2）()
[]??
?
?
??+---∈?-∈+251,2511,12
x x x ， 这是典型的复合函数求值域问题，由??
?
???-
∈+=1,412
x x u 和反正弦函数的单调性可知： ?????
?
-∈2,41arcsin πy
[例6]：求下列函数的反函数： （1）???
???-
∈=4,4,2sin ππx x y （2）??
??
??∈=23,2,sin 2ππx x y （3）x y arcsin 2
1
2-
= 解：（1）反解得()x x y 22sin arcsin arcsin ==，（恒等式2的运用，注意区间）
互换y x ,即得反函数为x y arcsin 2
1
=
（2）反解得()()[]x x x y
-=-==ππsin arcsin sin arcsin 2arcsin
，互换y x ,即得反函数为2
arcsin
x y -=π。 （3）
作业：P99 练习1、2、3
[课题总结]： [试题选编]：
反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。 三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是 。 为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 教学案例 我所带的是高二（2）班，她是个庞大的班级，有56名学生。 在第一周上课的几天里，我渐渐的发现一名“怪”学生——张勇明。这名学生坐在教室正中间第二排的位置上。这样的位置是老师能看到的最佳位置，就在老师眼皮底下。上课时，其他这种位置的同学慑于被老师盯上，一般都规规矩矩的坐着，认认真真的听课，而这位同学却不然，他好象一点也不怕被我盯上。 上课时，先是看着黑板听一会儿，然后就弯下腰半趴在课桌上什么也不看，懒懒的样子，不知道在干什么。下课后我走到他跟前问他是不是有什么事，他笑着摇摇头说没有。 课后（2）班主任周老师告诉我，其实那个学生的数学基础挺扎实的，只是有些懒不能长久坚持下去，应该多注意多关照一下。 在以后的上课中，我在提问其他同学问题的时候，也有意无意的去提问他。课后，走到他跟前问他有没有不清楚的问题。 渐渐的在以后的课堂上，这位同学半趴在课桌上的次数少了，当讲到关键处时，我也能看到他在集中精力听。而且我还发现他一个很好的学习习惯——提前预习书本内容，提前做课后练习及习题。有一次我讲四种命题的关系，下课后我走到张勇明跟前，看到他已经把下一节充分必要条件的练习题做过啦，而且准确无误。 中段考试成绩出来了，张勇明的数学考了75分（满分150分），全班第一名。其中有一道数学大题难度较大，我曾在课堂上给同学们讲过，可是只有张勇明一个学生作对，其他做对的同学寥寥无几。 由此，我体会到：由于（2）班大部分同学基础比较薄弱，而高中阶段新内容新知识的接受又需要以前所学内容做铺垫，而以前的知识又没真正掌握，这样恶性循环下去以致使他们失去了学习的兴趣。所以在课堂上，多数同学听的蒙蒙胧胧似懂非懂。 针对这种现象，我要求同学做到：（1）把以前的数学课本从家里找到带到教室来，放在课桌上有意识的经常翻一翻。这样有些没记住的公式或不熟悉的公理定理就能记住了。（2）同学们作课堂笔记的时候，对于涉及到的旧知识内容如果不了解，那么也要做笔记。这样易于查漏补缺，新旧内容一起巩固并掌握。（3）当天事情当天做。每天上完新课后，若有不懂的问题争取当天解决，或者问我或者问同学。（4）经常复习巩固。 高二（班）路玉 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 课题：4.2.3 对数函数的图象和性质 【教学目标】 1. 初步了解对数函数的性质，并初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题； 2. 在用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，并探索对数函数的性质的过程中，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养； 3. 类比指数函数的研究过程，让学生经历设计对数函数图象和性质的研究内容方法、步骤并实施，再次提升和丰富了函数的图象和性质研究的基本思想和基本活动经验. 【教学重点】 了解对数函数的图象和性质并能初步应用. 【教学难点】 抽象、概括出对数函数性质（底数a 对对数函数图象变化的影响)． 【教学过程】 教学流程：明确思路→感知图象→发现性质→尝试应用→归纳小结→布置作业 （一） 回顾经验、明确思路 教师导语：对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质—应用”的过程进行研究.前面我们学习了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质.回顾指数函数的研究过程，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法又是什么？ 师生活动：教师引导学生类比指数函数的学习，共同商议、制定研究对数函数的图象和性质的内容、方法以及步骤. 【设计意图】：从初中到现在，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，可以通过类比的方法研究学习，从而明确了对数函数的图象与性质的研究内容、方法以及步骤，为接下来的学习建立先行组织者. （二）尝试画图、形成感知 教师导语：在明确了探究方向后，下面请同学们按照“数学实验活动探究卡”的步骤进行探究活动. 活动（1）自主探究：用描点法画出对数函数x y 2log =的图象. 师生活动：由于描点法作图时列举点的个数的限制，学生对对数函数的图象特征缺乏直观感受．教师借助几何画板作出对数函数x y 2log =图象，验证猜想． 教师追问1：在同一个坐标系中，如何画出对数函数x y 2 1log =的图象？ 高中数学教案模板 篇一：高中数学备课模板《空间中的垂直关系》教学计划- 1 -- 2 - - 3 - - 4 - 篇二：高中数学教案模板(1) 课题：三角函数模型的简单应用学校莱钢高中姓名李红一、教学目标：（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，根据解析式作出图象并研究性质；（2）体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；（3）让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。二、教学重点、难点：重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些问题抽象为三角函数模型。三、教学方法：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。四、教学过程：（一）课题引入生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。（二）典型例题（1）由图象探求三角函数模型的解析式例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误！未找到引用源。．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续教学活动。解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20?C；（2）从图可以看出：从6～14是y?Asin(?x??)?b的半个周期的图象，∴ T ?14?6?8∴T?16 2 2? ∵T? ? ，∴?? ? 8 30?10?A??10??A?10?2又∵? ∴? b?20??b?30?10?20 ?2? ∴y?10? 8 x??)?20 3? ??)??1， 4 将点(6,10)代入得：∴ 3?3????2k??,k?Z，42 3?3? ， ,k?Z，取?? 44 ∴??2k?? ?3? ∴y?10x?)?20,(6?x?14)。 84 【问题的反思】：①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；②与学生一起探索?