高一数学必修5数列经典例题

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数学必修五数列练习题

数学必修五数列练习题

数学必修五数列练习题
1. 已知数列{a_n}是等差数列,首项a_1=2,公差d=3,求该数列的第
10项a_10。

2. 某数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n,求该数列的通项公式
a_n。

3. 给定数列{a_n}的递推关系式a_(n+1)=2a_n+1,且a_1=1,求该数
列的前5项。

4. 判断数列{a_n}=n^2-3n+2是否为等比数列,并说明理由。

5. 已知数列{a_n}是等比数列,且a_2a_4=8,a_3=2,求该数列的首项
a_1和公比q。

6. 计算数列{a_n}=3^n-2^n的前5项和S_5。

7. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n,求该数列的第n项a_n。

8. 若数列{a_n}满足a_1=1,且a_(n+1)=a_n+2n,求该数列的前7项。

9. 判断数列{a_n}=2n-1是否为等差数列,并求出该数列的前n项和
S_n。

10. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n/(n+1),求该数列的前n项和
S_n。

11. 给定数列{a_n}的递推关系式a_(n+1)=3a_n+2,且a_1=1,求该数
列的前4项。

12. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_3+a_5=16,a_4=6,求该数列的
首项a_1和公差d。

13. 计算数列{a_n}=n^3-n的前4项和S_4。

14. 若数列{a_n}满足a_1=2,且a_(n+1)=a_n+n,求该数列的前6项。

15. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1,判断该数列是否为等比
数列,并求出该数列的前n项和S_n。

数学必修五数列练习题(含答案)

数学必修五数列练习题(含答案)

精品文档1欢迎下载1等差数列{a n }中已知a , a 4 a^39,a s a 6 a=2,则前9项和S 9的值为( )A. 66B. 99 C . 144D. 2972 •已知数列 a 「是公比为2的等比数列,若a^16,则a i =() A. 1B. 2C. 3D. 43.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a ?的等比中项,S * =32,则編等于A. 18 B24 C .60D .904 .已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a 3 • a 9 =2a 52 ,a 2 =1 , 则 a 1 =() A.1B2■ / C ■ 2D .25 . 已知等差数列 {a n } 的前n 项和为S n , 且 a 4 =18- -a 5,则 S 8 =:( ) A. 18 B .36 C . 54 D726.等比数列爲冲,a 4=4,则a 2 a 6 =() A. 4 B . 8 C . 16 D . 32 7.数列 中,a i 一 -60,a n a n 3,则此数列前30项的绝对值的和为()A.720B.765C.600D.630&已知等比数列前n 项和为S n ,若S 2 =4, S 410 .数列{a n }为等差数列,ai,a 2,a 3为等比数列, A. 5 B . -1 C . 0 D . 1 11.已知等比数列、a n 中,a 1 a^1, a 4 • a 5 - -8,则公比q =()(A ) -2(B ) 21 1 (C ) - 1(D ) 12212 .观察下列数的特点,1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,A. 12 B . 13 C . 14 D . 1513.右 a 1 =3,a 2 -6, a n 2 - a n 1 —a .,贝V 833=( )A. -3B. 3C. -6D. 614 .已知数列{a n }满足二二;让、二那么坛碍的值是() 2 —A. 2011B . 2012 X 2011C . 2009 X 2010D . 2010 X 201115 .数列 --------- 1 ------- ,… 的一个通项公式是1 2 2 3 3 4A. 160B. 64C. -64D.-1609.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且 a 3 311=16,贝U a 6 =(A ) 1 (B ) 2(C ) 4(D )=16,则 S & 二(a5 =1,贝U aw =(…中,其中x 是()12O O试卷第2页,总4页A.D .以上都不对n(n -1)n(n 1)(n 1)(n 2)16 .数列:an ?是等差数列, a4 ~ -4, a ? = 4, &是:a n 』的前n 项和,则(c.S5 = S 7D.S6 = S 7{a *}中,3a 1, 1 —a 3,2 2a 2成等差数列, D. 9 A.S 5 ::: S 6 B. S 5 = S 5 17•各项都是正数的等比数列 则 a 2012 - a 2014二( ) a2013 ' a 2011A. 1B. 3C. 6 18.等差数列{a n }®的前n 项和分别为",若=3^,则b/() fl 2 B 2n +1 C 2n -1 D 2n -1 A.— 3 3n 1 3n -1 3n 4 19.已知某等差数列共有 10项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则公差为 20•在等差数列{a n }中,So=12O ,则a 1+a 10等于 () A. 12 B.24 C.36 D.48 21 •数列{a n }为等差数列,4,a 2,a 3为等比数列,=1,则 術二( ) A. 5 B . -1 C . 0 D . 1 22•已知数列 心}中,a 1=1, a n=a n 」+3,( n^2, n^N *),则 a . = _____________________ 23.若数列{n(n+4)2 n}中的最大项是第 k 项,则k= 3 ----------- 24 •设S n 为数列①•啲前n 项和,若 S 2S n (n ・N *)是非零常数,则称该数列 “和等比数列”.若数列{b n }是首项为3,公差为d(d =0)的等差数列, 且数列{b n }是“和等比数列”,则d =________ 2 25._________________________________________________________________ 如果数列{a n }的前n 项和S n =2n -3n ,那么这个数列是 ___________________________数列 26. 若三个数5+2 J6, m,5 -2>/6成等差数列,则 m= __________ . 27•已知等比数列、a n 』中,S n 为前n 项和且a 1 a^ 5, S 4 =15〔 (1) 求数列、a n 1的通项公式。

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40422.在数列{}n a 中,11a =-,33a =,212n n n a a a ++=-(*n N ∈),则10a =( ) A .10B .17C .21D .353.2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数n 是( )(lg 20.3≈,lg3.80.6≈) A .40B .41C .42D .434.已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+,则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =( ) A .21nn - B .21nn + C .221nn + D .42nn + 5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,6.数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-(*n ∈N ),若173a a ka +=,则实数k 等于( ) A .2B .3C .269D .2597.记数列{}n a 前n 项和为n S ,若1,n a ,n S 成等差数列,且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立,则λ的取值范围为( ) A .1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,6D .(],1-∞8.已知{}n a 是公比为整数的等比数列,设212n nn na ab a -+=,n ∈+N ,且113072b =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,若2020n S ≥,则n 的最小值为( ) A .11B .10C .9D .89.若n S 是等比数列{}n a 的前项和,3S ,9S ,6S 成等差数列,且82a =,则25a a +=( )A .12-B .4-C .4D .1210.正整数数列{}n a 满足:1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩,则( ) A .数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B .n a 的最小值必定为1 C .当n a 是奇数时,2n n a a +≥D .n a 的最小值可能为211.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为( )A .153B .190C .231D .27612.已知数列{}n a 中,11a =,又()1,1n a a +=,()21,1n b a =+,若//a b ,则4a =( ) A .7B .9C .15D .17二、填空题13.已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()21n n S n a =+,则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 14.已知数列{}n a ,11a =,12n n a a n +=+,则4a =_____.15.若a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 成等差数列,b 、y 、c 成等差数列(x 、y 均不为0),则a cx y+=______. 16.设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和,已知()*2142n n S n n N T n +=∈-,则10317a b b =+_________.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,当0n S >时,n 的最大值为______.18.已知函数()331xx f x =+,()x R ∈,正项等比数列{}n a 满足501a =,则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______.19.等比数列{}n a 前n 项和为n S ,若634S S =,则96S S =______. 20.已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,21nn n b a -=+,且1222n n n S T n ++=+-,则2n T =____. 三、解答题21.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,2232S a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21n nn b a -=,求数列{}n b 的前n 项和. 22.若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.(1)求{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足3nn na b =,求数列{}n b 的前n 项和n S . 23.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,前n 项和为n S ,且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ,2a ,6a 成等比数列;③535S =,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题). (1)求n a ﹔ (2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:13n T <. 24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且233n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设3log n n b a =,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25.在数列{}n a ,{}n b 和{}n c 中,{}n a 为等差数列,设{}n a 前n 项的和为n S ,{}n c 的前n 项和为n T ,11a =,410S a =,12b =,n n n c a b =⋅,22n n T c =-. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)求证:()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.26.已知数列满足递推关系,且10a =,121n n a a -=+. (1)求证:数列{}1n a +为等比数列; (2)设()1n n b n a =+,求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2.B解析:B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列,求出公差得到其通项公式,最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-(*n N ∈),212n n n a a a ++∴+=,即数列{}n a 是等差数列, 11a =-,33a =,312a a d ∴=+即312d =-+,则公差2d =,则()11223n a n n =-+-⨯=-(*n N ∈), 所以10210317a =⨯-=. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列,进而求出通项公式进行计算.3.C解析:C 【分析】设对折n 次时,纸的厚度为n a ,则{}n a 是以10.12a =⨯为首项,公比为2的等比数列,求出{}n a 的通项,解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时,纸的厚度为n a ,每次对折厚度变为原来的2倍, 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项,公比为2的等比数列,所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯,令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯,即122 3.810n ≥⨯,所以lg 2lg 3.812n≥+,即lg 20.612n ≥+,解得:12.6420.3n ≥=, 所以至少对折的次数n 是42,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型,求出数列的通项,转化为解不等式即可.4.B解析:B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式,进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+, 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+,1112n n a a +∴-=, 所以,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且首项为111a ,公差为2,则()112121n n n a =+-=-,121n a n ∴=-, ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭,因此,1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选:B. 【点睛】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.5.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=, 12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n n n n n n n S S λ+++++---<===----, 所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C . 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.6.C解析:C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ,然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-, 所以111a S ==,当2n ≥时,()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-,111a S ==适合上式,故43n a n =-,因为173a a ka +=, ∴1259k +=, 解可得269k = 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式,考查来了运算能力,属于中档题.7.C解析:C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ,若1,n a ,n S 成等差数列, 所以21n n a S =+①, 当1n =时,11a =.当2n ≥时,1121n n a S --=+②, ①﹣②得122n n n a a a --=,整理得12nn a a -=(常数), 所以数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------,则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立,所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥,当1n =时,()1min 5113n T T +=+=, 所以523λ≥,解得56λ≥, 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选:C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式,考查了裂项求和以及恒成立问题,属于中档题.8.B解析:B 【分析】设{}n a 是公比为q ,根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q,数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ,由212n nn na ab a -+=,n ∈+N ∴1n n n b qq -=+,又113072b =即10113072q q +=,又q Z ∈,知:2q∵{}n b 的前n 项和为n S ,则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时,3(21)2020n -≥,n ∈+N 解得10n ≥ 故选:B 【点睛】本题考查了数列,由数列的递推关系及已知条件求公比,进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9.C解析:C 【分析】当公比q=1时,易推断不符合题意,故q 1≠,然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程,再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,2n a =,则36S =,612S =,918S =,此时396,,S S S 不成等差数列,不符合题意,舍去;当1q ≠时,∵396,,S S S 成等差数列,∴3692S S S +=, 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---,即96320q q q --=,解得312q =-或31q =(舍去)或30q =(舍去), ∴8268a a q ==,8534a a q==-,∴254a a +=,故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列;在应用等比数列的前n 项和公式时,公比不能为1,故在解题过程中,应注意公比为1的这种特殊的等比数列,以防造成漏解.10.A解析:A 【分析】根据题意知,数列{}n a 中的任意一项都是正整数,利用列举法直接写出数列中的项,进而可得结论. 【详解】对于选项A ,假设:12019a =,则后面依次为:2022,1011,1014,507,510,255,258,129,132,66,33,36,18,9,12,6,3,6,3…循环; 假设:11a =,则后面依次为:4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环, 综上,数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项,故选项A 正确; 由选项A 知,选项B 、D 都不对;对于选项C ,令11a =,则24a =,32a =,所以13a a <,故选项C 不正确. 故选:A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法,考查数列的递推公式求通项公式,属于基础题.11.C解析:C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=,故选:C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.12.C解析:C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+,可得出1121n n a a ++=+,所以数列{}1n a +是以2为首项,公比为2的等比数列,然后求解4a . 【详解】因为//a b ,所以121n n a a +=+,则()112221n n n a a a ++=+=+,即1121n n a a ++=+, 又11a =,所以112a +=,所以数列{}1n a +是以2为首项,公比为2的等比数列, 所以441216a +==,得415a =. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的平行,考查数列的通项公式求解及应用,难度一般. 一般地,若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠,则只需构造()1n n a x p a x ++=+,其中1q x p =-,然后转化为等比数列求通项.二、填空题13.【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为:【点睛】本题主要考查了利用 解析:21nn + 【分析】根据n S 求数列通项,分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-,整理可得()121n n a a n n n -=≥-,即可求出通项公式,代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理,最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+,∴()1122n n S na n --=≥, ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥, ∴()121n n n a n a na -=+-,即()11n n n a na --=, ∴()121n n a a n n n -=≥-, 即11111n n a a a n n -====-,故n a n =, 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭,故11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为:21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式,考查了裂项相消法求和问题,属于中档题.14.【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题 解析:13【分析】由已知递推关系式12n n a a n +-=,利用累加法和等差数列前n 项和公式,可求出{}n a 通项,即可得4a . 【详解】12n n a a n +-=,∴2121a a -=⨯ ,3222a a -=⨯,4323a a -=⨯,12(1)n n a a n --=⨯-, ∴ []1(11)(1)2123(1)2(1)2n n n a a n n n +---=++++-=⨯=- ,∴ 21n a n n =-+ ,2444113a ∴=-+= ,故答案为:13 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式,求数列中的项,属于中档题.15.【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为:【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析:2【分析】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=,代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=, ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为:2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值,考查计算能力,属于中等题.16.【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析:39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯,再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】 因为()*2142n n S n n N T n +=∈-,所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++, 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-, 故答案为:39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.17.【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为:20解析:【分析】根据690S =,7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ,再根据等差数列的求和公式求出n S ,解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项,所以2739a a a =⋅,所以()()()2111628a d a d a d +=++,化简得21100a d d +=,因为0d ≠,所以110a d =-, 因为690S =,所以1656902a d ⨯+=,即15152a d +=, 将110a d =-代入得510152d d -+=,解得2d =-,所以120a =, 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+, 由0n S >得2210n n -+>,即2210n n -<,解得021n <<, 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为:20 【点睛】关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.18.【解析】试题分析:因为所以因为数列是等比数列所以即设①又+…+②①+②得所以考点:1等比数列的性质;2对数的运算;3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和(都相等 解析:992【解析】试题分析:因为3()31x x f x =+,所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++.因为数列{}n a 是等比数列,所以21992984951501a a a a a a a =====,即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=.设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①,又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a +…+1(ln )f a ②,①+②,得99299=S ,所以99992=S . 考点:1、等比数列的性质;2、对数的运算;3、数列求和.【知识点睛】如果一个数列{}n a ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和(都相等,为定值),可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的.19.【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为:【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析:134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比,从而列出关系式,又634S S =,接着用6S 表示3S ,代入到关系式中,可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则232,,n n n n n S S S S S --成等比,且0n S ≠,所以6396363--=-S S S S S S S ,又因为634S S =,即3614=S S ,所以6696666141144--=-S S S S S S S ,整理得96134=S S . 故答案为:134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道基础题。

