质点力学习题课
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3
【例】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为
S 5 4t t 2 （ SI）
则小球运动到最高点的时刻是[[B] ]。 （A）t 4s （B）t 2s （C）t 8s （D）t 5s
解：
ds v 4 2t dt t 2(s)
4 2t 0
【例】质点在平面上运动，位置矢量的表达式 2 2 为 r at i bt j 其中a、b为常量则该质点作[ [C] ]。 （A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动 解：
2 0
1
1
0
即：t＝ 1s时 法 线 力 大 小 为 24N 向 沿 y负 向 , 方 。
【例】质量为m的汽艇沿笔直水道行驶，当速 度为v0时关闭发动机，在阻力f=-kv2作用下继 续行驶，试分别求其速率与x 、t的关系式。
• 解：取汽艇为研究对象， 水平方向受力如图。以关 机位置为原点建图示坐标 • 由牛顿第二定律：
A外 A非 保 内 E - E 0 当 过 程 中 A外＝ 0 A非 保 内 0 ＝ 则 E i const i
E p(a)
零势点
E Ek E p
【例】已知质点运动中 x ae 求运动轨迹及加速度。
解：
kt
dy bke k t y t 0 b dt
【例】已知保守力F=(-Ax+Bx2)i,设x=0 处势能为零.(1)任意x处势能；(2)x=2与 x=3间的势能差。 解：E (r)
p 0势点 r 0
F保 dr
Ax 2 Bx 3 E p(x) ( Ax Bx 2 )dx x 2 3 b F保 dr E p Δ
0
3
I mv mv0 mv 10v
v t 3 s 2.7m/s
1 1 1 2 2 A mv mv 0 mv 2 2 2 2 2A 2 27 v 2.32m/s m 10
【例】质量为2kg的物体受力 F=4ti+6t2j(SI)
作用而运动，t=0 时，物体位于原点并静止 试求：（1）t=2s时，物体速度的大小； （2）前2s内此力的功。
(1) P F v Fv
Biblioteka Baidu
【例】质量为0.02kg的子弹水平地射入静置在 弹簧一端的、质量为8.98kg的木块内并将弹簧 压缩0.10m,设弹簧的劲度系数为100N/m,木块与 桌面的摩擦系数为0.2，求子弹的速度。
• 解：
m射入M过程动量守恒
k M m
mv (m M)V
V mv (m M)
y t dy k t kbe dy kbe k tdt b 0 dt y b be k t b y be k t
x ae
kt
y be
k t
xy ab
d 2x d 2y a x 2 ak 2 e k t a y 2 bk 2 e k t dt dt a k 2 ae k ti be k tj
Ao c F dx S o a S a b
0 7
400 200 x(m) 0 4
F(N) a
b
1 π4 400 3 400 4 2.46 10 3(J)
7
【例】一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动， 设t=0时物体位于原点，速度为零，问： （1）设物体在力F=3+4t(SI) 的作用下运动了3s， 它的速度和加速度变为多大？ （2）设物体在力F=3+4x(SI) 的作用下运动了3m， 它的速度和加速度变为多大？
1 1 t v v 0 Rtgθ
【例】一飞轮由静止开始绕其轴匀角加速 度转动，试证其边缘上一点的切向加速度 at与法向加速度an有下面关系an/at=2θ
匀 ： 解： 角 加 速 运 动 满 足
ω＝β t at Rβ
1 2 β θ t 2 2 2 2 a n Rω Rβ t
kv 2
x f m v
dv v0 v v dv v0 v 2
v
dv dx dv m kv m dt dt dt x k k x dx v v0e m 0 m t k 1 1 k dt t 0 m v v0 m
【例】质量为1kg的质点沿ox轴运动，受 力如图，设t=0时静止于坐标原点，求7 秒末的速度。
【例】质量为m的汽车，沿x轴正方向运动，
初始位置x0=0，从静止开始加速，设其发 动机的功率P不变，且不计阻力，试求： （1）汽车任意时刻的速度； （2）汽车任意时刻的位置。
解：
P dv F m v dt v tP 2Pt v 0 vdv 0 m dt m x t t 2Pt dx (2)v 0 dx 0 vdt 0 m dt dt 2 2P 3 2 x t 3 m
a n Rβ2t 2 β 2 2θ t at Rβ
【例】一质量为2kg的质点，在xy平面上运动， 受到外力F=4i-24t2j(SI)作用，t=0时它的初 速度为v0=3i+4j(SI)求：（1）t=1s时，质点 所受法向力的大小（2）此时法向力的方向如 何？ 解：
F 2 (1)a 2i 12t j m
a
5A 19B Δ E p F保 dr ( Ax Bx ) dx a 2 2 3 5A 19B 或 ： E p＝ E p 3 E p 2＝ Δ 2 3
b
3
2
质点力学习题课
质点运动学 质点动力学
基本概念及规律
• 质点运动学：
r r (t)
v
dr dt
a
dv dt
• 质点动力学：
F Fi ma
θ θ (t)
dθ ω dt
dω β dt
t
t
0
F dt mv mv 0
则 m ivi C
i
