常微分方程(课件)

6.2 一阶线性微分方程
6.2.1 一阶线性微分方程
1．定义： 形如源自文库
dy P x y Q x (1)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连
续函数, Q(x)称为自由项．
特点： 方程中的未知函数y及导数 dy
2．分类
dx
若 Q(x)= 0, 即 dy P x y 0
dx y 1 x2
x 1
解
分离变量,得
1
y y2
dy
1
x x2
dx
两端积分,得 1 ln 1 y2 1 ln 1 x2 1 ln C
2
2
2
即原方程的通解为 1 x2 1 y2 C
由 y 1得, C 4, x 1
因此,满足初始条件的特解为 1 x2 1 y2 4.
第六章 微分方程及其应用 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数线性微分方程 6.4 常微分在经济中应用
6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法
6.1.1 微分方程的基本概念
1. 微分方程
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常
例1 函数y Cx2 1 是方程xy 2 y 1 0的解吗?若是解,是通解 2
还是特解 ?
解 将y x2 1 及y 2Cx代入所给方程左端得 2
2Cx2
2
Cx2
1 2
1
2Cx2
2Cx2
11
0
y Cx2 1 是所给方程的解. 2
又 y Cx2 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，
3. 微分方程的解、通解 （1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 显然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解.
y C1x C2ex是微分方程1 x y xy y 0 的解
又 y C1x C2ex 中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的， y C1x C2ex是所给方程的通解.
将y x0 1代入通解中得C2 1;
将 y x0
1代入y C1 C2ex中得,
1 C1 C2 ,
微分方程，简称微分方程。
2. 微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.
如 (1) (2)
dy x2 y2 dx y5 cos y 4x 0
一阶 五阶
(3) y 4y 13y 0
二阶
(4) xy2 2yy x 0 一阶
一般地，n 阶微分方程的一般形式为：F x, y，y， ，yn 0
M2 x
N1 y 0, M2 x 0
例3 求微分方程 dy x 的通解. dx y
解 分离变量，得 ydy = -xdx ,
两边积分得
1 2
y2
1 2
x2
C1
即 x2 y2 C C 2C1 为所给方程的通解.
例4 求方程 dy x 1 y2 满足初始条件 y 1的特解.
dx
都是一次的．
(2)
称为一阶线性齐次微分方程．
若Q(x)≠0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程．
如 y xy x 是非齐次方程， dy x2 y 0 是齐次方程， dx x 1
则C1 2,
于是所求特解为 y 2x ex.
6.1.2 分离变量法
1．定义 形如 dy f x g y (1)
dx 的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数
2．解法
设 dy f xgy
dx
分离变量得
1
g y dy
两边积分得,
dv mg
kv
dt m
1 ln k
mg kv
t m
C1
整理得,
v
mg
kt
Ce m
k
C
1 k
ekC1
由初始条件得, 0 mg Ce0,即 C mg
k
k
故所求特解为
v
mg k
1
k
em
t
由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动.
说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了 利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形 式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2.
例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞
离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函
数关系.
4．微分方程的初始条件和特解 （1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件；
一般地
一阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0 二阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0
y x x0 y1
( x0，y0，y1为给定值)
（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微
分方程的特解。
如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.
解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k
（负号表示阻力与运动方向相反（k为常数）
伞在下降过程中还受重力P = mg作用，
由牛顿第二定律得
m dv mg kv dt
且v t0 0
于是所给问题归结为求解初值问题
m
dv dt
mg
kv
v t0 0
分离变量得, dv dt mg kv m
2
y Cx2 1 是所给方程的通解.
2
例2 验证y C1x C2ex是微分方程 1 x y xy y 0的通解,
并求出满足初始条件 y 1及 y 1的特解.
x0
x0
解 将y C1x C2ex , y C1 C2ex及y C2ex代入所给方程左端得 :
1 xC2ex x C1 C2ex C1x C2ex 0
f
xdx
g y 0
当g(y)≠0时，两端积分得通解
g
1
y
dy
f
x
dx
注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =α，则y =α也是原方程的解；
(2)方程M1 x N1 y dx M2 x N2 y dy 0也是变量可分离的方程.
事实上
N2 y dy M1 x dx
N1 y