高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

22. (2014?成都模拟)等比数列{a n }的各项均为正数,且 2a i +3a 2=1 , (I )求数列{a n }的通项公式;(n )设 b n =log 3a 1+log 3a 2+ ••+Iog 3a n ,求数列{——}的前 n 项和.解:(I )设数列{a n }的公比为 q ,由 a 32=9a 2a 6有 a 32=9a 42,- q 2—.由条件可知各项均为正数,故 q=二.1 37. (2013?江西)正项数列{a n }满足 a ^-( 2n - 1) a n - 2n=0.(1) 求数列{a n }的通项公式a n ;解:(1)由正项数列{a n }满足:①-(2n - 1) a n - 2n=0 , 可有(a n - 2n ) (an+1) =0二 a n =2n .2n (n+1)丄丄)2 n n+1,数列{b n }的前n 项和T n 为 n 2n+2a 3 =9a 2a 6,由 2a i +3a 2=1 有 2a i +3a i q=1,二 a i = 故数列{a n }的通项式为a n = 3Ka 3.E a /… 、 n (n+1)片□吋 + ■' + lag 331 =-(1+2+ ・・+n )= -- ---------- 22 n (n+1) 1 + • -+ 1 =则-+ 数列{ ~ }的前n 项和为-(1 - 丄)+(「+ 2 nH求数列{b n }的前n 项和T n .(2)T a n =2n , b n = (n+1)b n =(n+1)(n ) b n = 2 ( -2[ (2)令 b n =6. (2013?山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2, a 2n =2a n +1 .(I )求数列{a n }的通项公式; — bi b > b(n )设数列{b n }满足_!■+_£+♦・+_ 日 I a z a解有 a 1=1, d=2 .*• a n =2n — 1, n €N . 由(I )知,a n =2n - 1, n€N *.28. (2010?山东)已知等差数列 {a n }满足:a 3=7, a 5+a 7=26 . {a n }的前n 项和为S n .解:(I )设等差数列{a n }的首项为a i ,公差为d ,由S 4=4S 2, a 2n =2a n +1 有: 站严 <匸8aj44d 屮?2n- 1) d 二 2幻+2 (n- 1) d+1 ' 1 +■ +・ •+… =1 - 亠a 2 2n (n )由已知 ,n €N *,有:b i 1a i2 当n=1时, =1 -—,n €N ,求{b n }的前n 项和T n . • 「_ -a, n€N *1 3 5 +2 22'23' 2n 1 ,| 3 .2n-3 +…一 22 2n两式相减有: 丄T n 丄 2 2 —一) 7T 2J 2n211"1 ,• , n=1时符合.2n-l/• b n = 2 ,n €N又T n = ・・+(I) 求 a n 及 S n ;1 *(n )令b 玖一扌—— (n €N ),求数列{b n }的前n 项和T n .解:(I )设等差数列{a n }的公差为d ,■/ a 3=7, a 5+a 7=26,•••有•,2a t +Wd-25解有 a i =3, d=2 ,• a n =3+2 (n - 1) =2n+1 ;c n(n-l) 2c Sn = 3n ---------- --------- X 2=n +2n ;(n )由(I )知 a n =2 n+1 ,即数列{b n }的前n 项和T n =『九、. 4 (n+1)1 1 1 1=-. rl 1— 1 (2n+l ) 2 _ 1 心(Ml ) 4 n n+1• •b n =1 • 口=于(1讨谆-知叱-禽丿丄门-4 (n+1) P25. (2008?四川)在数列{a n }中,a i =1 ,S n ; (川)求数列{a n }的前n 项和T n . 解:(I )由条件有_'"_l - ":\又n=1时,—-- (口+门 2 2 n 2n 2 故数列.构成首项为1,公式为 卅等比数列. 务1 即u2 口 门n — , 即 a n ~ 1 n 22 (n )由皤两式相减,有: 伽 1) ‘ _ n 2 2nH-l 2n 2n 2n 占5口諾+2 (占+吉十■、十弋) 2 11 2 尸尸 2R斗(aj+a £+ " + a n )有T 5)由片二(陀+兀+…+盼[ 有― 2n±l 1.A Z g 2 23 2n 2n - 1 12rr+l 2n 戶n - a f +a irt-L __2T n =S(计2) n(I )求{a n }的通项公式; (n )令 求数列{b n }的前n 项和十•普扣(I )求数列{a n }的通项公式; --T n =2Si+2a 1 — 2a n+1 = - ■— 9n +4n+6 3. (2010?四川)已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为-4.(H)设 b n = (4- a n ) q (q 旳,n €N ),求数列{b n }的前 n 项和 S n . 解:(1)设{a n }的公差为d , 由已知有*8 aj+28^- 4解有 a i =3, d= - 1故 a n =3+ (n - 1) (- 1) =4 - n ;(2) 由(1)的解答有,b n =n?q n- j 于是0 1 2 n -1S n =1?q 0+2?q '+3?q 2+ ・・+n?q n '.若q 詞,将上式两边同乘以 q ,有12 3 nqS n =1?q +2?q +3?q +・・+n?q .上面两式相减,有(q - 1) S n = nq n -( 1+q+q 2+ ••+q n 1)n=nq -- -- ------- q - 1-f-H . |-t r r I 1 L I 1+ ] J右 q=1,贝卩 S n =1+2+3+ ・・+n= _4. (2010?四川)已知数列{a n }满足 a 1=0 , a 2=2,且对任意 m 、n €N 都有 a 2m -1+a 2n -1=2a m+n -1+2 (m - n )••• , Si(2) 设 b n =a 2n+1 - a 2n T ( n €N ),证明:{b n }是等差数列;(3) 设 C n = ( a n+1 - a n ) q n -1 (q 电 n€N *),求数列{c n }的前 n 项和 S n . 解:(1)由题意,令 m=2 , n=1,可有 S 3=2a 2 - a 1+2=6再令 m=3,n=1,可有 a 5=2a 3 - a 1+8=20(2) 当n€N *时,由已知(以 n+2代替m )可有a 2n+3+a 2n -仁2a 2n+1+8于是[a 2 (n+1) +1 - a 2 (n+1)- 1] -( a 2n+1 — a 2n -1) =8即 b n+1 — b n =8••• {b n }是公差为8的等差数列(3) 由(1) (2)解答可知{b n }是首项为b 仁a 3 — a 1=6,公差为8的等差数列 贝U b n =8n — 2,即 a 2n+1 — a 2n -1=8n — 2n - 1于疋 c n =2nq •当 q=〔时,S n =2+4+6++2 n=n ( n+1)当 q 詞时,S n =2?q 0+4?q 1+6?q 2+-+2n?q n — 1 两边同乘以q ,可有12 3 nqS n =2?q +4?q +6?q +・・+2n?q .上述两式相减,有(1 — q ) S n =2 (1+q+q 2+ --+q n 1)— 2nq n16. (2009?湖北)已知数列{a n }是一个公差大于 0的等差数列,且满足 a 3a 6=55, a 2+a 7=16综上所述, S n = S (卄1〕 (q=l )口 口田一(廿1) f+1(q-1) 22- 另由已知(令m=1)可有••• 4 '--(q-L) 2匕 b la *(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=」4」+」*“・(n €N*),求数列{b n}的前n项和S n. 2护232R解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则依题意可知d> 0由a2+a7=16,有,2a i+7d=16 ①由a3a6=55,有(a i+2d) ( a i+5d) =55②由①②联立方程求,有9 Ad=2, a i=1/d= - 2, a i= (排除)二a n=i+ (n- i) ?2=2n - i人b(2) 令C n=,则有a n=c i+c2+ ••+c na n+i=C i+C2+・・+C n+i两式相减,有a n+i - a n=c n+i,由(i) 有a i=i, a n+i - a n=2• c n+i =2,即C n=2 ( n =^2),即当n^2时,b n=2n+i,又当n=i 时,b仁2a仁2(E)•- bn=J jh > (n>2)3 4 n+i n+2于是S n=b i+b2+b3+—+b n=2+2 +2 +・・2 =2 - 6, n老(2词严_6宀.。

