弹性力学等截面直杆的扭转(全部)

通过积分运算，可求得位移分量： u u0 y z z y Kyz
v v0 z z x z Kxz
其中积分常数u0、v0、x、y、z和以前一样代表刚体位移, K也是积分常数。
如果不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则：
u Kyz v Kxz
(10-6）
用柱坐标系表示，即：
ur 0 u Krz
x
解出函数
(10-3） (10-4）
(10-5）
(10-2）
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
现在推导有关位移的公式。将应力分量的表达式(10-1)及(10-2)代入物理方程 （8-17)，得：
x y z xy 0 x 0, y 0, z 0
xz
zx
第十章 等截面直杆的扭转
薄膜曲面可以形象地描述横截 面的扭转应力分布。
薄膜的等高线： z 0 s
10.2 扭转问题的薄膜比拟
0
s
n
s
0
s
n
切应力方向沿薄膜等高线切线
切应力与等高线法线方向导数成正比。
切应力与等高线相切。 切应力线。
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移 10.2 扭转问题的薄膜比拟 10.3 椭圆截面杆的扭转 10.4 矩形截面杆的扭转
学习指导
扭转问题是空间问题中的一个专门问 题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基 本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立 起来的。扭转问题的应力函数(x，y)，仍 然是二维问题。
第十章 等截面直杆的扭转
10.2 扭转问题的薄膜比拟
取薄膜的一个微小部分（微元体）abcd，它在xy面上的投影
是一个矩形，而矩形的边长是dx和dy。微元体受力情况。
T是薄膜每单位宽度上的拉力.
ab边上的拉力：Tdy,
在z轴上的投影： Tdy z x
cd边上的拉力：Tdy,
在z轴上投影：Tdy （z z dx） x x
x
x x
y
y y
第十章 等截面直杆的扭转
平衡条件： Fz 0
10.2 扭转问题的薄膜比拟
Tdy z Tdy (z z ) Tdx z Tdx (z z ) qdxdy 0
x
x x
y
y y
简化后
T
2z ( x2
2z y 2
)
q
0
2 z q (10-10) T
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
2 xy
0
将(10 2)代入，得：
xz
zx
y
yz
zy
x
(10-2）
2 0, 2 0
x
y
C 2 (10-3）
第十章 等截面直杆的扭转
10.1
2 考察边界条件： s 常量
2dxdy M
扭转问题的应力和位移
y
(1) 在杆的侧面上，有n 0及X Y Z 0,
可见应力边界(8 5)中的前两式总能满足，而第三式要求：
l( xz )s m( yz )s 0
l j ji Xi
l
(
y
)
s
m(
x
)s
0
xz
zx
y
yz
zy
x
x
(10-2）
dy dx d
( y )s ds ( x )s ds ds 0
在边界上有：l dy , m dx
ds
ds
s 常量
这就是说，在杆的侧面上（在横截面的边界曲线上）， 应力函数的边界值应当是常量。
10.1 扭转问题的应力和位移
前三式自动满足。
(1
)2 x
2 x 2
0
(1
)2 y
2 y 2
0
x y z xy 0
(1
)2 z
2 z 2
0
(1
) 2
yz
2 yz
0
(1
) 2
zx
2 zx
0
该两式要求： 2 yz 0,
2 zx 0
最后一式自动满足。
(1
)2 xy
于是式(e)成为：
2dxdy M
(10-5）
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
归纳： 为了求得扭应力 zx , zy，寻求出应力函数,使它
能满足方程(10 3) ~ (10 5)，然后由(10 2）求出应力分量。
2 C s 0
2dxdy M
xz
zx
y
yz
zy
(e）
Xdxdy zxdxdy
dxdy
y
dx
dy
y
(B A )dx
其中B及A是横截面上B点及A点的值，应当等于零。可见(c)
是满足的。同样可见式(d )也是满足的。
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(yX xY )dxdy M
根据式(b)及(10－2)式，式(e)左边的积分式可以写成 ：
(c）
静力等效
(d）
( yX xY )dxdy M
Biblioteka Baidu(e）
xz
zx
y
,
yz
zy
x
根据(b)中的第一式及 (10 2)，式(c)左边的积分式可以写成 ：
(10-2）
Xdxdy zxdxdy
dxdy
y
dx
dy
y
(B A )dx
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
ad边上的拉力：Tdx,
在z轴上投影： Tdx z y
bc边上的拉力：Tdx,
在z轴上投影：Tdx （z z dy） y y
注意abcd部分所受的总压力在z轴上的投影：qdxdy
平衡条件： Fz 0
Tdy z Tdy (z z ) Tdx z Tdx (z z ) qdxdy 0
y G x
u w 1
z x G y (10-7）
可以用来求出位移分量 w。将上列二式分别对 x、y求导，然后相见，即得 ：
2 2GK
(10-8）
由此可见，方程 (10 3)中的常数应为： 2 C (10-3）
C 2GK
(10-9）
第十章 等截面直杆的扭转
德国力学家 Prantle
普朗都指出，薄膜在均匀压 力作用下的垂度，与等直截面杆 扭转问题中的应力函数，在数学 上相似。用薄膜来比拟扭杆，可 以有助于求得扭转问题的解答.
