最新2019高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何满分示范练 文

满分示范课——解析几何

【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22

＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →

.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →

＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

[规范解答](1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，

则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →

＝(0，y 0)，1分

由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22

y ，3分 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22

＝1， 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.5分

(2)由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，

则OQ →＝(－3，t )，PF →

＝(－1－m ，－n )，

OQ →

·PF →＝3＋3m －tn ，7分 OP →＝(m ，n )，PQ →

＝(－3－m ，t －n )，

由OP →·PQ →

＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，9分

又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.

所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →

，11分

又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12分

高考状元满分心得

1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m －m 2＋tn －n 2＝1就得分．

2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一

定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x 0＝x ，y 0＝22

y ，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →

，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．

[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP →，NM →

；

第二步：由NP →＝ 2 NM →

，确定点P ，N 坐标等量关系；

第三步：求点P 的轨迹方程x 2＋y 2

＝2；

第四步：由条件确定点P ，Q 坐标间的关系；

第五步：由OQ →·PF →

＝0，证明OQ ⊥PF ；

第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．

[跟踪训练] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝

⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直

线y ＝53

上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，

因为A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22

＋y 2

＝1. (2)不存在满足条件的直线，理由如下：

设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22

＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t 9

，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，

故y 0＝y 1＋y 22＝t 9，且－3＜t ＜3.

由PM →＝NQ →

得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 1－x 2，y 4－y 2)，

所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.

又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．