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(有答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1.已知数列{}n a 是等比数列,满足51184a a a =,数列{}n b 是等差数列,且88b a =,则79b b +等于( )A .24B .16C .8D .42.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且21n n S a =-,若()0,2021n a ∈,则称项n a 为“和谐项”,则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为( ) A .1022B .1023C .2046D .20473.已知数列{}n a 为等比数列,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54,则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为( ) A .5B .512C .1024D .20484.在正项等比数列{}n a 中,若3788a a a =,2105a a +=,则公比q =( ) A .122B .122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C .142D .142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭5.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{}n a 的第n 项,则100a 的值为( )A .5049B .5050C .5051D .51016.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()23n n S a n n N *=-∈,则( ) A .{}n a 为等比数列 B .{}n a 为摆动数列 C .1329n n a +=⨯-D .6236n n S n =⨯--7.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .20228.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的底层共有灯( )A .64盏B .128盏C .192盏D .256盏9.已知数列{}n a 的通项公式为()*(1)1n a n N n n n n =∈+++,其前n 项和为n S ,则在数列1S ,2S …,2019S 中,有理数项的项数为( ) A .42B .43C .44D .4510.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为( )A .153B .190C .231D .27611.已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+,5a 是数列{}n a 的最小项,则实数a 的取值范围是( ) A .[40,25]--B .[40,0]-C .[25,0]-D .[25,0]-12.已知数列{}n a 满足123n n a a +-=,11a =,3n n b a =+,则10b =( ) A .92B .103C .2048D .1024二、填空题13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2(2)n a n n =+,则4S =___________.14.设数列{}n a 中12a =,若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=,且10101b =,则2020a =__. 15.已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,22a =,37S =,数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ,则122020111T T T +++=________.16.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 17.在流行病学中,基本传染数0R 是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数03R =(注:对于01R >的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为______(注:初始感染者传染0R 个人为第一轮传染,这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……)18.设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ,下列有三个条件: ①m n m n a a a +⋅=; ②S n =a n +1+1,a 1≠0;③S n =2a n +1p(p 是与n 无关的参数).从中选出两个条件,能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______.19.若数列}{n a2*3()n n n N =+∈,则n a =_______.20.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若22a =-,714S =,则10a =__________.三、解答题21.已知()23f x x x =-,数列{}n a 前n 项和为n S ,且()n S f n =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)若数列{}n b 满足43nn na b =⨯,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且对于任意*n ∈N ,总存在[]2,4x ∈,使得()n T mf x >成立,求实数m 的取值范围. 22.在①119n n a a +-=-,②113n na a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且19a =,__________,求{}n a 的通项公式,并判断n S 是否存在最大值,若存在,求出最大值:若不存在,说明理由. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分23.在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且1a ,222a +,35a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若0d <,93n n na b -=,求数列{}n b 的前n 项和n S . 24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n nS a 和2n a 的等差中项为1. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设41log n n b a +=,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 25.已知正项等比数列{}n a ,24a =, 1232a a a +=;数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.(Ⅰ)求n a ,n b ;(Ⅱ)证明:312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 26.已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为n A ,最小值记为n B ,令nn nA bB =. (1)若2(1,2,3,)n a n n ==,写出1b ,2b ,3b 的值.(2)证明:1(1,2,3,)n n b b n +≥=.(3)若{}n b 是等比数列,证明:存在正整数0n ,当0n n 时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1. C 解析:C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算. 【详解】∵数列{}n a 是等比数列,∴2511884a a a a ==,又80a ,∴84a =,又{}n b 是等差数列,∴7988228b b b a +===. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列与等比数列的性质,掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键.对正整数,,,m n p l ,若m n p l +=+,{}n a 是等差数列,则m n p l a a a a +=+,若{}n a 是等比数列,则m n p l a a a a =,特别地若2m n p +=,{}n a 是等差数列,则2m n p a a a +=,若{}n a 是等比数列,则2m n p a a a =.2.D解析:D 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系,再求出1a 后确定数列是等比数列,求出通项公式,根据新定义确定“和谐项”的项数及项,然后由等比数列前n 项和公式求解. 【详解】当2n ≥时,11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---,∴12n n a a -=,又11121a S a ==-,11a =,∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项为1, 所以12n na ,由122021n n a -=<得110n -≤,即11n ≤,∴所求和为1112204712S -==-.故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查数列新定义,考查等比数列的通项公式与前n 项和公式,解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列,从而求得通项公式.解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项.3.C解析:C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ,再根据3474422a a a a q +=+,求得q ,进而求得1a 到6a 的值,即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=,41316a a q == 故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=,所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<, 所以数列的前4或5项的积最大,且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选:C 【点睛】结论点睛:等比数列{}n a 中,如果11,01a q ><<,求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值,一般利用“1交界”法求解,即找到大于等于1的项,找到小于1的项,即得解.4.D解析:D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组,进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a qa ⋅⋅===,即62a =.22106()4a a a ∴==,又2105a a +=,解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩,0q >,11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组,通过求出2a 、10a 的值,结合等比数列的基本量来进行求解.5.B解析:B 【分析】观察数列的前4项,可得(1)2n n n a +=,将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=, 所以10010010150502a ⨯==. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查了观察法求数列的通项公式,关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.6.D解析:D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项的和为n S ,即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①,当1n =时,1123a a =-,解得:13a =, 当2n ≥时,()11231n n S a n --=--②,①-②得:1223n n n a a a -=--,即123n n a a -=+,所以()1323n n a a -+=+,所以{}3n a +是以6为首项,2为首项的等比数列,所以1362n n a -+=⨯,所以1623n n a -=⨯-,所以{}n a 不是等比数列,{}n a 为递增数列,故A B 、不正确,()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---,故选项C 不正确,选项D 正确.故选:D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式,考查了构造法,考查了分组求和,属于中档题.7.D解析:D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.8.C解析:C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯,第n 层的灯有n a 盏,则数列{}n a 是公比为2的等比数列,利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值,进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯,第n 层的灯有n a 盏,则数列{}n a 是公比为2的等比数列, 由题意可知,一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-,解得13a =.因此,塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.9.B解析:B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简,然后求出前n 项和为n S 的表达式,再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项,找出有理数项的下标的规律,再求出2019内属于有理数项的个数. 【详解】解:由题意,可知:n a ====. 12n n S a a a ∴=++⋯+1=1= 3S ∴,8S ,15S ⋯为有理项,又下标3,8,15,⋯的通项公式为21(2)n b n n =-,212019n ∴-,且2n ,解得:244n ,∴有理项的项数为44143-=.故选:B .【点睛】本题主要考查分母有理化的运用,根据算式判断有理数项及其下标的规律,属于中档题.10.C解析:C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=,故选:C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.11.D解析:D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立,参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立, 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥, 当6n ≥时,有()56a n n ≤-恒成立,故0a ≤, 当14n ≤≤时,有()56a n n ≥-恒成立,故25a ≥-, 当5n =时,a R ∈, 故250a -≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查数列的函数性质:最值问题,此类问题可利用函数的单调性来研究,也可以利用恒成立来研究,本题属于较难题.12.C解析:C 【分析】根据题意得到12n n b b +=,计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=,()1323n n a a +∴+=+,即12n n b b +=, 14b =,910422048b ∴=⨯=.故选:C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式,确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13.【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为:【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析:1715【分析】 先化简112n a n n =-+,再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知,41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:1715. 【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中,分母是乘积形式,求前n 项和n S 时,可以考虑裂项相消法,即将数列拆分成两项的差的形式,再进行求和.14.【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为:2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析:【分析】由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=,进而由累乘法可得202020192018201711a b b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅,结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意,数列{}n b 满足1n n n a a b +=,即1n n na b a +=, 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而数列{}n b 为等比数列,则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==,则202011a a =, 又由12a =,则20202a =. 故答案为:2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用,考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力,属于中档题.15.【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为:【点睛】本题主要考查等差等比数列的求解析:40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-,从而得到()2log 1+=n S n ,利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=,再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =,37S =, 所以31232227S a a a q q=++=++=,即22520q q -+=, 解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列,所以2q.所以11a =,122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ,()1122…+=+++=n n n T n ,所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为:40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式,同时考查裂项法求和,属于中档题.16.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.17.1092【分析】由题意分析传染模型为一个等比数列可解【详解】由题意:所以第六轮的传染人数为所以前六轮被传染的人数为故答案为:1092【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一在高中数学中应用题是常见解析:1092 【分析】由题意分析,传染模型为一个101,3a q R ===等比数列,可解. 【详解】由题意:101,3a q R ===所以1113n n n a a q --==第六轮的传染人数为7a所以前六轮被传染的人数为771131109213S a --=-=-.故答案为:1092 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一,在高中数学中,应用题是常见考查形式: 求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型;18.①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾;选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列;选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析:①③ 【分析】选①②,在①中令1m n ==,在②中令1n =联立方程,由方程无解推出矛盾;选①③,在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比,在①中令1m n ==,在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程,求出1,a p 确定数列{}n a ;选②③,由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中,令1m n ==,得221a a =;在②中,11n n S a +=+,当2n ≥时, 11n n S a -=+,两式相减,得1n n n a a a +=-,即12n n a a +=;在③中,11112,2n n n n S a S a p p++=+=+,两式相减,得 1122n n n a a a ++=-,即 12n n a a +=,若选①②,则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=, 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<,方程无解,故不能选①②作为条件;若选①③,则由12n n a a +=知,数列{}n a 的公比为2,由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以数列 {}n a 是首项为2,公比为2的等比数列; 若选②③作为条件,则无法确定首项,数列{}n a 不唯一,故不能选②③作为条件. 综上所述,能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为:①③ 【点睛】思路点睛:本题考查利用递推关系求数列中的项,涉及等比数列的判定和通项公式,遇到和与项的递推关系时,一般有两种方法:(1)消去和,得到项的递推关系;(2)消去项,得到和的递推关系.19.【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以()当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题 解析:()241n +【分析】有已知条件可得出116a =,2n ≥时()()2*131()n n n N =-+-∈,与题中的递推关系式相减即可得出()241n a n =+,且当1n =时也成立.【详解】数列}{n a2*3()n n n N =+∈4=,即116a =2n ≥()()2*131()n n n N =-+-∈22n =+, 所以()241n a n =+(2n ≥ )当1n =时,116a =适合上式,所以()241n a n =+ 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式,属于一般题.20.14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解:因为数列是等差数列所以解得所以故答案为:14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析:14 【分析】本题先求1a 、d ,再求10a 即可解题. 【详解】解:因为数列{}n a 是等差数列,22a =-,714S =所以217127(71)7142a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯-=+=⎪⎩,解得142a d =-⎧⎨=⎩, 所以101914a a d =+= 故答案为:14 【点睛】本题考查等差数列的基本量法,是基础题.三、解答题21.(1)24n a n =-;(2)11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)易知23n S n n =-,再利用通项与前n 项和关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.(2)易得2424323n n nn n b --==⨯⨯,1160b =-<,20b =,3n ≥时,0n b >,则n T 的最小值为16-,再根据对于任意*n ∈N ,总存在[]2,4x ∈,使得()n T mf x >成立,由()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】(1)因为()23f x x x =-,()n S f n =,所以23n S n n =-,当2n ≥时,()()21131n S n n -=---,124n n n a S S n -=-=-, 当1n =时,112a S ==-,也满足24n a n =-, 故24n a n =-.(2)因为24n a n =-,43nn na b =⨯, 所以2424323n n n n n b --==⨯⨯,1160b =-<,20b =, 当3n ≥时,0n b >,故12T T =为n T 的最小值,n T 的最小值为16-, 因为对于任意*n ∈N ,总存在[]2,4x ∈,使得()n T mf x >成立,所以()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦, 因为[]2,4x ∈,()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以()[]2,4f x ∈-, 当0m >时,()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦,即126m ->-,解得112m >; 当0m <时,()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦,即146m ->,解得124m <-, 0m =时,106->,显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】结论点睛:不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()[],,y f x x a b =∈,()[],,y g x x c d =∈ (1)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈,总有()()12f x g x <成立,故()()2max min f x g x <; (2)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2max max f x g x <; (3)若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2min min f x g x <; (4)若若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x =,则()f x 的值域是()g x 值域的子集 . 22.答案见解析 【分析】选①:由等差数列通项公式得出通项n a 后,解0n a ≥,满足此不等式的最大的n 使得n S 最大,注意若n a 0=,则有两个值使得n S 最大,选②:由等比数列前n 项和公式得出n S ,由于公比是负数,因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值;选③:由累加法求得n a ,利用n a 的表达式是n 的二次函数形式,当15n ≥时,0n a >,确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-,19a =,所以{}n a 是首项为9,公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭.由182099n -+≥,得82n ≤,即820a ≥ 所以n S 存在最大值,且最大值为81S 或82S , 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭,所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-,19a =,所以{}n a 是首项为9,公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时,1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+, 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小,所以此时n S 的最大值为19S =; 2︒当n 为偶数的,1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+, 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭, 综上,n S 存在最大值,且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-,所以18n n a a n +-=-,所以217a a -=-,326a a -=-,…,19n n a a n --=-, 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==, 因为19a =,所以()2173422n n n a n -+=≥,又19a =也满足上式,所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时,0n a >,故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛:本题考查数列前n 项和的最大值问题,一种方法是求出n S 的表达式,由函数的性质确定n S 的最大值,一种是利用数列项的性质,如数列是递减的数列,10a >,则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大.23.(1) 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈;(2)51112423n nn S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,n *∈N . 【分析】(1)由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ; (2)对23n b b b +++用错位相减法求和.【详解】解:(1)∵123,22,5a a a +成等比数列,∴()2231225a a a +=⋅,整理得2340d d --=,解得1d =-或4d =,当1d =-时,10(1)11n a n n =--=-+; 当4d =时,104(1)46n a n n =+-=+.所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈.(2)设数列{}n a 前n 项和为n S , ∵0d <,∴1d =-,11n a n =-+23n nnb -=当1n =时,13n S =, 当2n ≥时,2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++,则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=-- 整理可得11112423nn T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭, 则511,212423n nn S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式,综上所述:51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,n *∈N . 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,分组(并项)求和法,错位相减法.数列求和的常用方法:(1)公式法;(2)错位相减法;(3)裂项相消法;(4)分组(并项)求和法;(5)倒序相加法.24.(Ⅰ)2nn a =;(Ⅱ)22n nT n =+. 【分析】(Ⅰ)利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系,然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系,求出1a 其为等比数列,从而得通项公式;(Ⅱ)用裂项相消法求和n T . 【详解】解:(Ⅰ)因为n n S a 和2n a 的等差中项为1,所以22n n nS a a +=,即22n n S a =-, 当2n 时,1122n n S a --=-.两式相减得1122n n n n S S a a ---=-,整理得12n n a a -=. 在22n n S a =-中,令1n =得12a =,所以,数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,因此1222n nn a -=⨯=.(Ⅱ)411log 2n n n b a ++==. 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n . 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查求等比数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法;(4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.25.(Ⅰ)2nn a =;()112n n b n -=+⋅;(Ⅱ)证明见解析.【分析】(1)由题设求出数列{}n a 的基本量,即可确定n a ;再由1n n n b S S -=-确定n b ; (2)用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q ,由1232a a a +=,得22q q +=解得2q 或1q =-(舍)又242nn a a =⇒=由n n S na =,得12b =2n ≥时,()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅(2)()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛:当数列{}n c 满足n n n c a b =,{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列时,数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.26.(1)11b =,22b =,33b =;(2)证明见解析;(3)证明见解析 【分析】(1)由{}n a 是单调递增数列可得1n n a b a =即可求出; (2)设1n a k +=,讨论n k B ≤,n n B k A <<和n k A ≥可证明;(3)设{}n b 的公比为q ,且1q ≥,显然1q =时满足;1q >时,由{}n A 是递增数列,{}n B 是递减数列,且{}n B 不能无限减少可得.【详解】(1)2n a n =,可得{}n a 是单调递增数列,1,n n n a B A a ∴==,1111a b a ∴==,2212a b a ==,3313a b a ==, (2)设1n a k +=,n n n A b B =, 若n k B ≤,则+1n n n n nk A A b b B =≥=, 若n n B k A <<,则+1n n n n A b b B ==, 若n k A ≥,则+1n n n nn A k b b B B =≥=, 综上,1(1,2,3,)n n b b n +≥=; (3)设等比数列{}n b 的公比为q ,1111a b a ==,则1n n n n A b q B -==, 由(2)可得1n n b b +≥,则1q ≥,当1q =时,1n nA B =,即n n A B =,此时{}n a 为常数列,则存在01n =,当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列; 当1q >时,{}n A 是递增数列,{}n B 是递减数列,{}n a 是由正整数组成的无穷数列,则数列{}n a 必存在最小值,即存在正整数0n ,0n a 是数列{}n a 的最小值,则当0n n ≥时,0n n B a =, 此时01n n n n n n A a b q B a -===,即01n n n a a q -=, 故当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列;综上,存在正整数0n ,当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列. 【点睛】本题考查数列单调性的有关判断,解题的关键是正确理解数列的变化情况,清楚{}n b的变化特点.。

