相关性与Copula函数

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10.12
因子模型
假设N 个变量, Vi (i =1 , 2, ..., N),均服从一个多元正 态分布, 则需要顾及 N × (N –1)/2 [= (N × N – N)/2] 个相关系数.
如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估 计参数的个数减至N 个.
10.7
监测相关系数(续)
在 EWMA 中，同样可以采用与更新方差类似的 方式更新协方差: covn λ covn1 (1 λ) xn1yn1.
在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 协方差的更新由下式给 出: covn ω α xn1yn1 β covn1 .
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精确地讲，如果对于所有的x等式成立,
f (V2 | V1 x) f (V2 ) 其中f (∙) 是概率密度函数，则V1 和 V2相互独立。
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10.3
零相关
如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无 关联吗？
10.6
检测相关系数(续)
第n天的协方差
covn = E(xn yn) – E(xn) E(yn)
常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着 变量X及Y在第n天的协方差可以被简化为
E(xn yn).
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10.8
半正定矩阵
方差协方差矩阵 Ω 满足内部一致性条件，如果此 矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下 不等式成立 wTΩw 0
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10.9
例
考虑一下矩阵:
1 0 0,9 0 1 0,9. 0,9 0,9 1 可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量 和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、 2个变量之间无关，.
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10.13
因子模型(续)
假设变量U1, U2, ..., UN 均服从标准正态分布.. 在单因子模型中，每个 Ui (i = 1, 2, ..., N)均同一个
共同的因子 F 及另外一个相互独立的因子有关， 准确地讲:
假设已知 V1 有一个观测值 v1.
根据以上信息, 变量 V2 也服从正态分布，
其均值为
μ2
ρσ 2
v1
μ1 σ1
标准差为
σ2 1 ρ2.
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10.11
多元正态分布
多元正态分布很容易被理解及应用。因此我们可 以将多元正态分布用于描述变量之间的相关结构， 这甚至在每一个单一变量不服从正态分布时也可 以做到。
10.4
几种关联形式
E(V2) V1
(a) E(V2)
(c)
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E(V2) V1
(b) V1
10.5
监测相关系数
假定变量X 和 Y 在第i天结束时的价值为Xi 和 Yi ， 变量X 和 Y 在第i天的收益率为
相关性与 Copula 函数
第 11 章
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10.1
相关系数
变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
ρ E(V1V2 ) E(V1)E(V2 ). SD(V1)SD(V2 )
变量V1 和 V2 的协方差被定义为
答案是否定的！
例如, 有 V1 = –1; 0; +1有均等的可能; 若 V1 = –1 或 V1 = +1 则 V2 = +1; 若 V1 = 0 则V2 = 0;
在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性， 但相关系数为零.
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xi
X i X i1 X i1
yi
Yi Yi1 . Yi1
我们得出变量X 和 Y在第i 天的相关系数为
covn . varx,n vary,n
其中varx,n 和 vary,n 是变量X 和 Y的每天变化的方差， 以及 covn 是协方差.
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Ui aiF 1 ai2Zi . 在单因子模型中，这个表达式变为:
Ui ai1F1 ai2 F2 ... aiM FM 1 ai21 ai22 ... ai
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10.14
高斯 Copula 模型
cov(V1,V2 ) E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
因此相关系数又可以写为:
ρ cov(V1,V2 ) . SD(V1)SD(V2 )
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10.2
独立性
如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观 测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变 量在统计上被定义为独立。
如果令 w = (1, 1, –1), 可以验证此矩阵不满足半正 定条件.
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10.10
二元正态分布
我们假定两个变量 V1 和 V2 服从二元正态分布.
变量 V1 和 V2 的无条件期望值和标准差分别为 μ1, μ2 e σ1, σ2,相关系数为 ρ.
假定我们想定义两个不服从多元正态分布的变量， V1 和 V2，之间的相关关系.
把变量 V1 转化为一个服从正态分布的变量, U1,分 位数与分位数之间的一一映射.