离散傅里叶变换解释的最透彻的包括定义物理意义以及使用注意事项

离散傅里叶变换（解释的最透彻的|包括定义物理意义以及使用注意事项）

定义几个与X(k)相关的序列

幅度谱A(k)=|X(k)|

相位谱φ(k)=arctan{X I(k)/ X R(k)}

功率谱S(k)=A(k)*A(k)

离散傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性

1物理意义

设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示

X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^jωn

X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换

离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(e jω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.

2DFT隐含的周期性

DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性

(1) 从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(e jω)在[0,2π]上的

N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(e jω)的等间隔采样。由于X(e jω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列

(2) 从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) W N exp^nk，当不

限定N时，具有周期性

(3) 从W N来考虑，当不限定N时，具有周期性

用DFT对模拟信号进行谱分析

在工程实际中经常遇到的模拟信号x n(t),其频谱函数X n(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对x n(t)进行谱分析，对x n(t)进行时域采样得到x(n)= x n(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(e jω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列

然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

模拟信号x n(t)的傅里叶变换对为

X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt

用DFT方法计算这对变换对的方法如下：

1对x n(t)以T为间隔进行采样，即x n(t)|t=nT= x a(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

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2将序列x(n)= x n(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于时域抽样，抽样频率为f s=1/T,则频域产生以f s为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T