的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）设计意图：提出问题，有学生动脑分析， 反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。 反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系 加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ 教学片断与案例 1、综合法和分析法的一个教学片断 师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？ 引例1已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 证明：因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥， 因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥. 引例2已知,a b R +∈，求证： 2a b +≥ 证明：要证2 a b +≥a b +≥， 只需证0a b +-，只需证20≥ 因为20≥显然成立，所以原不等式成立． 引例3已知0,0,0>>++>++abc ca bc ab c b a .求证： 0,,>c b a 证：设0abc ，∴0 《对数函数》教学设计 一、教材分析 《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。 二、学情分析 学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。 三、设计理念 按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。 四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。 高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 组合教学设计（第一课时） 一、教材分析 本节课的教学内容是选修2-3（人教A版）§1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。 二、学情分析 从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。 三、设计思想 《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。 四、教学目标 1、知识与技能: 正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质； 2、过程与方法: 借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3、情感态度与价值观: 学会用联系的观点看问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。 五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质 六、教学难点：组合数公式的推导. 七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究 云南省昆明市第三中学课时教案 §2.2.2对数函数及其性质（第三课时） 一．教学目标： 1．知识与技能 （1）知识与技能 （2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. 2．过程与方法 学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 （1）体会指数函数与指数; （2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点： 重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教具： 学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教学过程： 1．复习 （1）函数的概念 （2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log x y y x ==与的函数图象.` 2．讲授新知 2x y = 2log y x = 图象如下： 探究：在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由. 引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论. 在指数函数2x y =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R + ∈∈），而且其在R 上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一 个交点.由指数式与对数式关系，22log x y x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函 数，我们说2log 2()x x y y x R ==∈是的反函数. 从我们的列表中知道，22log x y x y ==与是同一个函数图象. 3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野） 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数. 由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数. 如3log 3x x y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调 3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y x x =∈+∞是指数函数 3()x y x R =∈的反函数. 以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()x y x R =∈的反函数是 2log (0,)y x x =∈+∞. 同理，(1x y a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠. 课堂练习：求下列函数的反函数 （1）5x y = （2）0.5log y x = 归纳小结： 1. 今天我们主要学习了什么？ 2log y x = x 高中数学《诱导公式》教学案例 教材分析：三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教B版）数学必修四，第一章第二节内容，其主要内容是公式（一）至公式（四）。本节课是第二课时， 教学内容是公式（三）。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义 和公式（一）（二）的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发 现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法。 教案背景：通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式（一）（二）的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现三角函数值的关系。同时教材渗 透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。 因此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 教学方法：以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式。 教学目标：借助单位圆探究诱导公式。 