中考数学复习圆专题复习教案课程

中考数学专题复习六 几何（圆）

【教学笔记】

一、与圆有关的计算问题（重点）

1、扇形面积的计算

扇形：扇形面积公式 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

圆锥侧面展开图：

（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+

（2）圆锥的体积：213

V r h π= 2、弧长的计算：弧长公式 180

n R l π=； 3、角度的计算

二、圆的基本性质（重点）

1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．

2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；

推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

（2）相等的圆周角所对的弧也相等。

（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。

（4）90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

（4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

三、圆与函数图象的综合

一、与圆有关的计算问题

【例1】（2016?资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）

A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π

【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，

∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S

阴影=S

△A B C

﹣S

扇形C B D

=×2×2﹣

=2﹣π．

故选A．

【例2】（2014?资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）

A．﹣2B．﹣2C．﹣ D．﹣

解答：连接OC，

∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，

∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，

∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为，

∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，故选A．

【例3】（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）

A ． π

B ． π

C ． π

D ． π

解答： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°， 则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A ．

【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为

4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）

A ．2，3π

B ．23，π?

C ．3，23π

D ．23，43π 【课后练习】

1、（2015南充）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A

和B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P =40°，则∠ACB

的大小是（ B ）

A ．40° B．60° C．70° D．80°

2、（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ B ）

A ．12π B．24π C．6π D．36π

3、（2015内江）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直

径，∠BCD =120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP

的度数为（ ）

A ．40° B．35° C．30° D．45° 解析：连接BD ，∵∠DAB=180°-∠C=50°，A

B 是直径，∴∠ADB =90°，∠ABD =90°-∠DAB=40°，∵PD 是切线，∴∠ADP =∠B=40°．故选A ．

4、（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为

A ．2π

B ．π

C ．

3π D ．32π 解析：

∠BOD ＝60°

5、（2015凉山州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=40°，则∠A 的度数为（ ）

A ．80° B．100° C．110° D．130°

6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径 （ ）

A ．1cm

B ．2cm

C ．3cm

D ．4cm

7、（2015泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C =65°，则∠P 的度数为（ ）

A．65° B．130° C．50° D．100°

8、（2015眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，则∠B的度数为（）A．300 B．350 C．400D 450

9、（2015巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°

10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）

A．23

9

π

B．

43

9

π

C．

2

9

π

D．

4

9

π

11、（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）

A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4

12、（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm．

13、（2015自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝3，则劣弧AD的长为．

14、（2015遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．

15、（2015宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．

16、（2015泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．

17、（2015眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．

18、（2015广安）如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．

19、24．（2015巴中）圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为cm．

20、（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．

二、圆的基本性质

【例1】（2016?资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．

（1）求证：∠A=∠BDC；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即

∠A+∠ABD=90°，

又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，

∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；

（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，

又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．

【例2】（2015?资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC 相交于点D，E为BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.

解答：解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD．

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．

∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．

∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x

∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，

∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x，在RT△ABE中，AE==x，

∴sin∠CAE==．

【例3】（2014?资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．

（1）求证：△CDE∽△CAD；

（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，

∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，

∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，

而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，∴OA=1，

在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，

∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．

【例4】（2013?资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC=2，求⊙O 的半径r ；

（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数． 解答： （1）如图，过点O 作OE⊥AC 于E ，则AE=AC=×2=1，

∵翻折后点D 与圆心O 重合，∴OE=r ，

在Rt△AOE 中，AO 2=AE 2+OE 2，即r 2=12+（r ）

2，解得r=；

（2）连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，

∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．

【课后练习】

1、（2015达州）如图，AB 为半圆O 的在直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC =90°，②AD +BC =CD ，

③22ΔAOD ΔBOC ::S S AD AO =，④OD ：OC =DE ：EC ，⑤2OD DE CD =?，

正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

解析：如图，连接OE，

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。

∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。

在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）

∴∠AOD=∠EOD。同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。

∴∠DOC=∠DEO=90°。又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。∴，即OD2=DC?DE。结论①正确。

而，结论④错误。由OD不一定等于OC，结论③错误。∴正确的选项有①②⑤。故选A。

2、（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【解析】连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，

∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，

故选B．

3、（2015广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错

误的是（）

A．CE=DE B．AE=OE C．BC BD

D．△OCE≌△ODE

4、（2015广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C

是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点

G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．

其中正确结论是_②③④_ （只需填写序号）．

5、（2015成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及

A B的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF 于点G，交于点H，连接BD、FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG?HB的值．

6、（2015遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD

于N．（1）求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AM?AB；（3）若AM=18

5

，sin∠ABD=

3

5

，

求线段BN的长．

解答：（1）证明：连接OD，?∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，?

