高中数学必修二——圆与圆的位置关系
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联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，
＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆相外切或内切，当 Δ<0时，两圆外离或内含．
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2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
4.2.2
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－
答 有内含、内切、相交、外切、外离五种．
本 课 时 栏 目 开 关
问题2
答
如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据
有以下几点： (1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当l＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
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探究点二 例2 与两圆相切有关的问题 3 y＝0切于点 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋
4.2.2
(3，－ 3)的圆的方程．
解
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设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将x2＋y2
－2x＝0化为标准形式为(x－1)2＋y2＝1，由题意可得 a－12＋b2＝r＋1， |a＋ 3b|＝r， 2 b＋ 3 1 · － ＝－1. 3 a－3 a＝4， 解得b＝0， r＝2. a＝0， 或b＝－4 3 r＝6.
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4.2.2
小结
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和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系
也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方 程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往 还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．
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4.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
[问题情境] 同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形 轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？ 本节就来探讨这个问题．
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探究点一 圆与圆的位置关系
4.2.2
问题1 圆与圆的位置关系有几类？
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解 方法一 圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 2 2 ① x ＋y ＋2x＋8y－8＝0， 2 2 x ＋ y －4x－4y－2＝0 ② 1－x 1－x ①－②，得x＋2y－1＝0，即y＝ ，将y＝ 代入①，并整 2 2
理，得x2－2x－3＝0.由Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所 以，x2－2x－3＝0有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别 代入方程x＋2y－1＝0，
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问题3 判断两圆位置关系的步骤如何？
答 (1)将两圆的方程化为标准方程；
4.2.2
(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；
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(3)求两圆的圆心距d； (4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．
问题4
答
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x
4.2.2
跟踪训练1 圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y ＋1＝0的位置关系是 A．相交
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( C ) C．外切 D．内含
B．外离
解析 圆A的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆B的标准方 程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，两圆心之间的距离为 －2－12＋－1－32 ＝5＝2＋3，即两圆心距＝r1＋r2，故 两圆外切．
得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)， B(x2，y2)，即圆C1与圆C2相交．
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4.2.2
方法二
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把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.
圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1＝5.把圆C2的方程化成标 准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10.圆C2的圆心是点(2,2)，半径长 r2 ＝ 10 .圆C1与圆C2连心线的长为 －1－22＋－4－22 ＝ 3 5 ，圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋ 10 ，两半径长 之差r1－r2＝5－ 10.而5－ 10 ＜3 5 ＜5＋ 10 ，即r1－r2＜3 5 ＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交．
填一填·知识要点、记下疑难点
4.2.2
2．代数法判定圆与圆位置关系：通过两圆方程组成方程组的公 共解的个数进行判断． 圆C1方程 消元 ——→一元二次方程． 圆C2方程 当Δ>0时，两圆 相交 ；当Δ＝0时，两圆 内切或外切 ；当Δ<0 时，两圆 外离或内含 ．
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填一填·知识要点、记下疑难点
4.2.2
1．几何法判定圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为r1、r2，
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两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： (1)当d>r1＋r2时，圆C1与圆C2 外离 ； (2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切 ； (3)当|r1－r2|<d<r1＋r2时，圆C1与圆C2 相交 ； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2 内切 ； (5)当d<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含 ．
故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 3)2＝36.
4.2.2
4.2.2
[学习要求]
圆与圆的位置关系
1．理解圆与圆的位置关系的种类；
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2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法， 能够利用上述方法判定两圆的位置关系； 3．体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． [学法指导] 通过观察图形，探究出两圆的圆心之间的距离与两半径和与 差的大小关系作为判断两圆位置关系的方法，理解并掌握圆 与圆的位置关系，培养数形结合的思想．
＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆相外切或内切，当 Δ<0时，两圆外离或内含．
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2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
4.2.2
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－
答 有内含、内切、相交、外切、外离五种．
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问题2
答
如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据
有以下几点： (1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当l＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
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探究点二 例2 与两圆相切有关的问题 3 y＝0切于点 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋
4.2.2
(3，－ 3)的圆的方程．
解
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设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将x2＋y2
－2x＝0化为标准形式为(x－1)2＋y2＝1，由题意可得 a－12＋b2＝r＋1， |a＋ 3b|＝r， 2 b＋ 3 1 · － ＝－1. 3 a－3 a＝4， 解得b＝0， r＝2. a＝0， 或b＝－4 3 r＝6.
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小结
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和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系
也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方 程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往 还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．
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[问题情境] 同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形 轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？ 本节就来探讨这个问题．
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4.2.2
问题1 圆与圆的位置关系有几类？
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解 方法一 圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 2 2 ① x ＋y ＋2x＋8y－8＝0， 2 2 x ＋ y －4x－4y－2＝0 ② 1－x 1－x ①－②，得x＋2y－1＝0，即y＝ ，将y＝ 代入①，并整 2 2
理，得x2－2x－3＝0.由Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所 以，x2－2x－3＝0有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别 代入方程x＋2y－1＝0，
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问题3 判断两圆位置关系的步骤如何？
答 (1)将两圆的方程化为标准方程；
4.2.2
(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；
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(3)求两圆的圆心距d； (4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．
问题4
答
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x
4.2.2
跟踪训练1 圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y ＋1＝0的位置关系是 A．相交
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( C ) C．外切 D．内含
B．外离
解析 圆A的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆B的标准方 程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，两圆心之间的距离为 －2－12＋－1－32 ＝5＝2＋3，即两圆心距＝r1＋r2，故 两圆外切．
得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)， B(x2，y2)，即圆C1与圆C2相交．
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4.2.2
方法二
本 课 时 栏 目 开 关
把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.
圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1＝5.把圆C2的方程化成标 准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10.圆C2的圆心是点(2,2)，半径长 r2 ＝ 10 .圆C1与圆C2连心线的长为 －1－22＋－4－22 ＝ 3 5 ，圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋ 10 ，两半径长 之差r1－r2＝5－ 10.而5－ 10 ＜3 5 ＜5＋ 10 ，即r1－r2＜3 5 ＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交．
填一填·知识要点、记下疑难点
4.2.2
2．代数法判定圆与圆位置关系：通过两圆方程组成方程组的公 共解的个数进行判断． 圆C1方程 消元 ——→一元二次方程． 圆C2方程 当Δ>0时，两圆 相交 ；当Δ＝0时，两圆 内切或外切 ；当Δ<0 时，两圆 外离或内含 ．
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填一填·知识要点、记下疑难点
4.2.2
1．几何法判定圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为r1、r2，
本 课 时 栏 目 开 关
两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： (1)当d>r1＋r2时，圆C1与圆C2 外离 ； (2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切 ； (3)当|r1－r2|<d<r1＋r2时，圆C1与圆C2 相交 ； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2 内切 ； (5)当d<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含 ．
故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 3)2＝36.
4.2.2
4.2.2
[学习要求]
圆与圆的位置关系
1．理解圆与圆的位置关系的种类；
本 课 时 栏 目 开 关
2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法， 能够利用上述方法判定两圆的位置关系； 3．体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． [学法指导] 通过观察图形，探究出两圆的圆心之间的距离与两半径和与 差的大小关系作为判断两圆位置关系的方法，理解并掌握圆 与圆的位置关系，培养数形结合的思想．