z x y
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
1、求应力分量和位移分量：
x yx zx X 0
x y z
y zy xy Y 0
y z x z xz yz Z 0
z x y
F(x,y)
平衡方程:
xz 0,
z
yz 0,
z
xz yz 0
(yX xY)dxdy
(y zx x zy )
(y x )dxdy y x
dx
(
y
y
dy
dy
(x dx
x
xz
zx
y
,
yz
zy
x
进行分部积分，注意 B＝A＝0。可见
(10-2）
dx
y
y
dy
dx[(
yBB
yA A
)dy
dy]
dxdy
同样可见
dy
(
x
x
dx
dxdy
小相等而转向相反的扭矩M。
取杆的一端平面为xy面，z轴
沿着杆的纵向。
x
第十章 等截面直杆的扭转
1、求应力分量和位移分量：
设有等直截面杆，体力可以不 计，在两端平面内受有大小相等而 转向相反的扭矩M。取杆的一端平 面为xy面，z轴沿着杆的纵向。
10.1 扭转问题的应力和位移
用半逆解法。参考材料力学中对于圆截面杆的解答，这里假设：除了
zs 0
(10-11)
第十章 等截面直杆的扭转
10.2 扭转问题的薄膜比拟
薄膜问题与扭转问题比较：
扭转问题
2 C 2GK
s 0
2dxdy M
薄膜问题
2z q T
zs 0
2V 2 zdxdy
命薄膜及其边界平面 之间的体积为 V .
结论：
z ~ , q ~ 2GK, M ~ 2V
T
第十章 等截面直杆的扭转
10.2 扭转问题的薄膜比拟
在扭转横截面上， 沿x，y方向的剪应力大小为：
薄膜 y及x方向的斜率为：
|
zx
|
y
,
|
zy
|
x
扭转问题～薄膜问题
|
iy
|
z y
,
|
ix
|
z x
(1) zx ~ iy , zy ~ ix
(2)最大剪应力 ~ 最大斜率所在点
(3)最大剪应力方向 ~ 最大斜率方向相互垂直 。
薄膜问题与扭转问题比较：
10.2 扭转问题的薄膜比拟
结论： z ~ ,
q ~ 2GK, T
M ~ 2V
在扭转横截面上， 沿x，y方向的剪应力大小为：
薄膜 y及x方向的斜率为：
|
zx
|
y
,
|
zy
|
x
z | iy | y ,
z | ix | x
扭转问题～薄膜问题
第十章 等截面直杆的扭转
薄膜问题与扭转问题比较：
横截面上的剪应力τzx和τzy（即扭应力）以外，其余应力分量都等于零，即：
x y z xy 0
(10-1）
代入平衡方程 (8－1), 注意：X Y Z 0，即得：
x yx zx X 0
x y x
y zy xy Y 0
y z y z xz yz Z 0
10.2 扭转问题的薄膜比拟
第十章 等截面直杆的扭转
均匀薄膜，张在一个水平边界上 （上图所示）条件：
10.2 扭转问题的薄膜比拟
水平边界形状和大小＝＝＝＝扭转杆的横截面边界
当薄膜承受微小的均匀压力时，薄膜的各点将发生微小的垂度。以 边界所在的水平面为xy面，则垂度为z。
由于薄模的柔性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而 只能承受均匀拉力T（好像液膜的表面张力）。
可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，只是转动一个角度 α＝Kz。由此又可见，杆的单位长度内的扭转角满足：
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
将（10 6)代入( f )式中第五式及第四式， 得：
w v 1
y z
G x
w 1 Ky w 1 Kx
x G y
相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。
弹性力学讨论自由扭转。
第十章 等截面直杆的扭转 y
10.1 扭转问题的应力和位移
x
设有等直截面杆，体力可
y
以不计，在两端平面内受有大
一个函数(x, y)，使得:
xz
y
,
yz
x
于是可以将应力分量用
函数表示成为： xz
zx
y
,
yz
zy
x
这里的函数 (x, y)称为扭转问题的应力函 数，是普朗都提出的。
将(10 1)及(10 2)代入相容方程 (9 32), 可见其中的前三式及 最后总能满足，其余二 式要求：
(10-2）
第十章 等截面直杆的扭转
(2) 在杆的任一端，例如上 端，l m 0，而n 1，应力边界条件 (8 5)中的第三式总能满足，
而前二式成为：
xz X, yz Y
因为面力X及Y必须合成力偶， 而力偶的矩等于扭矩M，所以要求：
Xdxdy 0 Ydxdy 0 ( yX xY )dxdy M
(c）
(d） 静力等效
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
讨论：
xz
zx
y
,
yz
zy
x
(10-2）
由式(10 2)可见，当应力函数增加增加或减少一个常数时，
应力分量并不受影响。因此，在单连截面的情况下，即实心杆的
情况下，为简便，应力函数的边界值可以取零：
s 0
(10-4）
在多连截面的情况下，虽然应力函数在每一边界上都是常数，但 各个常数一般并不相同。因此，只能把其中某一个边界上的s取为 零。其他边界上的s，则须根据位移单值条件来确定。
x y
(a）
由前两个方程可见， zx和 zy应当只是x和y的函数，
不随z变化。第三个方程可以改写为：
xz
x
y
( yz )
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
由前两个方程可见， zx和 zy应当只是 x和y的函数，不随 z变化。第三个方程可以 改写为
xz
x
y
( yz )
根据微分方程理论，一定存在
y
yz
zy
x
yz
1 G
x
,
zx
1 G
y
,
xy
0
x
u x
,
yz
w y
v z
,
y
v y
,
zx
u z
w x
,
z
w z
xy
v x
u y
u 0 x w v 1 y z G x
v 0 y u w 1 z x G y
w 0
z
(f）
v u 0 x y
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(2) 在杆的任一端，例如上 端，l m 0，而n 1，应力边界条件 (8 5)中的第三式总能满足，
而前二式成为：
xz X, yz Y
因为面力X及Y必须合成力偶， 而力偶的矩等于扭矩M，所以要求：
Xdxdy 0 Ydxdy 0
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
柱体扭转
• 圆柱扭转：平面假设 • 非圆截面扭转：横截面发生翘曲 • 柱体扭转精确求解是十分困难的！！！
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
等直非圆杆扭转： 横截面翘曲 纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。