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，?

∵OB=OD，?∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；?

（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，?

∴，?∴AD2=AMAB；

（3）解：

∵sin∠ABD=，?∴sin∠1=，?∵AM=，?∴AD=6，?∴

AB=10，?∴BD==8，?

∵BN⊥CD，?∴∠BND=90°，?∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=

90°，?∴∠DBN=∠1，?∴sin∠NBD=，?∴DN=，?∴BN=

=．?

7、（2015宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=2，求AO的长．8、（2015泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．

解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，?∴∠EAC=∠ABC，?

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，?∴∠EAC=∠ACB，?∴AE∥BC，?

∵AB∥CD，?∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD

与点N，M，?∵AE是⊙O的切线，?

由切割线定理得，AE2=EC?DE，?∵AE=6，CD=5，?

∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），?

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE

=4，?

又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，?

设OF=x，OH=Y，FH=z，?∵AB=4，BC=6，CD=5，?∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，? 易得△OFH∽△DMF∽△BFN，?∴，，?

即，①??②，?①+②得：，?①÷②得：，?

解得，?∵x2=y2+z2，?∴，?∴x=，?∴OF=．?

9、（2015绵阳）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

【解析】

（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC

∴△ABC是等边三角形，∴O是△ABC的内心也是外心，∴OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30o，∴OA=OB=OC=.∵∠AOC=120o，∴

.

10、（2015广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点．过

D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F．且CE=CB．（1）求证：

BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=

5

13

．求

⊙O的半径．

解：（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC 又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °∴∠OBA+∠ABC=90 °

∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，?∵DA=DO，CD⊥OA，?

∴△OAF是等边三角形，?∴∠AOF=60 °∴∠ABF=

∠AOF=30 °

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=，?∴

CE==13

∴CG==12，?

又CD=15，CE=13，?∴DE=2，?

由Rt△ADE∽Rt△CGE得=，∴AD=CG=，∴⊙O的半径为2AD=．

11、（2015广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：

PA是⊙O的切线；（2）若

2

3

OC

AC

，且OC=4，求PA的长和tanD的值．

解：（1）证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，?∴AC=BC，? ∴OP是AB的垂直平分线，?∴PA=PB，?

在△PAO和△PBO中，?

∵PA＝PBPO＝POOA＝OB，∴△PAO≌△PBO（SSS）?

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，?

∵2+OC2=213，?∴AE=2OA=413，OB=OA=213，在Rt△APO中，?

∵AC⊥OP，?∴AC2=OC?PC，?

解得：PC=9，?∴OP=PC+OC=13，?

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=OP2-OA2=313，?∴PB=PA=∵PB为⊙O的切线，B为切点，?∴∠PBO=90°，?

∴∠PAO=90°，?即PA⊥OA，?∴PA是⊙O的切线；?

（2）连接BE，∵OCAC=23，且OC=4，∴AC=6，?∴AB=12，?

在Rt△ACO中，?由勾股定理得：AO=AC13，∵AC=BC，OA=OE，?

∴OC=12BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，?∴△DBE∽△DPO，?∴BDPD＝BEOP，?

12、（2015巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，

BC=4，求线段CD的长．

解：（1）证明：连接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；

（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，

又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；

DC=．

三、圆与函数图象的综合

【例1】（2015?资阳）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）

解答：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，

∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；

（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．

【例2】(2013年四川巴中)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(－1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴的正半轴于点C.

(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；

(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）∵A（4，0），B（－1，0），

∴AB=5，半径是PC=PB=PA=?。∴OP=?。

在△CPO中，由勾股定理得：?。∴C（0，2）。设经过A、B、C三点抛物线解析式是?，

把C（0，2）代入得：?，∴?。

∴?。

∴经过A、B、C三点抛物线解析式是?，

（2）∵?，∴M?。

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，

把C（0，2），M?代入得：?，解得?。

∴直线MC对应函数表达式是?。

（3）MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下：设直线MC交x轴于D，

当y=0时，?，∴?，OD=?。∴D（?，0）。

在△COD中，由勾股定理得：?，

又?，?，∴CD?2?+PC?2?=PD?2?。∴∠PCD=90?0?，即PC⊥DC。

∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切。

【课后作业】

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.如图，已知A，B，C在⊙O上，下列选项中与∠AOB相等的是（）

A． 2∠C B． 4∠B

C． 4∠A D．∠B＋∠C

2.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是（）A．35° B． 45°

C．55° D．65°

3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM＝DM B．CB＝DB