数学方法类比法 -

类比法

学法介绍：

类比是将一类事物的某些相同方面进行比较，以另一事物的正确或谬误证明这一事物的正确或谬误。这是运用类比推理形式进行论证的一种方法。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。

常见的几种类比：

代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，

实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.

几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.

解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线

本次就上次类比法的补充发现卢湾区的一模考试的填空题最后一题的思想进行发掘，老师在掌握基本不等式的变形后是否有必要运用类比的方法深入学习一下柯西不等式在高考时数学的意义，或许上海这边运用新定义题型的方式来要求学生类比运用，但是老师需要还是需要知道柯西的前因后果的，更何况现在的考试都考全国试卷呢；

引入：观察以下两道题目，如果采用上海这边的做法，我们可能会设参数方程或者采取换元的思路，但是其实我们也可以这样做：

【1】设且，求的最大值及最小值。

利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10

【2】已知，，求的最值.

法一：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

知识方法类比：

基本不等式到柯西不等式的类比

定理1 如果a、b∈R，那么a2＋b22ab（当且仅当时取“＝”号）

定理2 如果a、b∈+R，那么

2b

a+≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：

(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．

注意：利用均值定理求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；若条件不满足时，应进行适当的分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式，这是解决问题的关键所在。若多次运用均值不等式求最值，必须保证每次取“=”的一致性。

柯西不等式：2

2222,,,,)(d )()a b c d R a

b c ac bd ∈++≥+则（，当且仅当

a b c d

=时取“=”号

推论：2

2

21

1

1

,,,()n

n

n

i i

i

i i i i i i n N a b R a b a b ===∈∈=∑∑∑则，当且仅当

12

12n n

a a a

b b b ===

时取“=”号

证明1：构造二次函数 ()()()2

2

222

11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=

=()()()22222

121122122n

n

n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++

22

120n

n a a a ++

+≥

()0f x ∴≥恒成立 ()()()2

22

2211221212440n

n

n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=++

+-++

+++

+≤

即()()()2

22

2211221212n

n

n n n n a b a b a b a a a b b b ++

+≤+++++

+

当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即

1212

n

n

a a a

b b b ===

时等号成立 证明（2）数学归纳法

（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()2

11a b 显然 左式=右式 当

2

n =右式

()()()()2

2

22

222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()2

2

2

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式

仅当即 2112a b a b = 即

12

12

a a

b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2

22

2211221212k

k k k k k a b a b a b a a a b b b ++

+≤++

+++

+

当 i i ka b =，k 为常数，1,2

i n = 或120k a a a ==

==时等号成立

设22

2

12k a a a A ===

= 22212k b b b B ===

=

1122k k C a b a b a b =++

+

则()()2

2

2221

1

1

11k k k k k a b b

a b +++++A +B +=AB +A +

()2

222

1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()222222

22121121k k k k a a a a b b b b ++∴++

++++

++

()2

112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++

当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==

==时等号成立

即 1n k =+时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

类型一：利用柯西不等式求最值

例1．求函数的最大值

解：∵且

， 函数的定义域为

，且

，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵

且

， ∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

点评：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解，在当前教材中我们或许只能运用换元或者最大限度利用单调性来解决；