统计方法基础知识概述

P( X
2)
C52
C152 1005
0.1377
C15 100
2. 二项分布
二项分布来源于独立重复试验； 每次试验结果出现的概率都不依赖于其
它各次试验的结果； 对于n次独立的试验，如果每次试验只
有两个可能结果：A与 A
设随机变量所有可能取的值为零和正整 数：0,1,2,…，n，且有
Pn (k ) Cnk p k q nk k=0,1,2…，n
趋于泊松分布。在这种场合，泊
松分布中的参数λ用二项分布的代
之。
在质量管理中，泊松分布的 典型用途是用作单位产品上 所发生的缺陷数的数学模型。
例：在产品的加工过程中，观察产 品在装配中发现的缺陷，经统计 每台产品的平均装配缺陷
数 0.5 ，试求在检验中发现
恰有1个缺陷的概率是多大？
解：∵ 0.5
密度函数为： p(x)
1
e
(
x) 2 2
2
2
记为: X 〜 N(, 2)
其中 为平均数， 为方差。
正态分布的概率分布密度曲线为：
重要特性： A.正态分布密度函数曲线是单峰、
对称的钟形曲线；
B. f (x)在x 处取得最大值，
最大值是：f (x) 1
2
C.正态分布有两个参数： 和
正态分布的概率分布函数为
参数n、p有如下关系：
μ=np, σ＝
npq
在n较大，np、nq较接近时，二
项分布近似于正态分布；当 n→∞时，二项分布的极限分布 是正态分布。
在产品质量检验中，当采取有放回的抽样 时，这时样本中取到的次品数的概率服 从二项分布。不放回的抽样在样本量相 对总体很小时，也可以近似看作为放回 抽样，超几何分布可利用二项分布来近 似计算概率。
（二） 统计方法的性质
1. 描述性 ——利用统计方法对统计数据进行整理和描述，以便 展示统计数据的规律； ——统计数据可用数量值加以度量，如平均数、中位 数、极差和标准差等，亦可用统计图表予以显示，如条 形图、折线图、频数直方图、频数曲线等。
2. 推断性 ——统计方法都要通过详细研究样本来达到了解、推 测总体状况的目的，因此它具有由局部推断整体的性质。
（三） 统计方法的用途
5. 研究取样和试验方法，确定合理的试验方 案；（抽样方法、抽样检验、试验设计、可靠 性试验） 6. 发现质量问题，分析和掌握质量数据的分 布状况和动态变化；（频数直方图、控制图、 排列图） 7. 描述质量形成过程。（流程图、控制图）
二 产品质量波动
（一） 正常波动 （二） 异常波动
B.一般正态分布的概率计算： 服从正态分布N (, 2 )的随机变量
X在[x1, x2]内取值的概率=服从
标准正态分布的随机变量U在
[ (x1 ) / , (x2 ) /]
关于一般正态分布，经常用到以下几个概率： 0.6826 0.9545 0.9973 0.95 0.99
（二） 计数数据
判断
数据
数据
数据
五 随机抽样方法
（一） 简单随机抽样法 （二） 系统抽样法 （三） 分层抽样法 （四） 整群抽样法
（一） 简单随机抽样法
——又叫随机抽样法，是指总体中的每个个体被抽 到的机会是相同的。
优点：抽样误差小 缺点：抽样手续比较繁杂。
（二） 系统抽样法
——又叫等距抽样法或机械抽样法。 优点：操作简便，实施不易出差错。 缺点：容易出较大偏差。 不适用场合：总体发生周期性变化的场合，不宜使 用这种方法。
其中p≠0，q>0，p+q=1，则称随机变量
服从参数为n和p的二项分布，记作 B(n,p) 。
注意：一批产品，批量为无限大， 假定产品总体的不合格品率为P。 从总体中抽取容量为n的样本，样 本中恰含有x个不合格品的概率服 从二项分布。
二项分布由n和p两个参数决定： （1）当p值较小且n不大时，分布是
布趋于对称(如图所示)。在实际工
作中，当λ≥20时就可以用正态分布
来近似地处理泊松分布的问题。
图 不同λ的泊松分布
应当注意，二项分布的应用条件也 是泊松分布的应用条件。
二项分布要求n 次试验是相互独立 的，这也是泊松分布的要求。
对于二项分布，在n→∞, p→0，且
np=λ(较小常数)情况下，二项分布
照明、噪声、震动等；
三 统计数据及其分类
（一） 计量数据 （二） 计数数据
