材料力学弯曲位移

2.梁位移的度量：
B1
①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正
②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正 ③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数— w=f(x) ④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—
q tanq dw f '(x)
dx
3、约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
EIw
Fbx3 6l
C1x
D1
EIw" F(x a) Fb x l
EIw'
F 2
(x
a)2
Fbx 2 2l
C2
EIw
F 6
(x
a)3
Fbx3 6l
C2x
D2
x a时，w ' w '，则 C1 C2; w w ，则 D1 D2
x 0处，w 0，得 D1 D2 0;
x l处，w 0，得
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解
车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
计算变形与位移的目的：刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。
挠曲线
挠曲线
§6.1 梁的挠曲线近似微分方程
积分法求梁的位移
一、梁的挠曲线
1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
y
q
F x
A
q w
B
x
图中q与w的正负？
wBq
wCq
qCq
l 2
7ql 4 384EI
A
C
B
wBq
3.在F和q共同作用下：
qB qBF qBq
wB wBF wBq
例;试用叠加法求图(a)所示梁跨中截面(B截面)的挠度。
2EI
w Fx2 (3l x) 6EI
qmax
qB
FL2 2EI
fmax
wB
FL3 3EI
例2 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。
x
F
A
B
a Cb
FA
l
FB
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
EIw" Fb x l
Fbx 2 EIw' 2l C1
2.支承条件与连续条件: 1) 支承条件：
y
y
y
l
y
w0
w0
w 0; w 0
wl
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
F
A
C
B
w |xC w |xC ，q |xC q |xC
例1 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。
x
A
qmax
l
y
解：建立坐标系如图
F
x B fmax
x处弯矩方程为： M (x) F(l x)
C1
C2
Fb (l 2 b2 ) 6l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
w Fbx (l 2 b2 x2 ) 6EIl
w F [ l (x a)3 x3 (l 2 b2 )x] 6EIl b
w' Fb (l 2 b2 3x2 ) 6EIl
w' F [ l (x a)2 x2 1 (l 2 b2 )]
于解每：几个个将荷荷载梁载单上共独的同作各作用载用时荷下该梁分截任别面意的引横位起截移的面的位上叠移的加叠位。移加，等
wfCC
5q l4 Pl3
384EI 48EI
ml2
（）
16EI
qA
ql3 24 EI
Pl2
16EI
ml
3EI
（
）
qB
ql3 24 EI
Pl2
16EI
ml 6EI
（
）
逐段刚化法：
x
M 0，w 0
x
3.挠曲线近似微分方程：
w M (x) EI
EIw M (x)
三、积分法求梁的挠曲线
1. EIw M (x)
积分一次 EIw' M (x)dx C1 EIq — 转角方程； 再积分一次 EIw ( M (x)dx)dx C1x C2 — 挠曲线方程。
式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。
挠度。 q
A
l/2
F
C
l/2 B
1.在F作用下：查表：qBF
Fl 2 2EI
, wBF
Fl3 3EI
2.在q作用下：查表： q Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A
F
qBF B
wBP
q(l / 2)4
ql 4
wCq 8EI
128 EI
q Bq
qCq
ql 3 48EI
q
wCq
第六章
梁弯曲时的位移
工程中的弯曲变形问题
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加 工精度，甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现 爬坡现象。
因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
连续光滑曲线，固定端对位移
的限制
yB 0,qB 0
连续光滑曲线，铰支座对位移 的限制 yA yB 0
P C
光滑连续条件：
yc yc
q
c
q
c
二、挠曲线近似微分方程
1.力学关系： 1 M (x)
(x) EI
2.几何关系：
1Fra Baidu bibliotek
(x)
1
w w2
3
2
w 略去高阶微分
y
y
M
M
M
M
M 0，w 0
q c1
pa2 2EI
2、AB部分引起的位移wC2、 θC2
qB2
PaL 3EI
θB2
P
wfCc22 q B2 a
A
B 刚化
C wC2
PaPLaLa a 3E3IEI
EI=
qC qC1 qC2
θB2
P
Pa
pa (3a 2L) 6EI
wC wC1 wC2
Pa2 a L
3EI
例 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和
2EIl b
3
§6.2 叠加法求梁的位移
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷 所引起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各个载荷单独作 用下的变形，然后叠加。
例：用叠加法求 wfCC、q A、qB
变形后：AB AB` BC B`C`
变形后AB部 分为曲线， 但BC部分仍 为直线。
C点的位移为：wc
wc wB wc
wB
qB
L 2
例：求外伸梁C点的位移。
A
B
P 将梁各部分分别 C 引起的位移叠加
L
a
解： 1、BC部分引起的位移wc1、θc1
P
A
B
C
刚化 EI=
P
C
θc1
wC1
wc1
pa3 3EI
列挠曲线方程并积分两次：
EIw" M (x) F (l x)
EIw'
Flx
Fx2 2
C1
FLx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2
由边界条件决定积分常数：
w'|x0 0 ，得：C1 0； w |x0 0 ，得：C2 0
转角和挠曲线方程分别为：
q w' Fx (2l x)