当 过 程 中 Fi 0
s Rθ v Rω at Rβ a n Rω2
a
b
F dr
a
• 已知运动方程求速度、 加速度。 • 已知加速度及初始条件 求运动方程。
1 1 mv 2 mv02 E k E k 0 2 2 F保 d r
b dr y x v 2ati 2btj a dt dv a 2ai 2b j dt
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度
a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：a n
at
tgθ
v2 R
dv tgθ dt
dv dt 2 v Rtgθ v dv t dt v0 v 2 0 Rtgθ
v
v1
0
v1 v 0 (2i 4j ) (3i 4j ) (2i 4j ) 5i F 4i 24j 可 见: F1 n 24j (N) F1 t 4i (N)
t 1 s
dv a dt (2i 12t j )dt 2i 4j
l
对 弹 簧 压 缩 过 程 应 用能 定 理 动 μ(m M)g l kx dx 0 1 (m M)V 2 2
0
1 1 mv 2 μ (m M)g l k l 2 2 2 (m M) v 2μ (m M)g l k(m M)l 2 m 319 m s
• 解：由质点动量定理：
0 F dt mv 0 mv 0
7
7
F(N) 10
1 F dt 7 10 35 2
7
t(s) 0 5 7
0 F dt 35 v
m 1
35 m/s
【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。 • 解：以启动位置为坐 标原点。 由功的定义：
【例】在半径为R的圆周上运动的质点，其运 动方程为 θ＝A+Bt3，试求： （1）路程与时间的关系 （2）速率与时间的关系 （3）切向加速度与法向加速度的表达式。 解：
(1)s Rθ R A Bt ds 2 (2)v 3RBt dt dv v2 (3)at 6RBt a n 9RB 2t 4 dt R
解：
(1)I m v mv 0 mv
2
I 0(4ti 6t j )dt v 2i 8j
2
m
2
v 2 2 8 2 68 8.67m/s
1 1 1 2 2 (2) A mv mv0 mv 2 68 (J) 2 2 2
F 3 4x (2)a 0.3 0.4x m 10 F 3 4t (1)a 0.3 0.4t a x 3 m 1.5m/s2 m 10 3 3 2 a t 3 s 1.5m/s A Fdx (3 4x)dx 27
0 0
解：
I (3 4t)dt 27
【例】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为
S 5 4t t 2 （ SI）
则小球运动到最高点的时刻是[[B] ]。 （A）t 4s （B）t 2s （C）t 8s （D）t 5s
解：
ds v 4 2t dt t 2(s)
4 2t 0
【例】质点在平面上运动，位置矢量的表达式 2 2 为 r at i bt j 其中a、b为常量则该质点作[ [C] ]。 （A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动 解：
2 0
1
1
0
即：t＝ 1s时 法 线 力 大 小 为 24N 向 沿 y负 向 , 方 。
【例】质量为m的汽艇沿笔直水道行驶，当速 度为v0时关闭发动机，在阻力f=-kv2作用下继 续行驶，试分别求其速率与x 、t的关系式。
• 解：取汽艇为研究对象， 水平方向受力如图。以关 机位置为原点建图示坐标 • 由牛顿第二定律：
A外 A非 保 内 E - E 0 当 过 程 中 A外＝ 0 A非 保 内 0 ＝ 则 E i const i
E p(a)
零势点
E Ek E p
【例】已知质点运动中 x ae 求运动轨迹及加速度。
解：
kt
dy bke k t y t 0 b dt
【例】已知保守力F=(-Ax+Bx2)i,设x=0 处势能为零.(1)任意x处势能；(2)x=2与 x=3间的势能差。 解：E (r)
p 0势点 r 0
F保 dr
Ax 2 Bx 3 E p(x) ( Ax Bx 2 )dx x 2 3 b F保 dr E p Δ
0
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I mv mv0 mv 10v
v t 3 s 2.7m/s
1 1 1 2 2 A mv mv 0 mv 2 2 2 2 2A 2 27 v 2.32m/s m 10
【例】质量为2kg的物体受力 F=4ti+6t2j(SI)
作用而运动，t=0 时，物体位于原点并静止 试求：（1）t=2s时，物体速度的大小； （2）前2s内此力的功。
(1) P F v Fv
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【例】质量为0.02kg的子弹水平地射入静置在 弹簧一端的、质量为8.98kg的木块内并将弹簧 压缩0.10m,设弹簧的劲度系数为100N/m,木块与 桌面的摩擦系数为0.2，求子弹的速度。
• 解：
m射入M过程动量守恒
k M m
mv (m M)V
V mv (m M)
y t dy k t kbe dy kbe k tdt b 0 dt y b be k t b y be k t
x ae
kt
y be
k t
xy ab
