随机模拟与实验

随机模拟与实验
• 随机模拟的基本方法又称为蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。 是Velleman与Von Neumann等人在20世纪40年代为研制核武 器提出来的，已大量地运用于计算机仿真试验。 • 随机模拟的典型步骤： 1、根据问题构建模拟系统 2、仿真系统中各种分布的随机变量 3、运行模拟系统，进行统计测量 4、分析数据，输出结果 • 主要工具 基本工具：C、C++等编程模拟、matlab 网络模拟：OPNET Modeler、NS2：大型网络仿真 CASSAP：数字信号处理；SPW：电子系统
F ( x)
f U (u )du
F ( x)

1du F ( x)
其中，f U (u )是U (0,1)的密度函数。
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一般随机数的产生方法（续）
• 例如：利用变换法产生指数分布随机数的方法。 参数为的指数分布的分布函数 为
F ( x) 1 e x，其反函数为 1 X F 1 (U ) ln(1 U )
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MyRand.cpp的函数
• double CMyRand::ExpRandom(double lambda, double min, double max)
– 函数功能：产生参数为lambda的指数分布的随 机数 – 参数： lambda为指数分布的参数， min和max 为均匀分布随机变量的取值范围。所有参数在 randomDlg.cpp的OnExp ()和OnExpStat ()函 数中设置。 – 实现思路：利用逆变换法
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3
1 4 5
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实验平台介绍
• 实验平台包含的源文件
– – – – StdAfx.cpp：VC工程自带文件，不能修改 random.cpp和random.h：工程主文件，不能修改 Scope.cpp和Scope.h ：画图程序，不能修改 randomDlg.cpp和randomDlg.h：主界面程序，包括对 各个按钮的动作的响应，还包括对各种随机变量的输 入参数的设定 – MyRand.cpp和MyRand.h：各种分布的随机变量的产 生程序，实验过程中主要完成MyRand.cpp中的函数即 可
1.E(X(n)) 2.RX(m).打印m=-N,…-1,0,1,…N;其中N=64时的自相关序列值，并绘出 RX(m)的曲线. 3.相关系数序列RX(m)=KX(m)/ KX(0),并打印m=-N,…-1,0,1,…N;其中 N=64时的自相关系数序列值，并绘出RX(m)的曲线.
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平稳随机过程的数字特征
pi
因此，采用递推法构成泊松分布： 1）产生[0,1]均匀分布随机数u； i 0, p e , F p ; 2） 3）若u<F，令X=i，停止； 4） p p /( 1), F F p, i i 1; 5）转向3）。
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正态分布随机变量的产生方法
标准正态随机变量的分布函数 故采用如下方法： 存在显式，因此也不能用逆变法产生。
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实验平台介绍
波形显示 区域
将显示的 结果保存 为*.bmp文 件
产生各种 分布的随 机数 统计并显 示各种分 布的概率 密度或分 布律
显示均值
实验自相 关序列并 显示Rx
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实验执行步骤
1. 选择执行的实验 内容 2. 在出现正确结果 后，选择“保存” 3. 选择结果保存的 目录 4. 输入保存结果的 文件名，必须为 *.bmp文件 5. 选择“保存”
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MyRand.cpp的函数
• double CMyRand::Ex(void)
– 函数功能：计算任意分布的随机过程的均值。 本函数在randomDlg.cpp的OnSelf()函数中调用。
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MyRand.cpp的函数
• double* CMyRand::Rx(double lambda, int points)

• 因此，X的模拟方法为 1）产生均匀分布随机数{ui}； 2）计算指数分布随机数：xi=-ln ui /λ
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泊松分布随机变量的产生方法
i! 从泊松分布的分布律可知，采用前述方法很不适用。由于 pi P{ X i}
i e
pi 1
i 1e
(i 1)!