高一数学《必修五》数列测试题(含答案)

高一数学《必修五》数列测试题(含答案)

7 n 2 , 则 a5 =___________ . n 3 b5
14、数列 a n 的前 n项的和 Sn 3n n 1 ,则此数列的通项公式 a n=_

15、数列 a n 中, a1 1, an
1 1 ,则 a4

an 1
16、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,且 S5 S6 S7 S8 ,则下列结论一定正确的有
3、已知 a
1 ,b
32
1 , 则 a,b 的等差中项为(
32
A)
A. 3
B. 2
1
C.
3
1
D.
2
4、已知等差数列 { a n} 的前 n 项和为 Sn,若 a4 18 a5 ,则 S8 等于( D )
A . 18
B. 36
C. 54
D . 72
5、设 a1,a 2 , a3, a 4成等比数列,其公比为 2,则 2a1 a 2 的值为( A ) 2 a3 a 4
(Ⅱ )若列数{ bn}满足
b1=1, bn+1=bn+ 2an ,求证:
bn
·bn+2

b
2 n+1
.
解析:(Ⅰ)由已知得 an+1=an+1
即 an+1-an=1 又 a1=1,所以数列{ an}是以 1 为首项,公差为 故 an=1+( n-1) ×1=n. (Ⅱ ) 由(Ⅰ)知: an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+( bn-1-bn-2)+ ···+( b2-b1)+b1
,

a1
a n , 解得 a1

(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)

(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩,若4042m S >,则正整数m 的最小值为( )A .14B .15C .16D .172.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,等差数列{}n b 前n 项和为n T ,若11n n S n T n -=+.则55a b =( ) A .23B .45C .32D .543.已知数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,若1234480k k k k a a a a +++++++=,则k =( )A .3B .4C .5D .64.已知数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,数列{}2n a 的前n 项和为n T ,若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是( )A .(3,)+∞B .(1,3)-C .93,5⎛⎫⎪⎝⎭D .(1,)-+∞5.设数列{}n a 满足12a =,26a =,且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈,若[]x 表示不超过x 的最大整数(例如[]1.61=,[]1.62-=-),则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=( )A .2018B .2019C .2020D .20216.已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥,且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是( ) A .5B .6C .7D .87.已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若1239a a a ++=,636S =,则12(a = ) A .23B .24C .25D .268.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,836S =,则数列11{}n n a a +的前n 项和为( )A .11n + B .1n n + C .1n n- D .11n n -+ 9.已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,175a a ⋅=,266a a +=,对于n *∈N ,不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立,则整数M 的最小值是( ) A .1B .2C .3D .410.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .202211.若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则p q +的值等于( ) A .6B .7C .8D .912.已知数列{}n a 满足12a =,*11()12n na n N a +=-+∈,则2020a =( ) A .2B .13 C .12-D .3-二、填空题13.设S n 是数列{}n a 的前n 项和,且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈,则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈.若32arctan 9θ=,则点A 的坐标为________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则2018S =______. 16.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 17.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,若111,n n a a a n +=+=,则1916S S -的值为________. 18.设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ,下列有三个条件: ①m n m n a a a +⋅=; ②S n =a n +1+1,a 1≠0;③S n =2a n +1p(p 是与n 无关的参数). 从中选出两个条件,能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______. 19.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4873a a a +-=_________. 20.若等差数列{}n a 中,10a <,n S 为前n 项和,713S S =,则当n S 最小时n =________. 三、解答题21.设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-,其中11a =. (1)证明:112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列; (2)令32n n n a b a -=-,设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ,求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22.设数列{}n a ,{}n b 是公比不相等的两个等比数列,数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N .(1)若2,3nnn n a b ==,是否存在常数k ,使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在,求k 的值;若不存在,说明理由;(2)证明:{}n c 不是等比数列.23.已知数列{}n a 满足11a =,13(1)n n na n a +=+. (1)设nn a b n=,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .24.已知递增等比数列{}n a 满足:12a =,416a = . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 为等差数列,且满足221b a =-,3358b a =,求数列{}n b 的通项公式及前10项的和;25.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,______.从①数列{}n a 是公比为2的等比数列,2a ,3a ,44a -成等差数列;②22n n S a =-;③122n n S +=-.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若21log nn na b a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .26.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++.(1)求这个数列的通项公式; (2)设()11n n n b n a a *+=∈N ,证明:对n *∀∈N ,数列{}n b 的前n 项和524n T <.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列,偶数项加6成等比数列,然后求出2n S 后,检验141615,,S S S 可得. 【详解】当n 为奇数时,122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+,所以292(9)n n a a -+=+,又1910a +=,所以1359,9,9,a a a +++成等比数列,公比为2,1219102n n a --+=⨯,即1211029n n a --=⨯-,当n 为偶数时,122323326n n n n a a a a ---=+=++=+,所以262(6)n n a a -+=+,又2134a a =+=,所以2469,9,9,a a a +++成等比数列,公比为2,126102n n a -+=⨯,即121026n n a -=⨯-,所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----,714202201572435S =⨯--⨯=,816202201584980S =⨯--⨯=, 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=,所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查由数列的递推关系求数列的和.解题关键是分类讨论,确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质,然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ,再检验n 取具体数值的结论.2.B解析:B 【分析】本题首先可令9n =,得出9945S T =,然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =,代入9945S T =中,即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+,所以99914915S T -==+, 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和,n T 是等差数列{}n b 前n 项和, 所以()1995992a a S a +==,()1995992b b T b +==, 则95959459S a T b ==,5545a b =, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的相关性质的应用,主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用,若等差数列{}n a 前n 项和为n S ,则()12n n n a a S +=,当2m n k +=时,2m n k a a a +=,考查化归与转化思想,是中档题.3.B解析:B 【分析】由已知,取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解. 【详解】因为数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,所以取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,所以数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,所以2nn a =,又1234480k k k k a a a a +++++++=,即12344220282k k k k +++++++=,即040238k ⨯=,解得4k =, 故选:B . 【点睛】关键点点睛:解决本题的问题的关键在于令1m =,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,利用等比数列的通项公式建立方程得解.4.D解析:D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ,得到数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列,进而得到{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,利用等比数列前n 项和公式得到n S ,n T ,将20n n S T λ+>恒成立,转化为6321nλ-<-+,从而得出答案. 【详解】当1n =时,112S a =-,得 11a =;当2n ≥时,由2n n S a =-,得112n n S a --=-,两式相减得112n n a a -=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=,所以22114n n a a -=.又211a =,所以{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-, 由20n n S T λ+>,得()()321210nnλ-++>,所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++, 所以6332121λ-<-=-=+, 所以1λ>-.综上,实数λ的取值范围是(1,)-+∞. 故选: D 【点睛】方法点睛:数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种: 一是判断数列问题中的一些不等关系; 二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,往往转化为函数的最值问题.5.B解析:B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=,可得()2112n n n n a a a a +++---=,214a a -=.利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出. 【详解】2122n n n a a a ++-+=,()2112n n n n a a a a +++∴---=,214a a -=.{}1n n a a +∴-是等差数列,首项为4,公差为2. 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+.2n ∴≥时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+. 2(1)1n n n a n++∴=.∴当2n ≥时,2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n . 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选:B . 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.C解析:C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4(n ∈N*)且a 1=9,其前n 项和为S n ,求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|<1125的最小整数n .故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-,然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列,求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案. 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得:3(a n+1﹣1)=﹣(a n ﹣1) 即:111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列. 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C . 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.7.A解析:A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ,1239a a a ++=,636S =,11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩,解得1a 1,d 2,12111223a =+⨯=,故选A.8.B解析:B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . ∵55a =,836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =,则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭;(2)1k =; (3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭;(4)()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.9.C解析:C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ,由等差数列前n 项和公式得n S ,把1nS 拆成两项的差,用裂项相消法求得和12111nS S S +++,在n 变化时,求得M 的范围,得出结论. 【详解】∵{}n a 是等差数列,∴17266a a a a +=+=,由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩,又{}n a 是递增数列,∴1715a a =⎧⎨=⎩,715127163a a d --===-, 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=, 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<, 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立,得94M ≥,∴最小的整数3M =. 故选:C . 【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查等差数列的性质,等差数列的通项公式和前n 项和公式,裂项相消法求和,本题属于中档题.10.D解析:D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.11.D解析:D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>,因此2-只能是等比数列的中间项,从而得4ab =,由点(),2a b 在直线2100x y +-=上,得5a b +=,这样可得,p q 值.从而得出结论. 【详解】∵a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,∴,a b p ab q +==,∴0,0a b >>,而a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,只能是2-是,a b 的等比中项,即4ab =,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则22100a b +-=,得5a b +=, 由45ab a b =⎧⎨+=⎩,∴5,4p q ==,9p q +=.故选:D . 【点睛】本题考查函数零点的概念,考查等比数列的定义,考查韦达定理,关键是由题意分析出0,0a b >>.12.D解析:D 【分析】先利用题中所给的首项,以及递推公式,将首项代入,从而判断出数列{}n a 是周期数列,进而求得结果. 【详解】由已知得12a =,2211123a =-=+,32111213a =-=-+, 4213112a =-=--,521213a =-=-, 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列,故2020505443a a a ⨯===-, 故选:D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性,从而求解数列的某项,属于中档题.二、填空题13.【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为:【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析:17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ,再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项,2为公差的等差数列, 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14.或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为:或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析:(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标,利用两角差正切公式求3tan θ,列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为:(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列,考查综合分析求解能力,属中档题.15.【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为:【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析:1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈,进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=,再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭,()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,()()4141sin 211k a k k π-=-+=,4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=,201845042=⨯+,201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为:1008. 【点睛】本题考查数列求和,找出数列的规律是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.16.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.17.27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为:27【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的解析:27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,由此可得通项,从而求得结论. 【详解】∵1n n a a n ++=,∴121n n a a n +++=+,相减得21n na a +-=,又1121,1a a a =+=,20a =,211a a -=-,所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差为1,21n a n -=,21n a n =-,1916171819981027S S a a a -=++=++=.故答案为:27. 【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的通项公式,解题时由已知等式中n 改写为1n +,两相减后得21n n a a +-=,这里再计算21a a -,如果2211()22n na a a a +--==,则可说明{}n a 是等差数列,象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列.不能混淆,误以为{}n a 是等差数列.这是易错的地方.18.①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾;选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列;选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析:①③ 【分析】选①②,在①中令1m n ==,在②中令1n =联立方程,由方程无解推出矛盾;选①③,在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比,在①中令1m n ==,在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程,求出1,a p 确定数列{}n a ;选②③,由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中,令1m n ==,得221a a =;在②中,11n n S a +=+,当2n ≥时, 11n n S a -=+,两式相减,得1n n n a a a +=-,即12n n a a +=;在③中,11112,2n n n n S a S a p p++=+=+,两式相减,得 1122n n n a a a ++=-,即 12n n a a +=,若选①②,则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=, 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<,方程无解,故不能选①②作为条件;若选①③,则由12n n a a +=知,数列{}n a 的公比为2,由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以数列 {}n a 是首项为2,公比为2的等比数列; 若选②③作为条件,则无法确定首项,数列{}n a 不唯一,故不能选②③作为条件. 综上所述,能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为:①③ 【点睛】思路点睛:本题考查利用递推关系求数列中的项,涉及等比数列的判定和通项公式,遇到和与项的递推关系时,一般有两种方法:(1)消去和,得到项的递推关系;(2)消去项,得到和的递推关系.19.【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为:【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析:13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差,根据其通项公式,得到487733a a a a +-=,再根据其求和公式,得到13713S a =,从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+, 因为11313713()132a a S a +==,所以487133313a a a S +-=, 故答案为:13313S . 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题,解题思路如下:(1)首先设出等差数列的首项和公差;(2)利用等差数列的通项公式,得到项之间的关系,整理得出487733a a a a +-=; (3)利用等差数列的求和公式,求得13713S a =; (4)比较式子,求得结果.20.10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为:10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析:10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律,即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增,因此10110,0a a <>即10n =,n S 最小 故答案为:10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)最大自然数6n =. 【分析】(1)根据题中条件,可得1112n a +--的表达式,根据等比数列的定义,即可得证;(2)由(1)可得1122n n a -=-,则可得2n n b =,根据错位相减求和法,可求得n S 的表达式,根据n S 的单调性,代入数值,分析即可得答案. 【详解】解:(1)∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--, ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--, ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,1122n n a -=-, 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---, ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ,()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅,① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅,②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ,∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<,87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式,进行配凑和整理,根据等比数列定义,即可得证,求和常用的方法有:①公式法,②倒序相加法,③裂项相消法,④错位相减法等,需熟练掌握. 22.(1)存在,2k =或3k =;(2)证明见解析. 【分析】(1)若数列{}1n n c kc +-为等比数列,则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-,其中2n ≥且*n ∈N ,将23nnn c =+代入上式,整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案;(2)证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅,验证其不成立即可.【详解】解:(1)由题意知,若数列{}1n n c kc +-为等比数列,则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-,其中2n ≥且*n ∈N , 将23nnn c =+代入上式,得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=,解得2k =或3k =.(2)设数列{}n a ,{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠,11,0a b ≠, 则1111n n n c a pb q --=+,为证{}n c 不是等比数列,只需证2213c c c ≠⋅, 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++,()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++,由于p q ≠,故222p q pq +>,又11,0a b ≠,从而2213c c c ≠⋅,所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛:等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法,通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明.23.(1)证明见解析;(2)(21)3144n n n S -=+.【分析】(1)将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+,得到{}n b 为等比数列,(2)由(1)得到{}n a 的通项公式,用错位相减法求得n S 【详解】(1)由11a =,13(1)n n na n a +=+,可得131n na a n n+=+, 因为nn a b n=则13n n b b +=,11b =,可得{}n b 是首项为1,公比为3的等比数列, (2)由(1)13n n b -=,由13n na n-=,可得13n n a n -=⋅, 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅,12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅,上面两式相减可得:0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-, 则(21)3144n n n S -=+.【点睛】数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.(4) 裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和.24.(1)2nn a =;(2)21n b n =-,数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】(1)利用等比数列的通项公式,结合已知12a =,416a =,可以求出公比,这样就可以求出数列{}n a 的通项公式;(2)由数列{}n a 的通项公式,可以求出21a -和 358a 的值,这样也就求出2b 和 3b 的值,这样可以求出等差数列{}n b 的公差,进而可以求出通项公式,利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】(1)设等比数列的公比为q ,由已知12a =,34121616q a a q =⇒⋅=⇒=,所以112n n n a q a -=⋅=,即数列{}n a 的通项公式为2n n a =;(2)由(1)知2nn a =,所以2221213b a =-=-=,333552588b a ==⨯=, 设等差数列{}n b 的公差为d ,则322d b b -==,12121n d b b n b =-=∴=-, 设数列{}n b 前10项的和为10S ,则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=, 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-,数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和.(2)错位相减法:若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. (3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++,()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.(4)分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和. (5)倒序相加法.25.(1)条件性选择见解析,2n n a =;(2)332n nn T +=-. 【分析】(1)选①:由题意可得32442a a a =+-,再利用等比数列的公比为2可求1a ,进而可求数列{}n a 的通项公式;选②:22n n S a =-,令1n =可求1a ,当2n ≥时,可得1122n n S a --=-,与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥,进而可求数列{}n a 的通项公式;选③:122n n S +=-,当1n =时,112S a ==,当2n ≥时,122n n S -=-,与已知条件两式相减可求得2nn a =,检验12a =也满足,进而可求数列{}n a 的通项公式;(2)由(1)知2nn a =,则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===,利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】(1)选①:因为2a ,3a ,44a -成等差数列, 所以32442a a a =+-,又因为数列{}n a 的公比为2,所以2311122242a a a ⨯=+⨯-,即1118284a a a =+-,解得12a =, 所以1222n n n a -=⨯=.选②:因为22n n S a =-,当1n =时,1122S a =-,解得12a =. 当2n ≥时,1122n n S a --=-,所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-. 即()122n n a a n -=≥.所以数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列. 故1222n n n a -=⨯=.选③:因为122n n S +=-,所以当1n =时,112S a ==,当2n ≥时,122nn S -=-,所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=,当1n =时,1122a ==依然成立.所以2nn a =. (2)由(1)知2nn a =,则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===, 所以2323412222n n n T +=++++, ① 231123122222n n n n n T ++=++++, ② ①-②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-. 所以332n nn T +=-. 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-. 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解. 26.(1)*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩;(2)证明见解析. 【分析】(1)利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可;(2)利用n a 求n b ,当1n =时,1151224b =≤显然成立,当2n ≥时,利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解:(1)当1n =时,111113a S ==++=;当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =,所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩; (2)由(1)易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时,1151224b =≤显然成立. 当2n ≥时,1111()4(1)41n b n n n n ==-++, 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+; 故结论成立.【点睛】关键点睛:本题考查数列求通项公式,利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。

