电路邱关源 第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0


uc 1 t - C uC (t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d 0 i ( )d C C
1 4
+ 10V S L iL + uL ②应用换路定律: iL(0+)= iL(0－) =2A ③由0+等效电路求 uL(0+) 1 + 10V 4
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
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2
(t >0) R i + + uL Us C – －
di d uC duC uL L LC 2 iC dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
uC
＋
二阶电路
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程 为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定
律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
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⑤电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
例1 求 iC(0+)
i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
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di Ri L uS (t ) dt
结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。
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RLC电路
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uL uC uS (t )
磁链 守恒
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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④换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
t 0
0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) lim f ( t ) t 0
t 0
f (0 ) f (0 )
0－ 0 0＋ t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数
的值。
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例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求
开关闭合后电容电压随时间的变化。 解
动态电路的分析方法 ①根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；
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②求解微分方程 时域分析法
本章 采用
复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
经典法
状态变量法 卷积积分 数值法
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
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稳态分析和动态分析的区别 稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 动态 任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的通解
本章重点
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重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应的概念及求解；
3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求 解。
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7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
di i duS (t ) R dt C dt
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RL电路 应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t )
di uL L dt
(t >0) R i + + uL Us – -
R 若以电感电压为变量： uLdt uL uS (t ) L
R duL duS (t ) uL L dt dt
Δw p Δt
Δt 0
p
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2. 动态电路的方程
例 RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
L iL 10 S C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10
uL
ik
－ + 10V － uC － 10 iC 10 + 10 20V + 10 -20V -
解 ①确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
uC (0 ) uC (0 ) 10V

i
+
当i()为有限值时
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uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
结论
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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③电感的初始条件
t
1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d 0 u ( ))d L L
-
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
10 8 iC (0 ) 0.2mA 10 注意 iC(0－)=0 iC(0+)
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(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路
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例 2 t = 0时闭合开关k ,求 uL(0+)
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结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。
二阶电路
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
2
二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。
US k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定 状态，电感视为短路： uL= 0, uL i=Us /R 有一过渡期 t1 t 0
新的稳定状态
?
前一个稳定状态
过渡状态
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+ Us -
(t →) R i + uL –
+ Us -
(t →) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间
duc RC uc 0 dt 特征根方程： RCp 1 0
通解：
pt
Ri uc 0 (t 0)
R
(t=0) + C uC i －
uc (t ) ke ke
Uo

t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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例3 求 iC(0+) , uL(0+)
iL L
iS
iS
+ uL –
S(t=0)
R
iC C
+ uC –
+
uL
– R
iC + RiS –
解 iS
Fra Baidu bibliotek
由0－电路得： R 0－电路
由0+电路得：
RiS iC (0 ) is 0 R
iL(0+) = iL(0－) = iS uC(0+) = uC(0－) = RiS
-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
小结 求初始值的步骤:
1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3.画0+等效电路。
a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电 感电流方向相同）。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。

48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
第7章 一阶电路和二阶电路 的时域分析
7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10* 状态方程 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题

iL
+ u -
L
1 t iL (0 ) 0 u ( )d L 0 1 0 t = 0+时刻 iL (0 ) iL (0 ) 0 u ( )d L





当u为有限值时
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LiL
iL(0＋)= iL(0－)
L (0＋)= L (0－)
达到新的稳定状态：
前一个稳定状态
新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R
?
i uC = U s i=0 , 有一过渡期
t
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0
t1
过渡状态
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电感电路 + Us (t = 0) R i + k uL –
L
+ Us -
(t →) R i + uL –
i k未动作前，电路处于稳定状态： US/R i = 0 , uL = 0
微分方程的特解
dx 直流时 a1 a0 x U S dt dx t 0 a0 x U S dt
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3.电路的初始条件
① t = 0＋与t = 0－的概念 0－ 换路前一瞬间 认为换路在t=0时刻进行
f (0 ) f (0 )
f( t)
f (0 ) lim f ( t ) t 0
uL(0+)= - RiS
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例4 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V S L 2 + uL iL 3 C + i u iC 3 3 + 2 L + ++ 12A i 48V 2 L 48V uC 24V 2 -－ 由0+电路得：
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 )
②给出0＋等效电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10 uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
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7.2 一阶电路的零输入响应
零输入响应 换路后外加激励为零，仅由 动态元件初始储能产生的电 压和电流。 已知 uC (0－)=U0 i + R uR –
dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
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高阶电路
n
电路中有多个动态元件，描述 电路的方程是高阶微分方程。
n 1
dx d x dx an n an1 n1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
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例
电阻电路
（t = 0） R1 R2 0 i
+ i us -
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
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电容电路
+ Us -
(t = 0) R i + k uC –
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： US i = 0 , uC = 0