第三讲 圆周运动的加速度 教案

第三讲圆周运动的加速度同学们好！

上一讲，我们讨论了质点的直线运动，还讨论了曲线运动的一个例子，即抛体运动。这一讲，我们讨论曲线运动的另一个例子—圆周运动。

1.匀速圆周运动的加速度

世界上的很多物体都在做着转动，小到机器的齿轮，大到宇宙中的天体。如果一个质点绕某点转动时的运动轨迹为圆，则称该质点作圆周运动。一般质点作圆周运动时，其速度矢量的大小和方向都随时间变化。但如果质点做圆周运动时，其速度的大小（即速率）不随时间改变，则称该质点做匀速圆周运动。

尽管质点做匀速圆周运动时的速率不变，但速度的方向时刻发生改变，所以速度矢量不是常量，加速度不为零。

如图所示为一个质点作半径为R 的匀速圆周运动，设t 时刻，质点在A 点处，速度为v ；t +Δt 时刻，质点在B 点处，速度为v ′。这里v ′的大小与v 的大小相等，但两者的方向不同。由矢量关系可见，Δt 时间内，质点速度的增量为

v

v v -='Δ由图可见，三角形OAB 和由v 、v ′和Δv 三个矢量组成的三角形为相似三角形，所以速度增量的大小除以速度的大小等于弦长AB 除以圆周的半径R 。或写作t

AB R ΔΔ?=v v 由于当Δt →0时，Δv 的极限方向与速度v 的方向垂直，并指向圆心。为此，我们取圆周上的各点指向圆心的单位矢量n ，称为单位法线矢量。根据加速度的定义，匀速圆周运动的加速度为

n R

n t s R n t AB R t a t t t 20Δ0Δ0ΔΔΔlim Δlim ΔΔlim v v v =?=?==→→→v 由于匀速圆周运动的加速度始终沿法线方向指向圆心，所以

n R

a 2v =称为法向加速度或向心加速度。

2.变速圆周运动的加速度质点作变速圆周运动时，除了速度的方向变化外，速度的大小也在变化。如图所示，设质点在Δt 时间内从圆周上的A 点运动到B 点，速度由v 变化到v '。由于质点作变速圆周运动，所以v ≠v '。在Δt 时间内质点速度的增量为Δv =v '-v ，显然对于变速圆周运动，Δv 是由速度矢量大小的变化和方向的变化共同决定的。

为了把这两种变化对Δv 的贡献分别表示出来，我们以矢量v 的起点为圆心，以v 的大小为半径作圆弧交v '于C 点，则可以得到矢量Δv n 和Δv t 。其中Δv n 仅由速度方向的变化所引起，而Δv t 仅由速度大小的变化所引起。由矢量的三角形叠加法则，速度矢量在Δt 时间内的增量又可以表示为

t

n v v v ??+=Δ所以质点做变速圆周运动时的加速度可表示为

t

t t t

t n t t ΔΔlim ΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ0Δv v v →→→+==a 由速度的矢量关系可见，当Δt →0时，Δv n 的极限方向指向圆心，而Δv t 的极限方向指向圆的切线方向。为此以质点的位置为坐标原点，取指向圆心的单位矢量为n ；沿切线指向质点运动方向的单位矢量为τ。这种固定在运动质点上，并以轨道的法线方向和切线方向为坐标轴的坐标系称为自然坐标系。

上式中的第一项就是前面讨论过的法向加速度或向心加速度，它仅仅是由速度方向的改变所引起的，以a n 表示，即

n a r

t n t n 20ΔΔΔlim v ==→v 而上式中的第二项，因Δv t /Δt 的极限值等于A 点速率的变化率，且Δv t 的极限方向为A 点速度v 的方向（即单位矢量τ的方向）。所以，这个极限称为切向加速度，它仅仅是由速度大小的改变所引起的，以a t 表示，即

τa t

t t t t d d ΔΔlim 0Δv ==→v 综上所述，在自然坐标系中，变速圆周运动的加速度a 可分解为法向加速度a n 和切向加速度a t 两部分，即

τn a a a t

r t n d d 2v v +=+=

在变速圆周运动中，速度的方向和大小都在变化，所以加速度a 的方向不再指向圆心。令总加速度与切向加速度之间的夹角为φ，则变速圆周运动加速度的大小和方向由下式确定

t n t n a a t r a a a =??

? ??+???? ??=+=?tan d d 2

2222v v 下面我们来看一个例题。一质点以R 为半径做圆周运动，质点沿圆周所经历的路程为22

1bt s =，其中b 是常量。求质点在t 时刻的速率、法向加速度a n 的大小、切向加速度a t 的大小及总加速度a 。

质点的速率为

bt bt t t s =??

? ??==221d d d d v 可得法向加速度和切向加速度的大小分别为

R

t b R a n 222==v ()b bt t

t a t ===d d d d v 总加速度的大小为1242222222+=+???

? ??=+=R t b b b R t b a a a t n 总加速度a 与切向加速度a t 之间的夹角φ由

R

bt a a t n 2tan ==?确定。

3.任意曲线运动的加速度

上述结果虽然是从变速圆周运动中得到的，但可以证明，它同样适用于一般

的曲线运动。如图所示，我们知道曲线上的每一点都对应一个与曲线相切的圆，称为曲率圆，其半径ρ称为该曲率圆的曲率半径。当以图中P 点的曲率圆代替P 点附近的元弧段时，质点在P 点处的加速度可表示为

τ

t n ρa a a τn

d d 2

v v +=+=练习题

由曲线运动的加速度公式，计算抛体运动轨道顶点处的曲率半径。

这一讲就到这里，同学们再见！