(2021年整理)高中数学必修5数列习题及答案

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第二章 数列一、选择题1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 63S S =错误!,则126S S =( ). A .错误! B .错误! C .错误! D .错误!2.数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 6=b 7,则有( ). A .a 3+a 9<b 4+b 10B .a 3+a 9≥b 4+b 10C .a 3+a 9≠b 4+b 10D .a 3+a 9与b 4+b 10的大小不确定3.在等差数列{a n }中,若a 1 003+a 1 004+a 1 005+a 1 006=18,则该数列的前 2 008项的和为( ).A .18 072B .3 012C .9 036D .12 0484.△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,如果a ,b ,c 成等差数列, ∠B =30°,△ABC 的面积为23,那么b =( ).A .231+ B .1+3 C .232+ D .2+35.过圆x 2+y 2=10x 内一点(5,3)有k 条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项a 1,最大弦长为数列的末项a k ,若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ,,则k 的取值不可能是( ). A .4 B .5 C .6 D .76.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( ). A .15B .30C .31D .647.在等差数列{a n }中,3(a 2+a 6)+2(a 5+a 10+a 15)=24,则此数列前13项之和为( ). A .26B .13C .52D .1568.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项和等于( ). A .160B .180C .200D .2209.在等比数列{a n }中,a 1=2,前n 项和为S n ,若数列{a n +1}也是等比数列,则S n 等于( ).A .2n +1-2 B .3n C .2n D .3n-110.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=41,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=( ).A .16(1-4-n) B .16(1-2-n) C .332(1-4-n)D .332(1-2-n)二、填空题11.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q 的值为 。

(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)

(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)

