三角函数诱导公式.ppt
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1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
3
3
3
32
例7：已知cos(π - α) = - 1，求sin(3π + α)的值。
4
2
解： ∵ cos(π - α) = - 1
4
∴ ∵
-cosα = - 1 4
sin( 3π + α)
即cosα
= -cosα
=
1 4
2
∴ sin( 3π + α) = - 1
2
4
课堂小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 我们可以用下面一段话来概括公式一～
y
(x, y)
p3 160
200 O
p1 (x, y)
sin 380
sin 20
y
a
2 0
P(x, y)
sin 200
y
a
20A (1,0) sin(20 ) y a
p2 (x, y)
sin160
y
a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
线段为半径作一个圆。
已知任意角α的终边与
这个圆相交于点p(x,y）， 由于角 180°+α 的终边就
是角α的终边的反向延长线，
角180°+α的终边与单位圆 的交于点p'(-x,-y)，又因
p(x,y） -1
1
π
o
1
x
-1 p'(-x,-y）
单位圆的半径 r=1，由正弦
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
设 0°≤α≤90°，对于任意一个 0°到360°的 角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。
高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
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02
诱导公式推导与理解
周期性及对称性质
周期性
三角函数具有周期性，即函数值 在一定周期内重复出现。正弦函 数和余弦函数的周期为$2pi$，正 切函数的周期为$pi$。
对称性质
正弦函数和余弦函数具有轴对称 和中心对称性。正弦函数关于原 点对称，余弦函数关于$y$轴对称 。正切函数具有周期性对称。
奇偶性质
本题主要考察三角方程与 不等式的求解方法。通过 诱导公式和同角三角函数 关系式，我们可以将方程 转化为更简单的形式进行 求解。
求不等式 sin^2x - 3sinx + 2 < 0 的解集。
本题主要考察三角函数不 等式的求解方法。通过诱 导公式和因式分解等方法 ，我们可以将不等式转化 为更简单的形式进行求解 。
弧度。
角度与弧度的转换公式
03
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
任意角三角函数定义
正弦函数sinx
正切函数tanx
在直角三角形中，任意锐角的对边与 斜边的比值。
在直角三角形中，任意锐角的对边与 邻边的比值。
余弦函数cosx
在直角三角形中，任意锐角的邻边与 斜边的比值。
三角函数性质与图像
05
课堂小结与拓展延伸
总结本节课所学知识点和技能点
掌握了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等；
学习了三角函数的诱导公式，包括和差化积、积化和差、倍角公式等，能够灵活运 用这些公式进行三角函数的化简和计算；
通过例题和练习，提高了分析问题和解决问题的能力，培养了数学思维和逻辑推理 能力。
强调诱导公式在解题中的重要性
诱导公式是三角函数中的重要内 容，它可以将复杂的三角函数式 化简为简单的形式，从而方便求
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这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式课件
(3)注意“1”的变式应用：如 1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
π6＝－
3 2.
法二 cos －316π＝cos －6π＋56π
＝cos
π－π6＝－cos
π6＝－
3 2.
(3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
[规律方法] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求 解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．
＝sin
(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin
(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)法一 cos －316π＝cos 316π＝cos 4π＋76π
＝cos (π＋π6)＝－cos
探究点2 诱导公式一～四主要有什么作用？ 提示 公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角； 公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数； 公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角的三角函数； 公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数． 因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三角函数.
三角函数诱导公式
诱导公式一～四
温馨提示：公式一～四可概括如下：k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名 函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”(把α视为锐 角)．
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
三角函数的诱导公式 课件
证明：左边＝ csions（（22ππ－－αα））·sin（－α）cos（－α）
cos（π－α）·sin（π－α）
＝－cossiαn（α（－－cosisnαα））·scionsαα＝
变式训练
2.化简：tan2（1－α）＋
1
sin（π2－α）·cos（α－32π）
tan（π＋α）
.
解：∵tan(－α)＝－tanα， sin(π2－α)＝cosα，
cos(α－32π)＝cos(32π－α)＝－sinα， tan(π＋α)＝tanα，
1 ∴原式＝tan12α＋cosα·（ta－nαsinα）
cos（π2＋α）·cos（2π－α）·sin（－α＋32π）
sin（－π－α）·sin（32π＋α）
.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝15，求 f(α)的值．
【解】 (1)f(x)＝
－sinα·cos（－α）·[－sin（π2－α）] sin（π＋α）·sin（π2＋α）
诱导公式
诱导公式
做一做 若cos40°＝a，则sin50°＝________． 解 析 ： sin50° ＝ sin(90° － 40°) ＝ cos40°＝a. 答案：a
想一想 sin32π＋α的值怎么计算？
提示：sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cosα.
利用诱导公式求值
＝（cosθ－＋（sinsiθn）θ＋（ccoossθθ）－2sinθ）＝ sinθ＋cosθ sinθ－cosθ. 右边＝tanta（n8（π＋π＋π＋θ）θ－）1＋1＝
ttaann（（ππ＋＋θθ））＋－11＝ttaannθθ＋－11＝ccssiioonnssθθθθ＋－11 ＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ，所以等式成立．
cos（π－α）·sin（π－α）
＝－cossiαn（α（－－cosisnαα））·scionsαα＝
变式训练
2.化简：tan2（1－α）＋
1
sin（π2－α）·cos（α－32π）
tan（π＋α）
.
