平面及其方程

又因所求的平面垂直于已知平面 x y z 0, 所以有
A B C 0，
(2)
由(1)、 )得到 (2 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 A 2C , B C. 由平面的点法式方程 可知，所求平面方程为
A( x 1) B ( y 1) C ( z 1) 0.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
D =0
由平面过原点知 由平面过点(6, 3, 2)知 n (4, 1, 2),
6 A 3B 2C 0
4 A B 2C 0 2 A B C, 于是 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.

n2 ( A2 , B2 , C 2 ),
由两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C 2 | A12 B12 C12 A2 2 B2 2 C 2 2
特殊的：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;
By+Cz+D = 0
Cz +D = 0
By+Cz = 0
例2 求过三点 M1 (1,0, 1), M2 (2,1,2)和 M3 (1,1, 4) 的平面方程. 解
M1 M2 (1,1,3)， M1 M3 (2,1, 3)，
取 n M1 M2 M1 M3 (6, 3,3)，
A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2
例4 求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.
解 由两平面夹角的余弦公式得
2 cos 2 2 12 (4) 2 12 22 2） 1 2 （ （ ）
因此，所求角
于是 又由平面通过 x 轴，它必须通过原点， D 0.
因此可设这平面的方程为 By Cz 0. 代入点(4,3,1)，得 C 3B. 代入所设方程并除以B（B 0）得所求方程为 y 3z 0.
练习3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程
6.4.2 两平面间的夹角
6.4.3 点到平面的距离
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 一个平面的法向量有无穷多 个, 它们之间都是相互平行的． 设平面 的一个法向量 n ( A, B, C ), 且平面过点M0(x0, y0, z0). 下面建立平面有 的方程
练习4 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为
x y z 1, a b c
得 1 1 abc 1, 3 2
z c a o x
b
y
V 1,
由所求平面与已知平面平行得
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a b c, 6 1 6
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c x D D D 将A , B , C , a b c x y z 代入所设方程得 1 a b c
设平面为 Ax By Cz D 0,
为平面的一般方程.
平面方程的几种特殊情况：
(1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, 平面平行于x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂
x
z
o
y
直于z 轴；
(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.
z z
Ax+By+Cz = 0
z
o o
x
y
y
o
x
y
x
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得 2 x 3 y z 6 0.
练习2 求通过 x 轴和点 (4,3,1) 的平面方程.
解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直
即 于是法线向量在 x 轴上的投影为零， A 0； 于x轴，
z

M
n
M0
o
y
x
设M (x, y, z)是平面 上的任一点
M0 M n M0 M n 0
M0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
平面的点法式方程
z
M0
o

M
n
y
x
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
d | Pr jn P1 P0 |
d | Prjn p || p || cos |
| pn | | | p | | p || n | pn | . |n|

由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故
p n A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)
1
1
化简得
1 1 1 1 1 1 , 令 t 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t
代入体积
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
于是 所求平面方程为
1 t , 6
a 1, b 6, c 1,
6 x y 6 z 6.
z
o
y
6.4.2 两平面间的夹角
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. （通常取锐角）
n2
n1

设
2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0,
n1 ( A1 , B1 , C1 ),
1
练习5 一平面通过两点 （ ，1 M1 1 1， ）和M（0， 1 1， ） 2
且垂直于平面 y z 0，求它的方程 x .
解 设所求平面得一个法线向量为 n ( A, B, C ).
因M1 M 2 (1, 0, 2)在所求平面上，它必与n垂直， 所以有
A 2C 0. (1)
所求平面方程为 -6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
例3 一平面П 过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),
且平行于y 轴,求其方程.
解 由于所求平面П与y 轴平行, 故其方程的形式 设为Ax+Cz+D=0, 因为点M1 和M2 都在П上, 其坐标 应当满足П 的方程, 将这两个点的坐标代入到这个方
解
由点到平面的距离公式得
d
| 1 (1) 2 2 2 3 6 | 1 2 ( 2)
2 2 2
=3
练习1
求 过 点 (1,1,1) ， 且 垂 直 于 平 面
x y z 7 和 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程.
练习2 求通过 x轴和点 (4,3,1) 的平面方程. 练习3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
方程中,得到,
A+C+D=0, 3A-2C+D=0, 解这个方程组,得
2 3 A D, C D. 5 5
将这个结果代入到平面方程中,得 3x+2z- 5 = 0.
3 平面的截距式方程
设平面与 x , y, z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、Q(0, b,0) 、
R(0,0, c ) （其中 a 0 ， b 0，c 0 ） ，求此平面方程.
|1 2 (4) 2） 1 1 | （ （ ）

4
.
6.4.3 点到平面的距离
设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求 P0到平面的距离. 在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则
n
P0
P1
N
p P1P0 ( x0 x1, y0 y1, z0 z1 )
= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0 = A x0 By0 Cz0 D 于是得到点到平面距离公式
Ax1+By1+Cz1+D = 0
d
| Ax0 By0 Cz0 D | A2 B 2 C 2
.
例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离.
(6.15)
平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的 方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)
的坐标不满足该方程．
n (1, 2,3), 求此平面方程.
例1 设一平面过点M0(1, 0, –2)平面的法向量为
解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为
( x 1) 2( y 0) 3( z 2) 0,
即
x 2 y 3z 5 0.
2 平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
将A 2C及B C代入上式，并约去 （C 0） C ,
得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0.
所以，所求的平面方程为：
2 x y z 0.
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
练习4 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
练习5 一平面通过两点M1 111 （ ， ）和M（0， 1 ， 1 ） ， 2
且垂直于平面x y z 0，求它的方程.
练习1
求 过 点 (1,1,1) ， 且 垂 直 于 平 面
x y z 7 和 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程.
解
n1 (1,1,1), n2 (3, 2,12)
取法向量 n n1 n2 (10,15, 5),
所求平面方程为
①
Ax By Cz D 0
反之，三元一次方程
Ax By Cz D 0
表示一平面。
这是因为：
②
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的 图形是法向量为 n ( A, B, C ) 的平面,此方程称