一、选择题1.已知数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,若1234480k k k k a a a a +++++++=,则k =( )A .3B .4C .5D .62.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题一定正确的是( ) A .若20200S >,则10a > B .若20210S >,则10a > C .若20200S >,则20a >D .若20210S >,则20a >3.已知数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,数列{}2n a 的前n 项和为n T ,若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是( )A .(3,)+∞B .(1,3)-C .93,5⎛⎫⎪⎝⎭D .(1,)-+∞4.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{}n a 的第n 项,则100a 的值为( )A .5049B .5050C .5051D .51015.对于数列{}n a ,定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”,现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=,记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ,若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数t 的取值范围是( )A .712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .712,35⎛⎫ ⎪⎝⎭C .167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .167,73⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+,则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =( ) A .21nn - B .21nn + C .221nn + D .42nn + 7.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ,其前.n 项的乘积....分别为,n n A B ,若552a b =,则99A B =( ) A .512B .32C .8D .28.已知等差数列{}n a 满足3434a a =,则该数列中一定为零的项为( )A .6aB .7aC .8aD .9a9.数列{}n a 满足122,1a a ==,并且()111212n n n n a a a -+=-≥,则1011a a +=( ) A .192B .212 C .2155D .236610.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ). A .2B .1C .32D .1211.已知{}n a 是等比数列,且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=,,则24a a +=( )A .2B .3C .4D .512.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,22a =,0n a ≠,()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-,其中2n ≥,且*n ∈N .设21n n b a -=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则100T =______.14.设数列{}n a 是等比数列,公比2q,n S 为{}n a 的前n 项和,记219n nn n S S T a +-=(*n N ∈),则数列{}n T 最大项的值为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若121(2)n n S S n -=+≥且23S =,则55S a =_________. 16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12020OB a OA a OC =+(向量OA 、OC 不平行),A 、C 、B 共线,则2020S =_________.17.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 18.已知函数()f x 在()1,∞-+上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则1100a a +等于________. 19.已知数列{}n a 与{}nb 满足11222n n a a a ++++=-,1(1)(1)nn n n a b a a +=--,数列{}n b 的前n 项的和为n S ,若n S M ≤恒成立,则M 的最小值为_________.20.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,…,的特点是从三个数起,每一个数等于它前面两个数的和,则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项.三、解答题21.给出以下三个条件:①11a =,22121n n a a n +-=+,*n N ∈;②22n n S a n =+,*n N ∈;③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个,将下面题目补充完整,并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,0n a >,________. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若12n a nn nS b a +=,*n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.已知各项为正数的等比数列{}n a ,前n 项和为n S ,若2125,2,log a log a 成等差数列,37S =,数列{}n b 满足,11b =,数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ (1)求{}n a 的公比q 的值; (2)求{}n b 的通项公式.23.已知数列{}n a 满足11a =,13(1)n n na n a +=+. (1)设nn a b n=,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .24.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,前n 项和为n S ,且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ,2a ,6a 成等比数列;③535S =,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题). (1)求n a ﹔(2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:13n T <. 25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n nS a 和2n a 的等差中项为1. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设41log n n b a +=,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26.已知等比数列{}n a 满足26a =,13630a a +=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若12a >,设23n n b n a =⋅(*N n ∈),记数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由已知,取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解. 【详解】因为数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,所以取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,所以数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,所以2nn a =,又1234480k k k k a a a a +++++++=,即12344220282k k k k +++++++=,即040238k ⨯=,解得4k =, 故选:B . 【点睛】关键点点睛:解决本题的问题的关键在于令1m =,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,利用等比数列的通项公式建立方程得解.2.B解析:B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时,2020120200S a =>,故10a >,20a >, 当1q ≠时,()202012020101a q S q-=>-,分以下几种情况,当1q <-时,10a <,此时210a a q =>; 当10q -<<时,10a >,此时120a a q =<, 当01q <<时,10a >,此时210a a q =>; 当1q >时,10a >,此时210a a q =>; 故当20200S >时,1a 与2a 可正可负,故排除A 、C . 当1q =时, 2021120210S a =>,故10a >, 20a >; 当1q ≠时,()202112021101a q S q-=>-,由于20211q-与1q -同号,故10a >,所以21a a q =符号随q 正负变化,故D 不正确,B 正确; 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题解决时根据等比数列的求和公式,分类讨论公比的情形是解决问题的关键,分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.3.D解析:D 【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ,得到数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列,进而得到{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,利用等比数列前n 项和公式得到n S ,n T ,将20n n S T λ+>恒成立,转化为6321nλ-<-+,从而得出答案. 【详解】当1n =时,112S a =-,得 11a =;当2n ≥时,由2n n S a =-,得112n n S a --=-,两式相减得112n n a a -=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=,所以22114n n a a -=.又211a =,所以{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-, 由20n n S T λ+>,得()()321210nnλ-++>,所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++, 所以6332121λ-<-=-=+, 所以1λ>-.综上,实数λ的取值范围是(1,)-+∞. 故选: D 【点睛】方法点睛:数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种: 一是判断数列问题中的一些不等关系; 二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,往往转化为函数的最值问题.4.B解析:B 【分析】观察数列的前4项,可得(1)2n n n a +=,将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=, 所以10010010150502a ⨯==. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查了观察法求数列的通项公式,关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.5.C解析:C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==,可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+,所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列,由6n S S ≤可得660a t -≥,770a t -≤,即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅,当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+,又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+,两式相减可得:()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+,所以22n a n =+, 所以()22n a tn t n -=-+, 可得数列{}n a tn -是等差数列, 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立, 可得:660a t -≥,770a t -≤, 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤, 解得:16773t ≤≤,所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:C 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ,等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥,10n a +≤,6.B解析:B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式,进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+, 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+,1112n n a a +∴-=, 所以,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且首项为111a ,公差为2,则()112121n n n a =+-=-,121n a n ∴=-,()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭,因此,1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选:B. 【点睛】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.7.A解析:A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中,如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地,2m p q =+时,则2·m p q a a a =,m a 是p q a a 、的等比中项. 8.B解析:B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选:B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等差数列的性质,属于基础题.9.C解析:C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-,由此计算得323a =,424a =,…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 10.D解析:D 【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.11.A解析:A 【分析】首先根据题意,利用等比数列求和公式,得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-,222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++,两式相除得到51(1)61a q q+=+,即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+,与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠,则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-, 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++, 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+, 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+, 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+, 所以242a a +=, 故选:A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的求和公式,这题思维的应用,属于中档题目.12.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.二、填空题13.【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析:9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始,奇数项成等差数列,且公差为2,然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,0n a ≠, 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-,可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-,即()1112n n n n a a a na ++++=, 可得12n n a a n ++=,①,所以,()2121n n a a n +++=+,②, ②-①得22n n a a +-=,所以,32224a a +=⨯=,则32a =,则3112a a -=≠, 所以,数列{}n a 从第三项开始,奇数项成等差数列,且公差为2,21n n b a -=,10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为:9901. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法; (4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.14.【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析:3【解析】数列{}n a 是等比数列,公比q 2=,n S 为{}n a 的前n 项和,219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ,2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=, 当且仅当822nn =时取等号,又,1n N n *∈=或2 时,n T 取最大值19243T =--= .∴ 数列{}n T 最大项的值为3 .故答案为3 .15.【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得:②②-①得:即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析:3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2,由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥,再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=,则11a =,所以2212a S a =-=,得:121n n S S +=+②, ②-①得:()122n n a a n +=≥,即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列, 则4451216a a q =⋅==,()()55151********a q S q-⨯-===--,故553116Sa =. 故答案为:3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式,考查等比数列的通项公式、求和公式的应用,较简单.16.【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于(向量不平行)共线则由等差数列的求和公式可得故答案为:【点睛】本题考查等差数列求和同 解析:1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+,则1m n +=,根据题意可求得12020a a +的值,然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时,则AB 、AC 共线,可设AB AC λ=, 所以,()OB OA OC OA λ-=-,()1OB OA OC λλ∴=-+, 又OB mOA nOC =+,则()11m n λλ+=-+=,由于12020OB a OA a OC =+(向量OA 、OC 不平行),A 、C 、B 共线,则120201a a +=,由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为:1010. 【点睛】本题考查等差数列求和,同时也考查了三点共线结论的应用,考查计算能力,属于中等题.17.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.18.【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析:2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性,利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性,结合函数的单调性,根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值,最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,则函数()f x 的图象关于1x =-对称, 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =,所以5051a a 2+=-,因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列,所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性,等差数列的性质,涉及函数的图象的平移变换,属中档题,小综合题,难度一般.19.【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为:1【点睛】方法点睛:本题主要考查 解析:1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子,相减求得n a ,检验1a 是否相符,求得n b ,用裂项相消法求得和n S ,由n S 表达式得M 的范围,从而得最小值. 【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-,所以2n ≥时,12122n n a a a -+++=-,两式相减得1222n n nn a +=-=,又21222a =-=,所以*n N ∈,有2nn a =,从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----,122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--,显然1n S <,所以1M ≥,M 的最小值为1.故答案为:1. 【点睛】方法点睛:本题主要考查求数列的通项公式,考查裂项相消法求和,数列求和的常用方法有:(1)公式法,(2)错位相减法,(3)裂项相消法,(4)分组(并项)求和法,(5)倒序相加法.20.【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为:【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析:2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+,进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅,然后再利用累加法,即可求出结果. 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+,所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+,即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅,220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅,……223221·a a a a a ⋅=+,所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++, 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=.所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为:2049 . 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)条件性选择见解析,n a n =;(2)12n n T n +=⋅.【分析】(1)选择①,由累加法求得2n a ,从而得n a ;选择②,由当2n ≥时1n n n a S S -=-得出数列{}n a 的递推关系,利用0n a >排除一个,由另一个得出通项公式n a ;选择③,类似选择②求出通项2211n n a ++,从而得n a .(2)由(1)可得n b ,然后用错位相减法求和n T . 【详解】 (1)选择①,因为22121n n a a n +-=+,*n ∈N ,所以2n ≥时,2221211a a -=⨯+, 2232221a a -=⨯+,()221211n n a a n --=-+,2n ≥,所以当2n ≥时,()()221212311n a a n n -=++++-+-⎡⎤⎣⎦,因为11a =,所以当2n ≥时,22n a n =,当1n =时,也满足上式. 因为0n a >,所以n a n =. 选择②,因为22n n S a n =+,所以当2n ≥时,21121n n S a n --=+-,两式相减,得22121n n n a a a -=-+,即()2211n n a a --=,所以11n n a a --=或11n n a a --=,因为21121a a =+,所以11a =,因为0n a >,所以11n n a a --=舍去, 所以11n n a a --=,即11n n a a --=,2n ≥, 所以n a n =. 选择③,因为数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n ,所以当2n ≥时,()221111n n n n a +=--=+,即22n a n =, 当1n =时,211111a +=+,即211a =,也满足上式, 所以22n a n =,因为0n a >,所以n a n =. (2)()()11122212n n a n nn nn n S b n a n+++⨯===+⋅, 所以()1212223212n n n T b b b n =+++=⋅+⋅+++⋅,()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅,所以()()231422212n n n T n +-=++++++⋅()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.【点睛】方法点睛:本题考查累加法求通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和. 22.(1)2q ;(2)()121n n b n =-⋅+.【分析】(1)对正项的等比数列{}n a ,利用基本量代换,列方程组,解出公比q ; (2)设11n nn n b b d a ++-=,由题意分析、计算得 1n d n =+,从而得到()112n n n b b n +-=+⋅,用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】(1)∵2125log ,2,log a a 成等差数列,∴ ()225215log log log 4a a a a +==,即132516a a a ==,又0,n a >34a ∴=,又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=,当2n ≥时,()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式,1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=,()112n n n b b n +∴-=+⋅,()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥,()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-,()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式, 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换; (2)数列求和常用方法:①公式法;②倒序相加法;③裂项相消法;④错位相减法.23.(1)证明见解析;(2)(21)3144n n n S -=+.【分析】(1)将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+,得到{}n b 为等比数列, (2)由(1)得到{}n a 的通项公式,用错位相减法求得n S 【详解】(1)由11a =,13(1)n n na n a +=+,可得131n na a n n+=+, 因为nn a b n=则13n n b b +=,11b =,可得{}n b 是首项为1,公比为3的等比数列, (2)由(1)13n n b -=,由13n na n-=,可得13n n a n -=⋅, 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅, 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅,上面两式相减可得:0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-, 则(21)3144n n n S -=+.【点睛】数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.(4) 裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和. 24.条件选择见解析;(1)32n a n =-;(2)证明见解析. 【分析】(1)由①可得11a =,由②可得13d a =,由③可得3127a a d =+=,选择①②、①③、②③条件组合,均得11a =,3d =,即得解析式;(2)可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】(1)①由()101051S a =+,得()11109105912a d a d ⨯+=++,即11a =; ②由1a ,2a ,6a 成等比数列,得2216a a a =,222111125a a d d a a d ++=+,即13d a =;③由535S =,得()15355352a a a +==,即3127a a d =+=; 选择①②、①③、②③条件组合,均得11a =,3d =, 故()13132n a n n =+-=-. (2)()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ∵n *∈N ,∴1031n >+,∴13n T <.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于{}n n a b 结构,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于{}+n n a b 结构,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构,其中{}n a 是等差数列,公差为d ,则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用裂项相消法求和. 25.(Ⅰ)2nn a =;(Ⅱ)22n nT n =+. 【分析】(Ⅰ)利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系,然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系,求出1a 其为等比数列,从而得通项公式;(Ⅱ)用裂项相消法求和n T . 【详解】解:(Ⅰ)因为n n S a 和2n a 的等差中项为1,所以22n n nS a a +=,即22n n S a =-, 当2n 时,1122n n S a --=-.两式相减得1122n n n n S S a a ---=-,整理得12n n a a -=. 在22n n S a =-中,令1n =得12a =,所以,数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,因此1222n nn a -=⨯=.(Ⅱ)411log 2n n n b a ++==. 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n . 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查求等比数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.26.(Ⅰ)123n n a -=⨯或132n n a -=⨯;(Ⅱ)1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知建立方程组,求得数列的首项和公比,从而求得数列的通项;(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅(*n ∈N ),运用错位相减法可求得数列的和.【详解】解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,由26a =,可得16a q =,记为①. 又因为13630a a +=,可得12630a a q +=,即15a q +=记为②,由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩, 故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯.(Ⅱ)由(Ⅰ)及12a >可知132n n a -=⨯,所以223n n n b n a n =⋅=⋅(*n ∈N ), 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-,所以1(1)22n n S n +=-⨯+.【点睛】 方法点睛:数列求和的常用方法:(1)公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和.(2)错位相减法:若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. (3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++,()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. (4)分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和. (5)倒序相加法.。

高中必修五数列练习题

高中必修五数列练习题

高中必修五数列练习题高中必修五数列练习题数列是高中数学中一个重要的概念,它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

在高中必修五中,数列的学习是一个重要的内容。

为了帮助同学们更好地掌握数列的概念和解题方法,下面将给出一些数列练习题。

1. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n + 1,求该数列的前10项。

解析:根据通项公式,我们可以依次计算出数列的前10项:a1 = 2 × 1 + 1 = 3a2 = 2 × 2 + 1 = 5a3 = 2 × 3 + 1 = 7...a10 = 2 × 10 + 1 = 21所以该数列的前10项为3,5,7,9,11,13,15,17,19,21。

2. 数列{an}的前n项和为Sn = n(n + 1),求该数列的通项公式。

解析:根据题目给出的前n项和的公式,我们可以通过逆推的方法求得数列的通项公式。

首先,我们计算数列的前几项的和:S1 = a1 = 1(1 + 1) = 2S2 = a1 + a2 = 2(2 + 1) = 6S3 = a1 + a2 + a3 = 3(3 + 1) = 12...我们观察前n项和与n(n + 1)的关系:S1 = 2 = 1(1 + 1)S2 = 6 = 2(2 + 1)S3 = 12 = 3(3 + 1)...可以发现,前n项和Sn与n(n + 1)之间存在着一定的关系。

根据这个关系,我们可以猜测数列的通项公式为an = n(n + 1)。

为了验证这个猜测,我们可以利用数学归纳法来证明。

3. 数列{an}满足an+1 = 2an,a1 = 1,求该数列的通项公式。

解析:根据题目给出的递推关系式,我们可以通过逐项代入的方法求得数列的通项公式。

首先,我们计算数列的前几项:a1 = 1a2 = 2a1 = 2a3 = 2a2 = 4a4 = 2a3 = 8...观察数列的前几项,我们可以发现每一项都是前一项的2倍。

高中数学人教版 必修五 数列经典例题 高考题(附黄冈解析答案)

高中数学人教版 必修五 数列经典例题 高考题(附黄冈解析答案)