解：∵tan(－α)＝－tanα， sin(π2－α)＝cosα，
cos(α－32π)＝cos(32π－α)＝－sinα， tan(π＋α)＝tanα，
1 ∴原式＝tan12α＋cosα·（ta－nαsinα）
cos（π2＋α）·cos（2π－α）·sin（－α＋32π）
sin（－π－α）·sin（32π＋α）
.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝15，求 f(α)的值．
【解】 (1)f(x)＝
－sinα·cos（－α）·[－sin（π2－α）] sin（π＋α）·sin（π2＋α）
诱导公式
诱导公式
做一做 若cos40°＝a，则sin50°＝________． 解 析 ： sin50° ＝ sin(90° － 40°) ＝ cos40°＝a. 答案：a
想一想 sin32π＋α的值怎么计算？
提示：sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cosα.
利用诱导公式求值
＝（cosθ－＋（sinsiθn）θ＋（ccoossθθ）－2sinθ）＝ sinθ＋cosθ sinθ－cosθ. 右边＝tanta（n8（π＋π＋π＋θ）θ－）1＋1＝
ttaann（（ππ＋＋θθ））＋－11＝ttaannθθ＋－11＝ccssiioonnssθθθθ＋－11 ＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ，所以等式成立．
三角函数的诱导公式 课件
给值(或式)求值问题
[典例] 已知cosπ6－α＝ 33，求cos56π＋α的值．
[解] 因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
1．诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
2．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于 x 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝ －sin α . cos(－α)＝ cos α . tan(－α)＝ －tan α .
sin1 440°＋α·cosα－1 080° (2)cos－180°－α·sin－α－180°.
[解]
(1)
cos－αtan7π＋α sinπ－α
＝
cos αtanπ＋α sin α
＝
cos α·tan sin α
α＝ssiinn
αα＝1.
(2)
原
式
＝
sin4×360°＋α·cos3×360°－α cos180°＋α·[－sin180°＋α]
(2)tan 945° ＝ tan(2×360° ＋ 225°) ＝ tan 225° ＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用] 求下列各式的值： (1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos1169π. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－s80°－60°)＝－sin
高中数学三角函数的诱导公式课件ppt
奇变偶不变
符号看象限
注意： 看成锐角;原函数值的符号
22
例题与练习
例3 、证明：i（ n3(21π ） αs)c o s α; ( 2 ) c3o2π s(α)s i n α.
23
例题与练习
1 求下列三角函数值
1sin12000
(1) 3
2cos47/6
2
(2) 3 2
2 求三角式sin12000·cos12900+cos10200· sin10500+tan9450 2
3 计算 cos/5+ cos2/5+
cos3/5+ cos4/5
0
24
例题与练习
练习1 已知sin/4+=1/2;则sin3/4的 值是 1/2
2 已知cos 750+=1/3; 求cos1050+cos2850
0
25
例题与练习
1 已知角的终边上的一点P3a;4a a<0 则cos5400的值是 3/5
8
r 1
公式三
siny c o s xta n y
x
sin()y
cos()x
tan()yy
xx
公式三
sin ( ) sin c o s( )c o s ta n ( ) ta n
9
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin() sin cos() cos tan () tan
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想
14
四 例题分析
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
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05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
三角函数诱导公式(公开课)ppt课件
cosθ = 邻边/斜边
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
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教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
三角函数的诱导公式 课件
sin n
θ＋cos θ－cos
θ θ
右边
公式―一―→、二
tan tan
θ＋1 θ－1
切化―弦―，→化简
sin sin
θ＋cos θ－cos
θ θ
→ 得证
证明：左边 ＝－2sin321π－－2θs·in－2 θsin θ－1 ＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2inθ θ－1 ＝cos－2 θ2＋cossinθ2siθn－θ2－si1n2 θ
• 【特别提醒】灵活运用几个诱导公式进行化简，在化简的 过程中一定要谨慎，防止出现错误功亏一篑．
求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
【思路点拨】
左边
―选公―用式→
－2cos θsin 1－2sin2
θ－1 θ
“消1―”公―的因→代式换
12 分
• 【题后总结】遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善
于利用角的变换的思想方法解决问题．
三角函数的诱导公式
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先 行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行 切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于 kπ±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记运用前一套公式 不变名，而后一套公式必须变名．
• 【特别提醒】运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象 限的符号．
又 α 为第三象限角
∴cos α＝－
1－sin2
α＝－2 5
6 .