（一） 计量数据
——凡是可以连续取值的，或者说可以用测量工 具具体测量出小数点以下数值的这类数据。如：长度、 容积、质量、化学成分、温度、产量、职工工资总额 等。
——计量数据一般服从正态分布。
正态分布
（1）正态分布的定义及其特征分布
P( X
k)
C
k D
C
nk ND
C
n N
，
k 0,1,2 , min(D, n)
例 设有100件产品，其中有5% 的不合格品，今从中不放回的 随机抽取15件，求恰有2件不 合格品的概率。
解：100件产品中有不合格品=100× 5%=5，随机抽取的15件产品所出现的 不合格数X服从超几何分布，其概率分 布为：
熟练程度、身体素质等 ； 机器（Machine）：机器设备、工夹具的精度、维护保养
状况等； 材料（Material）：材料的化学成分、物理性能和外观质
量等； 方法（Method）：加工工艺、操作规程和作业指导书的
正确程度等； 测量（Measure）：测量设备、试验手段和测试方法等； 环境（Environment）：工作场地的温度、湿度、含尘度、
3. 风险性 ——统计方法既然要用部分推断整体，那么这种由推 断而得出的结论就不会是百分之百正确，即可能有错误。 犯错误就要担风险。
（三） 统计方法的用途
1. 提供表示事物特征的数据；(平均值、中位数、标准偏 差、方差、极差) 2. 比较两事物的差异；（假设检验、显著性检验、方差 分析、水平对比法） 3. 分析影响事物变化的因素； （因果图、调查表、散布 图、分层法、树图、方差分析） 4. 分析事物之间的相互关系； （散布图、试验设计法）
——凡是不能连续取值的，或者说即使使用测量 工具也得不到小数点以下数值，而只能得到0或1，2， 3，•••，等自然数的这类数据。
——计数数据还可细分为记件数据和记点数据。 记件数据是指按件计数的数据，如不合格品数、彩色 电视机台数、质量检测项目数等；记点数据是指按缺 陷点（项）计数的数据，如疵点数、砂眼数、气泡数、 单位（产品）缺陷数等。
个体：组成总体的每个单元（产品）叫做个体。
四 总体与样本
总体容量（总体大小）：总体中所含的个体数， 常用N表示。
样本（子样）：是指从总体中随机抽取出来并且 要对它进行详细研究分析的一部分个体（产品）；样 本是由1个或若干个样品组成的。
样本容量（样本大小）：样本中所含的样品数目， 常用n表示。
四 总体与样本
优点：抽样实施方便。 缺点：代表性差，抽样误差大。 适用场合：常用在工序控制中。
案例
某种成品零件分装在20个零件箱内，每箱各装50个， 总共是1000个。如果想从中取100个零件作为样本进 行测试研究。
简单随机抽样：将20箱零件倒在一起，混合均匀， 并将零件从1～ 1000编号，然后用查随机数表或抽签 的办法从中抽出编号毫无规律的100个零件组成样本。
（二） 样本中位数
把收集到的统计数据X 1，X 2 ， X 3 ， ….X n ，按 大小顺序重新排列，排在正中间的那个数就叫作中 位数，用符号 来表示。
当 n 为奇数时，正中间的数只有一个； 当 n 为偶数时，正中间的数有两个，此时，中 位数为正中两个数的算术平均值。
偏倚的。但随着n的增大 ，分布逐 渐趋于对称，如图所示；
图 n值不同的二项分布比较 图 p值不同的二项分布比较
（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称， 如上图所示；
（3）对于固定的n及p，当k增加时， Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以 后又下降。
(4)服从二项分布B(n,p)的随机
变量之平均数μ、标准差σ与
(2)标准正态分布 0, 1
分布密度函数：
(u)
1
u2
e2
2
注意：
对于任何一个服从正态分布 N (, 2 )
的随机变量X，都可以通过标准化变换：
U X
将其变换为服从正态分布的随机变量。
（3）正态分布的概率计算 A.标准正态分布的计算：
P(u1 U u2) (u2) (u1)
∴
P( X
1)
k e
k!
k 1
0.51 1!
