常微分方程恰当方程课件

du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
是恰当方程. 此时(1)的通解为 u(x, y) c.
如 d(xy) xdy ydx 0
d (x3 y xy2 ) (3x2 y y2 )dx (x3 2xy)dy 0
所以 M (x, y) 12xy N (x, y) ,
u(x, y) M (x, y)dx ( y).
u(x, y) M (x, y)dx ( y). u N(x, y), (6)
这里( y)是y的任意可微函数 , y
下面选择( y), 使u同时满足(6),即
u y
y
M
(x,
y)dx
d( y)
dy
N
因此
d( y)
dy
N
y
M
(x,
y)dx
y
x
“充分性” 若 M (x, y) N (x, y) ，
y
x
则需构造函数 u(x, y), 满足
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy, (4)
即应满足 u M (x, y), (5) x
u N (x, y), (6) y
从(5)出发, 把y看作参数 , 解这个方程得
20 求u(x, y) M (x, y)dx ( y)，
30 由 u N (x, y)求( y).
y
例1 验证方程 (ex y)dx (x 2sin y)dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
(ex y)dx (x 2sin y)dy 0
解: 这里M (x, y) ex y, N (x, y) x 2sin y.
dy
N
y
M
(x,
y)dx
(7)
u(
x,
y)
M
(x,
y)dx
[N
y
M
(x,
y)dx]dy,
(8)
即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程 。
注:若(1)为恰当方程,则其通解为
M
(x,
y)dx
[N
y
M
(x,
y)dx]dy
c,
c为任常数
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
10 判断M (x, y)dx N(x, y)dy 0是否为恰当方程, 若是进入下一步.
(7)
下面证明(7)的右端与 x无关, 即对x的偏导数常等于零
事实上
x
[N
y
M
(x, y)dx] N
x x
[
y
M
(
x,
y)dx]
N x
[ y x
M (x,
y)dx]
N x
M y
0.
于是, (7)右端的确只含有 y,积分之得
( y)
故
[N y
M (x, y)dx]dy,
d( y)
ydx xdy x2 y2
d (arctan
x ), y
ydx xdy x2 y2
பைடு நூலகம்
1 d (ln 2
x x
y y
).
例2 求方程 (3x2 6xy2 )dx (6x2 y 4 y3)dy 0 的通解.
解: 这里M (x, y) 3x2 6xy2, N (x, y) 6x2 y 4 y3,
所以 M (x, y) 1 N (x, y) ,
y
x
故所给方程是恰当方程.
由于所求函数 u(x, y)满足
u ex y, u x 2sin y,
x
y
由偏导数的定义 ,只要将y看作常数 , 将ex y对x积分得
u(x, y) (ex y)dx ( y) ex yx ( y).
一、恰当方程的定义及条件
设u u(x, y)是一个连续可微的函数 ,则它的全微分为
du u dx u dy x y
如果我们恰好碰见了方程
u(x, y) dx u(x, y) dy 0
x
y
就可以马上写出它的隐式解
u(x, y) c.
1 恰当方程的定义
定义1 若有函数u(x, y), 使得
2 方程为恰当方程的充要条件
定理1 设函数M (x, y)和N(x, y)在一个矩形区
域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
为恰当方程的充要条件是
M (x, y) N (x, y) , (2).
y
x
证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y), 使得
常微分方程恰当方程
本节课我们讨论另外一类可用初等解法求解的方程类型， 为此将一阶微分方程的 正规形式（显式方程形式） dy f (x, y)
dx
改写成 dy f (x, y)dx 0
或更加一般的微分形式: M (x, y)dx N(x, y)dy 0
这种形式的优点是既可以把y看成未知函数，x看成自变 量；也可以把x看成未知函数，y看成自变量；即变量x、 y在方程中的地位是平等对称的，因此微分形式的方程也 被称为对称形式微分方程。 注：在实际解题过程中，x、y经常被看成一个二元函数 的两个自变量，其地位平等。
d( f (x)dx g( y)d y) f (x)dx g( y)dy 0
是恰当方程.
需考虑的问题 M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
(1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
u(x, y) ex yx ( y).
对u(x, y)关于y求偏导数,得( y)应满足的方程为 x d( y) x 2sin y
dy
即 d( y) 2sin y
dy
积分后得: ( y) 2cos y,
故 u(x, y) ex yx 2 cos y.
从而方程的通解为
ex yx 2 cos y c.
2 分组凑微法
采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分.
---应熟记一些简单二元函数的全微分.
如
ydx xdy d (xy),
ydx xdy y2
d(
x y
),
ydx xdy x2
d ( y ), x
ydx xdy d (ln | x |),
xy
y
du(x, y) u dx u dy M (x, y)dx N(x, y)dy
x y
故有 u M (x, y), u N (x, y)
x
y
从而 M 2u , N 2u . y yx x xy
由于 2u 和 2u 都是连续的 ,从而有 2u 2u ,
yx xy
yx xy
故
M (x, y) N (x, y) .