数学建模通识课大作业题目

数学建模通识课大作业题目

注意事项:

(1) 大型作业由学生组队完成,每队不超过3人；

(2) 在17个题目中任选一题完成；

(3) 答卷包括问题复述、建模假设与建立、模型求解与计算等部分组成，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出；

(4) 答卷必须具有原创性，如发现抄袭和雷同，成绩计0分；

(5) 答卷以电子版的形式发给各任课老师指定的邮箱，交卷截止时间为2012年12月20日晚上9：30。

题1：地下管线

A 地和

B 地之间准备修建一条地下管线，B 地位于A 地正南面20km 和正东30km 交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线造价与地质特点有关，图1给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带。

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB 显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB 过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型进一步适合于下面两个限制条件的情况呢？

1．当管线转弯时，角度至少为140°。

2．管线必须通过一个已知地点（如P ）。

A

C 1 C 1

C 2 C 2

C 3 图1

题2：电子游戏中的数学

近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。

在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的奖金分配表：

牌型奖金（元）

同花大顺（10到A）800

同花顺50

四张相同点数的牌25

满堂红（三张同点加一对）8

同花 5

顺子 4

三张相同点数的牌 3

两对 2

一对高分对（J及以上） 1

其它0

在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相应的奖金。

1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。

2、对上述策略进行评价。

3、是否存在更好的策略。若有，请与上述策略进行比较。

题3：确定学术论文重要性排序

随着现代科学技术的发展，每年都有大量的学术论文发表。如何衡量学术论文的重要性，成为学术界和科技部门普遍关心的一个问题。有一种确定学术论文重要性的方法

是考虑论文被引用的状况，包括被引用的次数以及引用论文的重要性程度。假如我们用有向图来表示论文引用关系，“A引用B”可用下图表示：

现在有A、B、C、D、E、F六篇学术论文，它们的引用关系如下：

要求：

1）设计一个依据上述引用关系排出六篇论文重要性顺序的算法，并给出用该算法排得的结果。

2）将算法推广到任意N篇论文的情况。

题4：补考日程编排问题

每年开学初，我校都要安排学生补考。一方面，补考涉及人数较多，专业广泛，因此科目繁多；另一方面，参加同一门课程补考的学生来自全校各个专业，而且有些学生同时有多门课程需要补考。补考不同于平常的期末考试，只能利用周末进行，并且考试周期不能拖得太长，假如由你来负责编排补考日程，请你建立相关模型，设计一种补考日程编排方案，使得任何一个学生的不同补考科目在时间上都不冲突，并且使整个补考周期尽可能短。

1．假如同一个时间段可供使用的考场个数没有限制，问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？

2．假若能同时使用的考场数目是有限的（比如只有10个教室），问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？

3．附件中是今年考试的部分考生信息，请你利用附件中的数据编制考试日程表。

题5: 两种房贷还款方式有无好坏之分

最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。

1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；

2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；

3．给报社写一篇稿子，介绍你的研究成果。

题6: 高校教师升职加薪问题

某民办大学教师的职称分为助教、讲师、副教授、教授四个级别，其中助教从在读博士生中聘用，当取得博士学位后自动升为讲师，而讲师、副教授均需至少任职7年才可申请晋升上一级职称。所有教师每年领取10个月（每年9月至次年6月）工资（年薪），助教为27000美元，讲师为32000美元，副教授为40000美元，教授为52000美元。每年教师的工资都会增加，涨工资总是在9月初生效。若教师职称得到及时晋升，则应增部分等于未晋升而连续工作7年每年应增部分的总合。得到及时晋升且工作满25年以上的教授退休时的工资为64000美元。同样职称但具有更多经验的教师应比经验较少的教师工资高一点，但工资增长随任职年数增加而逐年下降。外校调入教师的在外校的教龄可折算为本校教龄，但最多只能按7年计。试分别考虑生活费用有无增加两种情况，设计一个公平合理的加薪规则。

题7: 适当换车真的省钱吗？

上海市出租车收费制度在1998年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50%、