e 0.5
0.5 0.6065 0.3033
四 总体与样本
总体（母体）：是指在某一次统计分析中 研究对象的全体。
有限总体：被研究对象是有限的，如一 批产品的总数；
无限总体：被研究对象是无限的，如某个企业、 某个生产过程从前、现在、将来生产的全部产品。
抽样：是指从总体中随机抽取样品组 成样本的活动过程。
随机抽样：是指要使总体中的每一个 个体（产品）都有同等机会被抽取出来 组成样本的活动过程。
四 总体与样本
数据、样本和总体的关系
目的
总体
对工序进行分 无
析控制
限 总
工序
体
样本
一批 半成品
样本
判断
对一批产品质 有 一批
量进行判断，
限 总
产品
样本
确定是否合格 体
（一） 正常波动
——正常波动是由随机原因引起的产品质量波动； ——仅有正常波动的生产过程称为处于统计控制 状态，简称为控制状态或稳定状态。
（二）异常波动
——异常波动是由系统原因引起的产品质量波动； ——有异常波动的生产过程称为处于非统计控制 状态，简称为失控状态或不稳定状态。
（二） 异常波动
引起产品波动的原因主要来自六个方面（5 M1E ）： 人（Man） ：操作者的质量意识、技术水平、文化素养、
统计方法基础知识概述
一 统计方法及其用途 二 产品质量波动 三 统计数据及其分类 四 总体与样本 五 随机抽样方法 六 统计特征数 七 两类错误和风险
一 统计方法及其用途
(一) 什么是统计方法 (二) 统计方法的性质 (三) 统计方法的用途
（一） 什么是统计方法
统计方法：是指有关收集、整理、分析和解释统 计数据，并对其所反映的问题作出一定结论的方法。
系统抽样：将20箱零件倒在一起，混合均匀， 并将零件从1～ 1000编号，然后用查随机数表 或抽签的办法先决定起始编号，按相同的尾数 抽取100个零件组成样本。
分层抽样：20箱零件，每箱都随机抽取5个零件， 共100个组成样本。
整群抽样：先从20箱零件随机抽出2箱，该2箱 零件组成样本。
六 统计特征数
描述性统计方法： ——是对统计数据进行整理和描述的方法； ——常用曲线、表格、图形等反映统计数据和描 述观测结果，以使数据更加容易理解，例如，可将 统计数据整理成折线图、曲线图和频数直方图等。 推断性统计方法： ——是在对统计数据描述的基础上，进一步对其 所反映的问题进行分析、解释和作出推断性结论的方 法。
（一） 样本平均值 （二） 样本中位数
表示数据的集中位置
（三） 样本方差
（四） 样本标准偏差 （五） 样本极差
表示数据的离散程度
（一） 样本平均值
如果从总体中抽取一个样本，得到一批数据X 1，
X 2，X 3….X n，则样本的平均值 ：
_
x
1 n
n i 1
xi
x ：样本的算术平均值；
n ：样本大小。
（二） 计数数据
——记件数据一般服从超几何分布或二项 分布，记点数据一般服从泊松分布。
——当数据以百分率表示时，要判断它是 计量数据还是计数数据，应取决于给出数 据的计算公式的分子。
1.超几何分布
在产品质量检验的不放回抽样中，若N 件产品中有D件不合格品，则抽检n件 时所得不合格品数出现的概率服从超 几何分布，其概率分布为：
（三） 分层抽样法
——也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不同于 总体的总体（或称为层）中，按规定的比例从不同层 中随机抽取样品（个体）的方法。 优点：样本的代表性比较好，抽样误差比较小。 缺点：抽样手续有时较简单随机抽样还要繁杂。 适用场合：常用于产品质量验收。
（四） 整群抽样法
——又叫集团抽样法。是将总体分成许多群，每个 群由个体按一定方式结合而成，然后随机抽取若干群， 并由这些群中的所有个体组成样本。
3.泊松分布
Fra Baidu bibliotek
若随机变量只取零和正整数值0，1，2，…，
且其概率分布为 k=0，1，……
P(X k) k e
k!
其中λ＞0；e =2.7182…是自然对数的底数， 则称服从参数为λ的泊松分布，记为X～ P(λ)。
泊松分布的重要特征：
即μ= 2=λ。
λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值 愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分