抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧

来源：清华大学附属中小学网校

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所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

1. 换元法

换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)

解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2

+3u+1 (0≤u ≤2)

故f(x)=-x 2

+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法

运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..23

2

|)x (f :|,x )x 1

(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥

=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x

1

)x (f 2)x

1(f ,x x 12=++=

-与已知得得代换用 .23

2

|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由

例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1

x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+

解:(1)1),x 0(x x 1)x

1

x (f )x (f ≠≠+=-+且

,x 1x 1)x

1x 1

x 1

x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用

:x )1(x

-11

(2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f(

得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x

111

x 11

(f )1x 1(f --=+-+=---+-即

1)x 0(x x

2x 21x x )x (f :2)2()3()1(2

23≠≠---=-+且得由 3.待定系数法

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)

代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例5.对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,

,21

)n (f )]1(f [2)n (f )1n (f ,1y ,n x .21)1(f ,0)1(f 2+=+=+===∴≠得令

.2

2001

)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即

例6.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足

f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*). 解:(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数.因为:令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明:u n =f(2n )>0 (n ∈N*)(略) 5.转化法

通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.

例7.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值.

解:令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.

设x 10,由已知得f(x 2-x 1)<0,故f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). 所以f(x)是R 上的减函数,又f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6. 故f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.

例8.定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)

,2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明

0n m )2(f )n m ()2(f )x x (

f )x (f )x (f )1(n m 2

1

21<-=-===--得由 故f(x 1)

(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2) 解得 3

对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.

例9.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;