• 【即借题f(α发)的挥值】为熟2练56地. 运用诱导公式进行化简求值时，特别 应注意三角函数的符号．
三角函数的诱导公式.ppt
任意负角的 三角函数
用公式三或一 任意正角的 三角函数
用公式一
0o到360o的角 用公式
的三角函数 二或四
锐角三 角函数
例3 填写下表
2 4 5 7
33 3
33
sin 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
cos 1 1 1 1 1
22
2 22
练习反馈
（1）已知
，求tan 9 的值．
（2）已知 cos 3 ，求 cos 5 的值．
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
例4
证明：
（1） sin(3 ) cos
2
（2） cos(3 ) sin
2
1、已知cos(75o ) 1，其中是第三象限角，
公式二：
sin sin
cos cos tan tan
y
T
P（x,y）
r
M
r OM
Ax
P’(-x,-y)
我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系， 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点Px，y，
角 的终边与单位圆相交于点 P，这两个角的终边关于
x 轴对称，所以 Px， y ．
2
2
函数名改变，符号看象限
（将α看成锐角）
综上：奇变偶不变，符号看象限
求sinθ,cosθ,tanθ时，把θ化成θ=k·π/2+α,则
k为奇数时,函数名改变,k为偶数时函数名不变；
符号由将α看成锐角时，θ所在象限的原来函数决定。
三角函数诱导公式PPT 演示文稿
sin(-)cos(2-)tan(-+ 3 ) 2 4.已知 f()= . (1)化简 f(); cot(--)sin(--) 1 , 求 f() 的值; (2)若 是第三象限角, 且 cos(- 3 )= 2 5 (3)若 =- 31 3 , 求 f() 的值; coscot =-cos; 解: (1)f()= sin -cotsin 1. ∴由已知可得 sin = (2)∵cos(- 3 )= sin , 2 5 ∵ 是第三象限角, ∴cos<0. 2 . ∴cos=- 1-sin2 =- 2 ∴ f ( )= cos = 5 6. 5 6 5 , (3)∵ =- 31 = 6 2 + 3 3 31 ∴f(- 3 )=-cos(- 31 ) =-cos(-62+ 5 ) 3 3 5 1 =-cos 3 =-cos = 2. 3
sin2-2sincos-cos2 7.已知 tan(-)=2, 求: (1) ; 4cos2-3sin2+1 5 +)+sin( 3 -)sin(-). (2)2sin(3+)cos( 2 2 解: (1)∵tan(-)=2, 又 tan(-)=-tan, ∴tan=-2. sin2-2sincos-cos2 tan2-2tan-1 7. ∴原式= = = 3 5cos2-2sin2 5-2tan2
2 3.已知 sin+cos= 3 (0<<), 求 tan 的值. 解法1 将已知等式两边平方得 sincos=- 7 <0, 18 ∵0<<, ∴sin>0. ∴由 sincos<0 知 cos<0. ∴sin-cos= (sin-cos)2 = 1-2sincos = 4 3. 2 +4 2 sin = , sin+cos= , 6 3 得 解方程组 2 -4 . sin-cos= 4 , cos = 3 6 sin = -9-4 2 . ∴tan= cos 7
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任意负角的 用公式 三角函数 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
四.例题分析
例1.求下列三角函数值
(1) cos225 cos(180 45) cos45
2
2
(2) sin 11
3
sin(4 ) sin
（3）正切tanα＝ y x
O
x
二思考：
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ，
请同学们思考回答点 P关于原点、x 轴、y 轴对称
的三个点的坐标是什么?
x
点Px，y
轴对称点
关于原点对称点
P3 x， y ，关于
P1 y
x， y ，关于
轴对称点 P2 x，y
探究1
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间
由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出
角 与 的三角函数值之间的关系吗？
r 1
sin y
公式四
cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
的关系
r 1
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
探究2
我们再来研究角 与 的三角
函数值之间的关系
r 1
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
三.发现规律：
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
2k (k z)、、 的三角函数值，
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
小结
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗？
3
3
3 2
(3)sin(16 ) sin 16
3
3
sin(5 )
3
(sin )
3
3 2
(4) cos(2040) cos2040 cos(5360 240)
cos240 cos(180 60) cos60 1
2
7
33 3
33
sin 3 2
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
xx
公式三
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公 式六:
sin(π2 α cos(π2 α
) )
co s
s i
α, nα
π2 α的正弦（余弦）函数 值，分别等于α的余弦（正弦） 函数值，前面加上一个把α看
.成锐角时原函数值的符号。
总结：
1.公式五，六口诀： 函数名改变，符号看象限；
公 式 五:
公 式:
sin(π2 α) cosα, sin(32πα) cosα, cos(π2 α) sinα. cos(32πα) sinα.
人教A版 必修四 1.3节
一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
y P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
公式一：
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
(k Z)
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
公 式六:
公 式:
sin(π2 α) cosα, sin(32πα) cosα, cos(π2 α) sinα. cos(32πα) sinα.
小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
圆的对称性
角的终边 的对称性
对称点的 数量关系
角之间的 数量关系
诱导公式
“对称是美的基本形式”
3 2
3 2
3 2
3 2
cos 1 1 1 1 1
22
2 22
探索研究
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ，
请同学们思考回答点 P关于直线 y x 对称的
点的坐标是什么?
y 1 P′(y,x)
公 式 五:
-1
P(x,y) 1
sin(π2 α) cosα,
0 -1
x
cos(π2 α) sinα.