能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。 教学重点：诱导公式（三）的推导及应用。 教学难点：诱导公式的应用。 教学手段：多媒体。 教学情景设计： 一．复习回顾： 诱导公式（一）（二）。 角（终边在一条直线上） 思考：下列一组角有什么特征？（）能否用式子来表示？ 二．新课： 已知由 可知 而（课件演示，学生发现） 所以 于是可得：（三） 设计意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出公式。 由公式（一）（三）可以看出，角角相等。即： . 公式（一）（二）（三）都叫诱导公式。利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式。 设计意图：结合学过的公式（一）（二），发现特点，总结公式。 练习 （1） 设计意图：利用公式解决问题，发现新问题，小组研究讨论，得到新公式。 （学生板演，老师点评，用彩色粉笔强调重点，引导学生总结公式。） 三．例题 例3：求下列各三角函数值： （1） (2) (3) (4) 例4：化简 设计意图：利用公式解决问题。 练习： （1） （2）（学生板演，师生点评） 设计意图：观察公式特点，选择公式解决问题。 四．课堂小结：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，体现转化化归，数形结合思想的应用，培养了学生分析问题、解决问题的能力，熟练应用解决问题。 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 《对数的概念》教学设计 一、教材分析 本节课是新课标高中数学必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备.同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义. 二、学情分析 大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法. 三、设计思路 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权. 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能. 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化. 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一. 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识. 五、重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化. 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解. 课题：三角函数模型的简单应用 学校莱钢高中姓名李红 一、教学目标： （1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，根据解析式作出图象并研究性质； （2）体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型； （3）让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。 二、教学重点、难点： 重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题． 难点：将某些问题抽象为三角函数模型。 三、教学方法： 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。 四、教学过程： （一）课题引入 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。 （二）典型例题 （1）由图象探求三角函数模型的解析式 例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误！未找到 引用源。．Array（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式 设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续教学活动。 解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是C 20； （2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(?ω的 半个周期的图象， ∴ 86142 =-=T ∴16=T ∵ω π 2= T ，∴8 π ω= 又∵??? ????=+==-=20 210301021030b A ∴???==2010b A ∴20)8 sin( 10++=?π x y 将点)10,6(代入得：1)4 3sin(-=+?π ， ∴ Z k k ∈+=+,2 3243ππ?π， ∴Z k k ∈+ =,432ππ?，取4 3π ?= ， ∴)146(,20)4 38sin(10≤≤++=x x y π π。 【问题的反思】： ①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围； ②与学生一起探索?的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！） 设计意图：提出问题，有学生动脑分析，自主探究，培养学生数形结合的数学思考习惯。 反三角函数 Inverse trigonometric functions 第1节反三角函数·概述 原创/O客 把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。 它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●反正弦的值域 先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。 正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。 但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。 ●请参考我的三角函数salon 第2节反三角函数·理解与转化 原创/O客 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●符号理解 初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。 一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。 另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解： ①它是一个角。即一个实数。arc sinx ∈R . ②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx ≤π/2。 ③这个角的正弦值等于x 。sin(arc sinx)=x. ●互化 反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。 有互化公式（充要条件）如图。 ●请参考我的三角函数salon 第3节 反正弦函数的图象和性质 原创/O 客 函数名称 反正弦函数 解析式 y=arc sinx 图象 反正弦曲线（图3） 1.定义域 [-1,1] 2.值域 [-π/2, π/2] 3.有界性 |y|≤π/2 4.最值 x=1时，y max=π/2 x=-1时，y min=-π/2 5.单调性 增函数 6.奇偶性 奇函数. 7.周期性 无 α=arc sinx x=sin α |x|≤1 -π2 ≤α≤π2高中数学对数函数教案
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