d 2x d 2y a x 2 ak 2 e k t a y 2 bk 2 e k t dt dt a k 2 ae k ti be k tj
Ao c F dx S o a S a b
0 7
400 200 x(m) 0 4
F(N) a
b
1 π4 400 3 400 4 2.46 10 3(J)
7
【例】一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动， 设t=0时物体位于原点，速度为零，问： （1）设物体在力F=3+4t(SI) 的作用下运动了3s， 它的速度和加速度变为多大？ （2）设物体在力F=3+4x(SI) 的作用下运动了3m， 它的速度和加速度变为多大？
1 1 t v v 0 Rtgθ
【例】一飞轮由静止开始绕其轴匀角加速 度转动，试证其边缘上一点的切向加速度 at与法向加速度an有下面关系an/at=2θ
匀 ： 解： 角 加 速 运 动 满 足
ω＝β t at Rβ
1 2 β θ t 2 2 2 2 a n Rω Rβ t
kv 2
x f m v
dv v0 v v dv v0 v 2
v
dv dx dv m kv m dt dt dt x k k x dx v v0e m 0 m t k 1 1 k dt t 0 m v v0 m
【例】质量为1kg的质点沿ox轴运动，受 力如图，设t=0时静止于坐标原点，求7 秒末的速度。
【例】质量为m的汽车，沿x轴正方向运动，
初始位置x0=0，从静止开始加速，设其发 动机的功率P不变，且不计阻力，试求： （1）汽车任意时刻的速度； （2）汽车任意时刻的位置。
解：
P dv F m v dt v tP 2Pt v 0 vdv 0 m dt m x t t 2Pt dx (2)v 0 dx 0 vdt 0 m dt dt 2 2P 3 2 x t 3 m
a n Rβ2t 2 β 2 2θ t at Rβ
【例】一质量为2kg的质点，在xy平面上运动， 受到外力F=4i-24t2j(SI)作用，t=0时它的初 速度为v0=3i+4j(SI)求：（1）t=1s时，质点 所受法向力的大小（2）此时法向力的方向如 何？ 解：
F 2 (1)a 2i 12t j m
a
5A 19B Δ E p F保 dr ( Ax Bx ) dx a 2 2 3 5A 19B 或 ： E p＝ E p 3 E p 2＝ Δ 2 3
b
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质点力学习题课
质点运动学 质点动力学
基本概念及规律
• 质点运动学：
r r (t)
v
dr dt
a
dv dt
• 质点动力学：
F Fi ma
θ θ (t)
dθ ω dt
dω β dt
t
t
0
F dt mv mv 0
则 m ivi C
i
当 过 程 中 Fi 0
s Rθ v Rω at Rβ a n Rω2
a
b
F dr
a
• 已知运动方程求速度、 加速度。 • 已知加速度及初始条件 求运动方程。
1 1 mv 2 mv02 E k E k 0 2 2 F保 d r
b dr y x v 2ati 2btj a dt dv a 2ai 2b j dt
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度
a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：a n
at
tgθ
v2 R
dv tgθ dt
dv dt 2 v Rtgθ v dv t dt v0 v 2 0 Rtgθ
v
v1
0
v1 v 0 (2i 4j ) (3i 4j ) (2i 4j ) 5i F 4i 24j 可 见: F1 n 24j (N) F1 t 4i (N)
t 1 s
dv a dt (2i 12t j )dt 2i 4j
l
对 弹 簧 压 缩 过 程 应 用能 定 理 动 μ(m M)g l kx dx 0 1 (m M)V 2 2
0
1 1 mv 2 μ (m M)g l k l 2 2 2 (m M) v 2μ (m M)g l k(m M)l 2 m 319 m s
• 解：由质点动量定理：
0 F dt mv 0 mv 0
7
7
F(N) 10
1 F dt 7 10 35 2
7
t(s) 0 5 7
0 F dt 35 v
m 1
35 m/s
【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。 • 解：以启动位置为坐 标原点。 由功的定义：
【例】在半径为R的圆周上运动的质点，其运 动方程为 θ＝A+Bt3，试求： （1）路程与时间的关系 （2）速率与时间的关系 （3）切向加速度与法向加速度的表达式。 解：
(1)s Rθ R A Bt ds 2 (2)v 3RBt dt dv v2 (3)at 6RBt a n 9RB 2t 4 dt R
解：
(1)I m v mv 0 mv
2
I 0(4ti 6t j )dt v 2i 8j
2
m
2
v 2 2 8 2 68 8.67m/s
1 1 1 2 2 (2) A mv mv0 mv 2 68 (J) 2 2 2
F 3 4x (2)a 0.3 0.4x m 10 F 3 4t (1)a 0.3 0.4t a x 3 m 1.5m/s2 m 10 3 3 2 a t 3 s 1.5m/s A Fdx (3 4x)dx 27
0 0
解：
I (3 4t)dt 27