浅谈数学类比法(2)

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浅谈数学类比法

惠州市第一中学 数学科组 李海媚

科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数

学问题B ，我们可以联想到一个已经会解的问题A ，问题B 和问题A 有许多类似的属性，于是我们推想问题B 与问题A 可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A 的类似方法来解决问题B ，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。 其推理过程是：对象A 具属性a 、b 、c 、d

对象B 具属性a 、b 、c

则对象B 也可能具有属性d 。下面浅谈数学类比法的一般方法。

一、 一般与特殊的类比

研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时

所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。 )

(1)(1)(1x f x f a x f ，R ，x ：-+=+∈且

为正常数已知例 则f(x)是否为周期函数？若是，求它的周期，若不是，说明理由。

分析：拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx 满足约束条件时，思路就豁然开朗了：

。

a x f ，x x f x

x

x 为周期的周期函数是以所以可以猜测为周期的周期函数是以且因为4)(44tan )(tan 1tan 1)4tan(π

ππ

⨯==-+=+

[][]。

a x ，f x f x f a x f a a x f a x f x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f x f x f a x f 为周期的周期函数是以因此证明4)()()(1)2(12)2()4()(1)

(1)(11)(1)

(11)(1)(1)()2()

(1)

(1)(:=-

-=+-=++=+∴-=-+--++=+-++=++=+∴-+=+ ）：题年北京市初中数学竞赛计算例1995(1996

19951995199319952199522323-+-⨯- 分析：本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行

求解。

1996

1993)1)(2()1)(2()1()2(21995222323=-+--=+-+---=a a a a a a a a a a a

二、 生疏与熟悉的类比

对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的 某些部分（条件、结论、图形、形式、数据等等）与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。

）

。（a a bc c b a bc a a 、、b、：全国高中数学竞赛试题的取值范围求满足

设例19860

660782222⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+-- 解：把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c ，

910

131478213140

13140)78(4)1314(00

)78()1314(22222222222224≤≤⎪⎩⎪⎨⎧≤+-+-≥+-⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+--+-≥=+-++-+a a a a a a a a a a a a a ，，b a a b a a ：b 解得即从而有

所以方程有非负根因为由此得

三、 复杂与简单的类比

数学中常常有这样的情况，从一些简单的问题引出的结论，可以推广到更复杂的 情况去，例如：平面几何中的许多结论可以平行地推选广到立体几何中去，反过来，本来是比较复杂的问题，解决它有困难时，又可先研究与之相应的简单情况，通过类比，看这个复杂问题是不是简单的推广，能否参照解决简单问题时所用的方法来解决问题。

分析：将问题退到平面上，将平面ABC 绕AB 顺时针旋转，使之与平面ABD 在同一平 面上，此时，CD 与AB （或其延长线）交于E ，由平面几何的知识易知AE 是 Rt △ACD 斜边上的高，受此启发，我们在原图中作DE ⊥AB ，垂足是E ，连结EC ，则

CD

AB a AD a AC BAD BAC BCD A ⊥===∠=∠-:,3,,60,30,:4求证中四面体例

C

四、“数”与“形”的类比

“数”与“形”是数学研究中的两个主要的对象，也是反映数学问题的两个侧面，它们既是对立的，又是统一的。“数”与“形”结合，寓“数”与“形”，寓“理”于“形”，相互类比，相互转化是数学学习与研究中运用广泛，意义深刻的思维方法。 分析：此题若是用一般的分段讨论的方法去掉绝对值符号，则化费较长的时间，但是如果联想到绝对值的几何意义，将数与形结合起来，此题不到一分钟便可得到答案。 类比还有很多方法，如正面和反面的类比，“有限”与“无限”的类比，与其他学科解决问题的经验或方法类比等等。类比法是一种发现问题、解决问题的方法，但任何时候，用类比推理得到的猜想都必须经过严密的证明，才能确认它是正确的，否则容易得到错误的结论。

CD

AB ECD

AB EC AB AEC AC EC AE a AE AC AE AC EC ACE a a AE ADE Rt ⊥⊥∴⊥︒

=∠∴=+=

︒∙-+=∆=

︒=∆从而可得结论平面即因此有中在中在,90,2130cos 2,2360cos 3,22222?

,43:5么则实数的取值范围是什的解集不是空集若不等式例a x x <-+-1

4311

43,1,

)0,4()0,3()0,(43:>∴<-+-≤∴-+-⋅-+-a a

x x x x B A M x M x x 的最小值为即之间时取得最小值在点显然当点的距离之和和点与点在数轴上可以看成是点解