黄冈经典例题高考题(附答案,解析)等差数列例 1、在等差数列{a n}中:1、若a1-a4-a8-a12+a15=2,则a3+a13=___________.2、若a6=5,a3+a8=5,则a10=___________.3、若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=___________.例 2、已知数列{a n}的通项,试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数,若没有,说明理由.例 3、将正奇数1,3,5,7,……排成五列,(如下图表),按图表的格式排下去,2003所在的那列,从左边数起是第几列?第几行?1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…………例 4、设f(x)=log2x-log x4(0<x<1).又知数列{a n}的通项an满足.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)判断该数列{a n}的单调性.1.(2009年安徽卷)已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.72.(2009年湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,……,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,……这样的数为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.13783.(江西卷)在数列{a n}中,,则a n=( )A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn等差数列前N项和、等比数列例 1 、在等差数列 {a n}中,(1)已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知S8=48,S12=168,求S4;(3)已知a1-a4-a8-a12+a15=2,求S15;(4)已知S7=42,S n=510,a n-3=45,求n.例 2 、已知数列 {a n}的前n项和,求数列{|a n|}的前n项和S n′.例 3 、设数列 {a n}的首项a1=1,前n项之和S n满足关系式:3tS n-(2t+3)S n-1=3t(t>0,n=2,3,4…)(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)设数列{a n}的公比为f(t),作数列{b n},使(n=2,3,4,…),求b n.(3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n+1b n b n+1.例 4、一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么 24分钟可注满水池,如果开始时,全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多少时间?例 5 、在 XOY平面上有一个点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n),…,对每个自然数n,点P n位于函数y=2000(0<a<10)的图象上,且点P n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P n为顶点的等腰三角形. (1)求点P n的纵坐标b n的表达式;(2)若对每个自然数n,以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;(3)设B n=b1·b2·…·b n(n∈N*).若a取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列{B n}的最大项的项数.1.(2009年宁夏、海南卷)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知,,则m=()A.38B.20C.10D.92.(2009年全国1卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=72,则=_________.3.(2009年福建卷)等比数列中,已知.(1)求数列的通项公式;(2)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和.等比数列前N项和、数列的应用例 1 、 {a n} 为等差数列(d≠0) , {a n} 中的部分项组成的数列恰为等比数列,且 k1=1 ,k2=5 , k3=17 ,求 k1+k2+k3+……+k n的值 .例 2、已知数列 {a n} 满足条件: a1=1 , a2=r(r ﹥ 0) 且 {a n·a n+1} 是公比为 q(q ﹥ 0) 的等比数列,设 b n=a2n a2n(n=1,2, …… ).-1+(1)求出使不等式 a n a n+1+a n+1a n+2> a n+2 a n+3 (n ∈ N*) 成立的 q 的取值范围;(2)求 b n;(3)设,求数列的最大项和最小项的值 .例 3 、某职工年初向银行贷款 2万元用于购房,银行为了推行住房制度改革,贷款优惠的年利率为10%,按复利计算,若这笔贷款要求分10年等额还清,每年一次,并且从贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到1元)例 4、在一次人才招聘会上,有 A、B两家公司分别开出它们的工资标准:A公司允诺第一年月工资为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;B公司允诺第一年月工资为2000元,以后每年月工资比上一年的月工资的基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取,试问:(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?(2)该人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素),该人应该选择哪家公司,为什么?(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到1元)并说明理由.1.(2009年全国2卷)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若,则=___________.2.(2009年北京卷)若数列满足:,则___________;前8项的和___________.(用数字作答)3.(2009年辽宁卷)等比数列{a n}的前n 项和为S n,已知,,成等差数列.(1)求{a n}的公比q;(2)若a1-a3=3,求S n.答案&解析等差数列例一分析:利用等差数列任两项之间的关系:am =an+(m-n)d以及“距首末两端等距离两项的和相等”的性质可简化解答过程.解:,故 5=10-d,∴ d=5.故 a10=a6+4d=5+4×5=25.例二分析:考察数列{an}在哪一范围是递增数列,在哪些范围是递减数列,即可找到最大项.解:由有n≤9.而 an >0,∴当n≤9时,有an+1≥an.即 a1<a2<…<a9=a10>a11>a12>…∴数列{an}中存在最大项,最大项的项数为9或10,最大项为.点评:最大项与最大项的项数是不同概念,一个是项,一个是项号.例三分析:考虑到每行占有四个数,利用周期性进行处理,每一个周期占两行用 8个数,只须确定2003是第几个正奇数,问题就得到解决.解:设2003是第n个正奇数.则 2003=1+(n-1)·2.∴ n=1002.而 1002=8×125+2.∴ 2003在第251行第3列.例四分析:的方程,解方程并注意f(x)的定义域0<x<1即可得通项公式.依据条件列出关于an解:(1)又∵ f(x)定义域为0<x<1,(2)}为递增数列.则数列{an1. 答案:B2.答案:C解析:=n2,由此可排除D(1378不是平方数),将A、B、C选项根据图形的规律可知第n个三角形数为,第n个正方形数为bn代入到三角形数表达式中检验可知,符合题意的是C选项,故选C.3.答案:A等差数列前N项和、等比数列例1 解析:(1) a45 -a15=30d=153 -33 得 d=4 , a61=a45+16d=217.(2)方法 1 S4, S8-S4, S12-S8成等差数列,则 S4+(168 -48) =2(48 -S4)解得 S4= -8方法 2 成等差数列,则,∴ d=2.故.则 S4= -8.(3)∵(4) S7=7a4=42 ∴ a4=6∴ n=20例二解析:∴ an=63 -3n≥0 有 n ≤ 21 误解一=误解二例三解析:(1)∵ n≥2 时∴ {an} 为等比数列 .(2)∵则 {bn } 为等差数列,而 b1=1.∴(3)∵. ∴当 n 为偶数时,当 n 为奇数时例四解析:设有 n 个水龙头,每个水龙头放水时间依次为 x1, x2, x3,…, xn,则数列 {xn} 为等差数列且每个水龙头 1 分钟放水池水,故最后关闭的水龙头放水时间为 40 分钟 .例五解析:(1)∵.(2)∵ 0<a<10 ,则 0<.要使 bn , bn+1, bn+2为边能构成三角形,(3)故{B n} 中最大项的项数为n=20.1.答案:C解析:}是等差数列,所以,由,得:2-=0,所以=2,又,因为{an即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.2.答案:24解析:}是等差数列,由,得,∵{an.3.解析:(1)设的公比为,由已知得,解得..(2)由(1)得,,则,.设的公差为,则有,解得.从而.所以数列的前项和.等比数列前N项和、数列的应用例一解答:设公比为 q ,例二解答:(1)由题意得 rq n-1+rq n> rq n+1.由题设 r ﹥ 0,q ﹥ 0 ,故上式 q2-q-1﹤0 ,(2)因为,所以,b1=1+r≠0 ,所以 {bn} 是首项为 1+r ,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)q n-1.(3)由(2)知 bn=(1+r)q n-1,从上式可知当 n-20.2 > 0 ,即 n ≥ 21(n ∈ N) 时, cn随 n 的增大而减小,故①当 n-20.2<0 ,即 n ≤ 20(n ∈ N) 时, cn也随着 n 的增大而减小,故②综合①、②两式知对任意的自然数 n 有 c20≤ cn≤ c21故 {cn } 的最大项 c21=2.25 ,最小项 c20=-4.例三解一:我们把这类问题一般化,即贷款年利率为 a ,贷款额为 M ,每年等额归还 x 元,第 n 年还清,各年应付款及利息分别如下:第 n 次付款 x 元,这次欠款全还清 .第 n-1 次付款 x 元后,过一年贷款全部还清,因此所付款连利息之和为 x(1+a) 元;第 n-2 次付款 x 元后,过二年贷款全部还清,因此所付款连利息之和为 x(1+a)2元;……第一次付款 x 元后,一直到最后一次贷款全部还清,所付款连利息之和为 x(1+a)n-1元.将 a=0.1 , M=20000 , n=10 代入上式得故每年年初应还 3255 元.解二:设每年应还 x 元,第 n 次归还 x 元之后还剩欠款为 an元;则 a0=20000 , a1=20000(1+10%)-x ,an+1=an(1+10%)-x ,∴ an+1-10x=1.1(an-10x) ,故数列 { an-10x} 为等比数列.∴ an -10x= (a-10x)×1.1n,依题意有 a10=10x+(20000-10x) ×1.110=0 ..故每年平均应还 3255 元.例四解答:(1)此人在 A 、 B 公司第 n 年的月工资数分别为:an=1500+230 × (n-1)(n ∈ N*) ,bn=2000(1+5%)n-1(n ∈ N*) .(2)若该人在 A 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为:12(a1+a2+…+a10)=304200 (元);若该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为:12(b1+b2+…+b10) ≈ 301869 (元).因此在 A 公司收入的总量高些,因此该人应该选择 A 公司 .(3)问题等价于求 Cn =an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1(n ∈ N*) 的最大值 .当 n ≥ 2 时, Cn -Cn-1=230-100×1.05n-2,当 Cn -Cn-1> 0 ,即 230-100×1.05n-2> 0 时, 1.05n-2<2.3 ,得 n<19.1,因此,当 2 ≤ n ≤ 19 时, Cn-1<Cn;于是当 n ≥ 20 时, Cn≤ Cn-1.∴ C19=a19-b19≈ 827 (元) .即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多827 元.1.答案:3解析:设等比数列的公比为q.当q=1时,.当q≠1时,由.2. 答案:16;255解析:依题知数列{a}是首项为1,且公比为2的等比数列,n.3. 解析:(1)依题意有.由于,故.又,从而.(2)由已知可得.故.从而.。

(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试(包含答案解析)

