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圆锥曲线专题复习

知识归纳： 名称

椭圆

图 象

平面内到两定点

F 1 ,F 2 的距离的和为

常数（大于 F 1F 2 ）的动点的轨迹叫椭 圆即 MF 1

MF 2 2a

定 义

c 时，轨迹是椭圆，

当 2 a ﹥ 2 当 2 a ＝ 2 c 时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段

F 1 F 2

当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹不存在

双曲线

平面内到两定点

F 1, F 2 的距离的差的绝

对值为常数（小于

F 1 F 2 ）的动点的轨

迹叫双曲线即

MF 1 MF 2 2a

当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a ＝ 2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a ﹥ 2 c 时，轨迹不存在

焦点在 x 轴上时：

x 2

y 2

a

b

1

x 2

y

2

2

2

焦点在 x 轴上时：

1

a 2

b 2

标 准 焦点在 y 轴上时： y 2 x

2

方 程

1

焦点在 y 轴上时： y

2

x 2

a

2

b

2

1

注：根据分母的大小来判断焦点在哪一

a 2

b 2

坐标轴上

常 数

a,b,c

a 2 c 2

b 2 ， a b 0 ，

c 2

a 2

b 2 ，

c a 0

的 关 a 最大， c

b, c b, c

b

c 最大，可以 a b, a

b,a

b

系

焦点在 x 轴上时：

x

y

渐 近

a b

线

焦点在 y 轴上时：

y

x 0

a b

抛物线：

图

形

y

O

F

l y

x

F

O x

l

方 2

2 px( p

0)y

2

2 px( p

0) x 2

2 py( p 0)

x 2

2 py( p 0)

y 程

焦

p

,0) ( p

,0)

(0, p

)

(0, p )

(

点

2

2

2

2 准

p

x p

y

p

y

p x

2

2

2

2

线

（一）椭圆

1. 椭圆的性质：由椭圆方程

x 2

y 2 a

b 0)

a

1(

2

b 2

（ 1）范围：

a x

a ，- b

x a ，椭圆落在 x

a y

b 组成的矩形中。

，

（ 2）对称性 : 图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。 x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（ 3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A ( a,0), A 2 (a,0) ，

B (0, b), B 2 (0,b) 。加两焦点 F 1 ( c,0), F 2 (c,0) 共有六个

特殊点。 A 1 A 2 叫椭圆的长轴， B 1 B 2 叫椭圆的短轴。长分别为 2a,2b 。 a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半

轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（ 4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e

c e

1 ( b

)2 。 0 e 1 。

a

a

椭圆形状与 e 的关系： e 0, c 0 ，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在

e 0 时

的特例。 e 1, c

a, 椭圆变扁，直至成为极限位置线段

F 1 F 2 ，此时也可认为是椭圆在 e 1 时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这

个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数

e 就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3.

椭圆的准线方程

对于 x

2

y 2 1 ，左准线 l 1 : x

a 2 ；右准线 l 2 : x a 2

a 2

b 2 c

c 对于

y

2

x 2 1，下准线 l 1 : y

a 2 ；上准线 l 2 : y a 2

a 2

b 2 c

c