i 1
•
•
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伪随机数的算法（续）
• 线性同余法
– 1）设置y0，即设置种子 – 2）yn=kyn-1(mod N)，un=yn/N
• 三组常见的参数
– N=1010，k=7，周期≈5×107 – （IBM随机数发生器）N=231，k=216+3，周期 ≈5×108 – （ran0） N=231-1，k=75，周期≈2×109
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一般随机数的产生方法
• 大部分计算机语言都提供了产生0－1间隔均匀分布随机数的标 准函数或方法： C语言中的rand函数，VB中的randum函数， java语言中的 Randnum类。 • 由均匀分布的随机数可构造出任一分布F(x)的随机数，最基本 的方法是逆变换法：
给定分布F ( x（假定它是严格单调的 ) ），由它的反函数 1 () F 对均匀随机变量 进行变换，可得： U X F 1 (U ) 则X的分布函数正好是 ( x)。因为 F FX ( x) P[ X x] P[ F 1 (U ) x] P[u F ( x)]
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布丰（Buffon）投针试验
• 例子：布丰（Buffon）投针试验 将一根长为l的细针随机地投掷于标 有无数平行线的平面上，假定平行线间距为2l，则针与平行线相交 的概率为1/π。
解：设落在平面上的细 针的中心点为 ，角度为，o与上边平行 o 线的距离为D，则与D分别服从均匀分布 (0, )与U (0,2l )，且 U 彼此独立。定义事件 为{针与平行线相交，由下图可知， A } B (l / 2) sin ，则A {o进入阴影区 }
l
O
Θ
B B D
2l
B
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随机数及其产生
• 定义：如果一个实数列{ui}与均匀分布的独立随机变量序列{Ui}的样本 序列具有相同的统计特性，则称之为随机的，该数列中的各个数称为 均匀分布随机数，简称随机数（Random Number）。 • 随机数的产生有三种方法： 1）将已有的随机数存表，需要时直接使用： 美国兰德公司在1950年曾将100万个在（0，1）区间内的实数存 入计算机外存储器，以便在仿真过程中进行随机调用。 2）将计算机连接到物理设备（如噪声源）上获得随机数流。（随机 性和均匀性最好，但产生过程太复杂，未能得到推广。） 3）通过数学算法产生随机数（伪随机数）。这种方法容易与计算机 结合，因而得到广泛的应用。
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MyRand.cpp的函数
• unsigned int CMyRand::MyRand(unsigned int seed)
– 函数功能：采用线性同余法，根据输入的种子数产生 一个伪随机数，如果种子不变，则可以重复调用该函 数产生一个伪随机序列 – 参数： seed作为调用函数的输入种子，同一个伪随机 数序列可采用同一个seed – 实现思路：利用CMyRand类中定义的全局变量：S, K, N, Y。其中K和N为算法参数，S用于保存种子数，Y为 产生的随机数 – 注意事项：Y的初值的计算
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MyRand.cpp的函数
• unsigned int CMyRand::PoisonRandom (double lambda, double min, double max)
– 函数功能：产生参数为lambda的产生泊松分布 的随机数 – 参数： lambda为泊松分布的参数， min和max 为均匀分布随机变量的取值范围。所有参数在 randomDlg.cpp的OnPoison ()和OnPoisonStat ()函数中设置。 – 实现思路：利用递归法
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MyRand.cpp的函数
• double CMyRand::AverageRandom (double min,double max)
– 函数功能：产生一个在min~max范围内精度为 4位小数的平均分布的随机数 – 参数：min和max代表该均匀随机变量的取值范 围，精确到小数点后4位。该参数在 randomDlg.cpp中OnAverage ()和 OnAverageStat()函数中已经设置
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伪随机数的算法
• 伪随机数是按照一定的计算公式产生的一列数，主要借助于如下的 递推公式： un=f(un-1,un-2,…,un-k) 该公式（或算法）也称为随机数发生器（RNG）。 常用的伪随机数的算法有： 1）平方取中法（Von Neumann 40年代发明） 2）乘法取中法 3）线性同余法：简单、实用 伪随机数发生器的特点： 1）产生的随机数序列具有循环周期性。可以证明，任何产生伪随 机数的算法总会进入循环，这样为了保证随机数序列不产生重复的 数据，就要求循环的周期足够长。 2）算法过程具有再现性：在初始化时，如果赋予相同的种子值， 将产生完全相同的随机数序列。
(m) 2 k m P{ X (n) X (n m) I } e k 0 (2k )!
2
(m) 2 k 1 m P{ X (n) X (n m) I } e (2k 1)! k 0
2
R(m) E[ X (n) X (n m)] I 2 e 2m
1 ( x) 2
Hale Waihona Puke Baidu
x

et / 2 dt 的反函数不
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设Ui～U(0，1)，i=1,2,…,n，且相互独立，由中心极限定理可
知，当n较大时
Z
n
i 1
U i nE (U i )
n D(U i )
~ N (0, 1)
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平稳随机过程的数字特征
• 实验内容和步骤
– 设随机电报信号X(n)(-∞<n<+∞)是只取+I和-I变化的电流信号，对 于固定的n,，P{X(n)=+I}=P{X(n)=-I}=0.5,而正负号的变化是随机 的，在[n,n+m]时间内正负号变化的次数记为M(n,n+m).设M(n,n+m) 服从参数为λ,m的泊松分布，用VC编程求解：
• 实验原理
– 平稳随机过程数字特征求解的相关原理
RX(m)=I2e-2λ|m|; KX(m)= RX(m)-m2X (1)E(X(n))= I*P{X(n)=+I}+(-I)*P{X(n)=-I}=0 (2) R(m) E[ X (n) X (n m)] I 2 P{X (n) X (n m) I 2 } I 2 P{X (n) X (n m) 12 } 当 m 0 时，
– 函数功能：计算泊松过程的自相关序列 – 参数： lambda为泊松过程的参数， points为输 入随机数序列的个数。所有参数在 randomDlg.cpp的OnSelfStat () 函数中设置。 – 返回：函数返回一个动态分配的数组头指针， 产生的Rx序列保存于该数组中 – 注意：不要在本函数中释放该数组的内存
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伪随机数
• 伪随机数的产生：用户只需给定一个初始的 随机数（种 子值），调用该算法，即可按某个固定的公式计算出下一 个“随机”数。随后，以新产生出来的“随机”数作为种 子，再计算出新的“随机”数。重复调用该算法即可产生 出一系列的“随机”数，以满足系统仿真的需要。 • 伪随机数本质上不是随机的。但只要计算公式选择得当， 通过比较严格地统计检验，仍然可以产生出一系列近似于 U(0,1)分布并且相对独立的随机数流，这种随机数流对于 大多数仿真模型，是能满足需要的。因此，仍然是目前广 泛应用的工程方法。
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MyRand.cpp的函数
• double CMyRand::NormalRandom(double miu, double sigma, double min, double max)
– 函数功能：产生均值为miu，方差为sigma的正态分布 的随机数 – 参数： miu为均值， sigma为方差， min和max 为均匀 分布随机变量的取值范围。 所有参数在 randomDlg.cpp的OnNormal()和OnNormalStat()函数 中设置。 – 实现思路：利用中心极限定理，通过多个独立的均匀 随机变量之和构成正态随机变量