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一、选择题1.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ,第n 项之后的各项12,n n a a ++,···的最小项为n B ,令n n n b A B =-,若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,则数列{}n b 的前10项和为( )A .169-B .134-C .103-D .78-2.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40423.已知数列{}n a 是等比数列,满足51184a a a =,数列{}n b 是等差数列,且88b a =,则79b b +等于( )A .24B .16C .8D .44.已知数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,若1234480k k k k a a a a +++++++=,则k =( )A .3B .4C .5D .65.在正项等比数列{}n a 中,若3788a a a =,2105a a +=,则公比q =( ) A .122B .122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C .142D .142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥,且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是( ) A .5B .6C .7D .87.数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-(*n ∈N ),若173a a ka +=,则实数k 等于( ) A .2B .3C .269D .2598.已知等差数列{}n a 中, 23a =,59a =,则数列{}n a 的前6项之和等于( ) A .11 B .12 C .24D .369.已知{}n a 是等比数列,且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=,,则24a a +=( )A .2B .3C .4D .510.已知等比数列{}n a 中,若1324,,2a a a 成等差数列,则公比q =( )A .1B .1-或2C .3D .1-11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知32110S a a =+,534a =,则1a =( ) A .2B .3C .4D .512.已知数列{}n a 中,11a =,又()1,1n a a +=,()21,1n b a =+,若//a b ,则4a =( ) A .7B .9C .15D .17二、填空题13.设S n 是数列{}n a 的前n 项和,且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈,则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14.设数列{}n a 中12a =,若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=,且10101b =,则2020a =__. 15.已知等差数列{}n a 中,268,0a a ==,等比数列{}n b 中, 122123,b a b a a a ==++,那么数列{}n b 的前4项和4S =________16.数列{}n a 满足11a =,22a =,且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭(*n N ∈),则2020a =__.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项,设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+,则数列{b n }的前100项和为_____.18.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=4,S 5=30,则数列{1nS }的前n 项和为_____.19.等比数列{}n a 前n 项和为n S ,若634S S =,则96S S =______. 20.对于数列{}n a ,存在x ∈R ,使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立,则下列说法正确的有______.(请写出所有正确说法的序号). ①数列{}n a 为等差数列; ②数列{}n a 为等比数列; ③若12a =,则212n na -=;④若12a =,则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21.已知数列{}n a 满足:*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈(1)证明{}n a n +是等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式;(2)设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和,求n S 22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足332S a =,8522a a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记121n n n n b a a a ++=⋅⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .23.已知等比数列{}n a 的公比不为1,且11a =,32a 是23a 与4a 的等差中项. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++,求数列{}n b的前n 项和n T .24.已知正项等比数列{}n a ,首项13a =,且13213,,22a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S .25.在数列{}n a 中,已知12a =,且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+,*n ∈N . (1)设1nn a b n=-,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .26.已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为n A ,最小值记为n B ,令nn nA bB =. (1)若2(1,2,3,)n a n n ==,写出1b ,2b ,3b 的值.(2)证明:1(1,2,3,)n n b b n +≥=.(3)若{}n b 是等比数列,证明:存在正整数0n ,当0n n 时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】先利用单调性依次写出前几项,再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,故从2a 起单调递增,且1231,0,3a a a ===, 所以11112101b A B a a =-=-=-=,22213b A B a a =-=-,33334b A B a a =-=-,44445b A B a a =-=-,…,1010101011b A B a a =-=-,又2112117116171a =⨯-⨯+=,所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选:A. 【点睛】 关键点点睛:本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增,才能依次确定{}n b 的项,找到规律,突破难点.2.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3.C解析:C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算. 【详解】∵数列{}n a 是等比数列,∴2511884a a a a ==,又80a ,∴84a =,又{}n b 是等差数列,∴7988228b b b a +===. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列与等比数列的性质,掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键.对正整数,,,m n p l ,若m n p l +=+,{}n a 是等差数列,则m n p l a a a a +=+,若{}n a 是等比数列,则m n p l a a a a =,特别地若2m n p +=,{}n a 是等差数列,则2m n p a a a +=,若{}n a 是等比数列,则2m n p a a a =.4.B解析:B 【分析】由已知,取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解. 【详解】因为数列{}n a 中,12a =,()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈,所以取1m =,则112n n n a a a a +=⋅=,所以数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,所以2nn a =,又1234480k k k k a a a a +++++++=,即12344220282k k k k +++++++=,即040238k ⨯=,解得4k =, 故选:B . 【点睛】关键点点睛:解决本题的问题的关键在于令1m =,得出数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等比数列,利用等比数列的通项公式建立方程得解.5.D解析:D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组,进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a qa ⋅⋅===,即62a =.22106()4a a a ∴==,又2105a a +=,解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩,0q >,11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组,通过求出2a 、10a 的值,结合等比数列的基本量来进行求解.6.C解析:C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4(n ∈N*)且a 1=9,其前n 项和为S n ,求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|<1125的最小整数n .故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-,然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列,求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案. 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得:3(a n+1﹣1)=﹣(a n ﹣1)即:111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列.所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C . 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.7.C解析:C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ,然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-, 所以111a S ==,当2n ≥时,()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-,111a S ==适合上式,故43n a n =-,因为173a a ka +=, ∴1259k +=, 解可得269k = 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式,考查来了运算能力,属于中档题.8.D解析:D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=,再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解:因为等差数列{}n a 中, 23a =,59a =, 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=, 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的性质,前n 项和公式,考查运算能力,是中档题.9.A解析:A 【分析】首先根据题意,利用等比数列求和公式,得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-,222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++,两式相除得到51(1)61a q q+=+,即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+,与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠,则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-, 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++,两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+, 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+, 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+, 所以242a a +=, 故选:A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的求和公式,这题思维的应用,属于中档题目.10.B解析:B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列,所以312242a a a =+,即2111242a q a a q =+,化简得220q q --=,解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.11.A解析:A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34, ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34, 则a 1=2. 本题选择A 选项.12.C解析:C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+,可得出1121n n a a ++=+,所以数列{}1n a +是以2为首项,公比为2的等比数列,然后求解4a . 【详解】因为//a b ,所以121n na a +=+,则()112221n n n a a a ++=+=+,即1121n n a a ++=+, 又11a =,所以112a +=,所以数列{}1n a +是以2为首项,公比为2的等比数列, 所以441216a +==,得415a =. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的平行,考查数列的通项公式求解及应用,难度一般. 一般地,若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠,则只需构造()1n n a x p a x ++=+,其中1q x p =-,然后转化为等比数列求通项.二、填空题13.【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为:【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析:17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ,再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-= 又11113S a ==所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项,2为公差的等差数列, 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14.【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为:2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析:【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=,进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅,结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意,数列{}n b 满足1n n n a a b +=,即1n n na b a +=, 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而数列{}n b 为等比数列,则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==,则202011a a =, 又由12a =,则20202a =. 故答案为:2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用,考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力,属于中档题.15.320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为:320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析:320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式,即可求出1b ,2b ,即可得{}n b 通项,再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1102a d =⎧⎨=-⎩ , 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ,所以128b a ==,2123108624b a a a =+=++=+, 所以数列{}n b 的公比q 为213b b = , 所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为:320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和,涉及等差数列通项公式,等比数列通项公式,属于基础题.16.2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为:2020【点睛解析:2020 【分析】当n 为偶数时,可得出22n n a a +=+,故偶数项是以2为首项,公差为2的等差数列,求出通项公式,代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时,2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭, 即22n n a a +=+,故数列{}n a 的偶数项是以2为首项,公差为2的等差数列, 所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭, 所以20202020a =. 故答案为:2020. 【点睛】本题考查数列的递推式,解题关键是得出当n 为偶数时,可得出2n a +与n a 的关系式,进而求出{}n a 的通项公式,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.17.【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明:当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意(证毕)所以所以数列 解析:100101【分析】利用等比中项列方程,然后求得n a ,再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅,当1n =时,()22111a a -=,解得111212a ==⨯, 当2n =时,()()2122121a a a a a +-=⋅+,解得211623a ==⨯, 当3n =时,()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++,解得3111234a ==⨯, 以此类推,猜想()11111n a n n n n ==-++,1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明: 当1n =时,1112S a ==成立. 假设当n k =时,1k k S k =+ 当1n k =+时,()21111k k k S a S +++-=⋅,()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅,22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅,1121k k k S S S ++-+=-⋅,()121k k S S +⋅-=-,1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭,()111211k k k S k k +++==+++,所以假设成立.所以对任意*N n ∈,()11111n a n n n n ==-++,1n n S n =+.(证毕) 所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭,所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质,考查裂项求和法,属于中档题.18.【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数 解析:1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩,应用等差数列前n项和公式表示出n S ,进而得到数列{1nS }的通项,并利用裂项法求前n 项和即可 【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式,知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式:22(1)n S n n n n n =+-=+,()n N +∈对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为:1nn + 【点睛】本题考查了等差数列,根据已知量,结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量,进而得到其前n 项和公式,根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式,结合裂项法得到新数列的前n 项和公式19.【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为:【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析:134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比,从而列出关系式,又634S S =,接着用6S 表示3S ,代入到关系式中,可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则232,,n n n n n S S S S S --成等比,且0n S ≠,所以6396363--=-S S S S S S S ,又因为634S S =,即3614=S S ,所以6696666141144--=-S S S S S S S ,整理得96134=S S . 故答案为:134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道基础题。

高中数学必修五数列求及方法总结计划附经典例题及含答案详解

高中数学必修五数列求及方法总结计划附经典例题及含答案详解

(一)等差等比数列前 n 项乞降1、 等差数列乞降公式: S n n(a 12 a n ) na 1 n(n 1) d2na 1q n )( q1)2、等比数列乞降公式: S na 1 (1 a 1 a n q1)1 q(q1 q(二)非等差等比数列前 n 项乞降⑴错位相减法② 数列 an 为等差数列,数列b 为等比数列,则数列a b 的乞降就要采纳此法 .nnn②将数列 a n b n 的每一项分别乘以b n 的公比,而后在错位相减,从而可获得数列a nb n 的前 n 项和 .此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 .例 23.乞降: S n1 3x 5x27x 3 (2n 1) x n 1 ( x0)2 4 6 2n例 24. 求数列 2 , 2 , 2 3 , , 2 n ,前 n 项的和 .2⑵裂项相消法一般地,当数列的通项 a nc( a,b 1,b 2 , c 为常数) 时,常常可将 a nb 1)( an(an b 2 )变为两项的差,采纳裂项相消法乞降.可用待定系数法进行裂项:设 a n,通分整理后与原式对比较,依据对应项系数相等得an b 1an b 2c,从而可得b 2 b 1cc1 1=().(an b 1)( an b 2 ) (b 2 b 1 ) an b 1 an b 2常有的拆项公式有:①1 1) 1n 1 ; ②11 ( 1 1 );n(n n 1(2 n 1)(2 n1) 2 2n 12n 1③a11( ab );④ C n m 1C n m 1 C n m ;b a b⑤ n n!(n 1)! n!.⑥12)1 [ 11)( n12) ]n ( n 1)( n2 n ( n1)( n⋯⋯例 25. 求数列1,11 , 的前 n 和 ., ,12 23 n n 1例 26. 在数列 {a n } 中, a n12n ,又 b n2,求数列 {b n } 的前 nn 1 n 1 n 1a nan 1的和 .⑶分 法乞降有一 数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将 数列适合打开,可分 几个等差、等比或常 的数列,而后分 乞降,再将其归并即可. 一般分两步:①找通向 公式②由通 公式确立怎样分.例 27. 求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 和 .例 28.求数列的前 n 项和: 1 1,14, 1 7, ,13n 2aa 2 a n1⑷倒序相加法假如一个数列a n ,与首末两 等距的两 之和等于首末两 之和, 可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就获得了一个常数列的和, 种乞降方法称 倒序相加法。

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2.(2014•成都模拟)等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{}的前n项和.
解:(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q,由a32=9a2a6有a32=9a42,∴q2=.
由条件可知各项均为正数,故q=.
由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1,∴a1=.
故数列{a n}的通项式为a n=.
(Ⅱ)b n=++…+=﹣(1+2+…+n)=﹣,
故=﹣=﹣2(﹣)则++…+=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=﹣,
∴数列{}的前n项和为﹣.
7.(2013•江西)正项数列{a n}满足﹣(2n﹣1)a n﹣2n=0.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
解:(1)由正项数列{a n}满足:﹣(2n﹣1)a n﹣2n=0,
可有(a n﹣2n)(a n+1)=0 ∴a n=2n.
(2)∵a n=2n,b n=,
∴b n===,
T n===.
数列{b n}的前n项和T n为.
6.(2013•山东)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{b n}满足=1﹣,n∈N*,求{b n}的前n项和T n.
解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2a n+1有:,
解有a1=1,d=2.
∴a n=2n﹣1,n∈N*.
(Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N*,有:
当n=1时,=,
当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合.
∴=,n∈N*
由(Ⅰ)知,a n=2n﹣1,n∈N*.
∴b n=,n∈N*.
又T n=+++…+,
∴T n=++…++,
两式相减有:T n=+(++…+)﹣=﹣﹣
∴T n=3﹣.
28.(2010•山东)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.
解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴有,
解有a1=3,d=2,
∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1;
S n==n2+2n;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1,
∴b n====,
∴T n===,
即数列{b n}的前n项和T n=.
25.(2008•四川)在数列{a n}中,a1=1,.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)令,求数列{b n}的前n项和S n;(Ⅲ)求数列{a n}的前n项和T n.
解:(Ⅰ)由条件有,又n=1时,,
故数列构成首项为1,公式为的等比数列.∴,即.
(Ⅱ)由有,,
两式相减,有:,∴.
(Ⅲ)由有.
∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=.
3.(2010•四川)已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.
解:(1)设{a n}的公差为d,
由已知有
解有a1=3,d=﹣1
故a n=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;
(2)由(1)的解答有,b n=n•q n﹣1,于是
S n=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•q n﹣1.
若q≠1,将上式两边同乘以q,有
qS n=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•q n.
上面两式相减,有
(q﹣1)S n=nq n﹣(1+q+q2+…+q n﹣1)=nq n﹣
于是S n=
若q=1,则S n=1+2+3+…+n=
∴,S n=.
4.(2010•四川)已知数列{a n}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2(m﹣n)2(1)求a3,a5;(2)设b n=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N*),证明:{b n}是等差数列;(3)设c n=(a n+1﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{c n}的前n项和S n.
解:(1)由题意,令m=2,n=1,可有a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3,n=1,可有a5=2a3﹣a1+8=20
(2)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可有
a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1﹣a2(n+1)﹣1]﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8 即b n+1﹣b n=8
∴{b n}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6,公差为8的等差数列
则b n=8n﹣2,即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知(令m=1)可有
a n=﹣(n﹣1)2.
∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c n=2nq n﹣1.
当q=1时,S n=2+4+6++2n=n(n+1)
当q≠1时,S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1.
两边同乘以q,可有
qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n.
上述两式相减,有
(1﹣q)S n=2(1+q+q2+…+q n﹣1)﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•
∴S n=2•
综上所述,S n=.
16.(2009•湖北)已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.
解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,
则依题意可知d>0由a2+a7=16,
有,2a1+7d=16①
由a3a6=55,有(a1+2d)(a1+5d)=55②
由①②联立方程求,有
d=2,a1=1/d=﹣2,a1=(排除)
∴a n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1
(2)令c n=,则有a n=c1+c2+…+c n
a n+1=c1+c2+…+c n+1
两式相减,有
a n+1﹣a n=c n+1,由(1)有a1=1,a n+1﹣a n=2
∴c n+1=2,即c n=2(n≥2),
即当n≥2时,
b n=2n+1,又当n=1时,b1=2a1=2
∴b n=
于是S n=b1+b2+b3+…+b n=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,n≥2,
.。

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