最短路径问题的应用

图G，使得对于D的每条弧，G有一条有相同端点的边与
之对应。这个图称为D的底图。反之，对给定任意图G的
每条边，给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由
此得到一个有向图，称为G的一个定向图(见图4)。
图的有关概念和术语也可以相应地引入到有向图，
而涉及到方向的概念仅适用于有向图。
有向图D的有向链是指一个点弧交错序列：
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Uk+ wkj Uj, k Tj 。 然后返回步骤（2）。
例1 求下列图5中，自点v1到其他各点的最短有向路。
v2
3
v3
5
4
4
v1
2 7
5
6
v6
3
6
v4
v5
5
图5
解 用狄克斯特拉算法，其最短路如图6所示。
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5
8
v2
3
v3
5 0
v1
6
6
v6
3
v4
v5
5
3
8
图6
计算的迭代过程可列表如下，其中Uj所在列对应的方
给定一个有向网络N＝（V，A，W），其中W为A
中每一弧对应的权组成的集合。设P为G中的一条有向路
，令
W(P) = w(a) aP
称W（P）为有向路P的权（或长度）。
寻求有向网络中自某一指定点v到另一指定点v间的
最短有向路是组合最优化问题中重要的基本课题。
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大量组合优化问题可以化为求最短有向路的问题，或者用
，其中V（D）是顶点集。A（D）是连接V（D）中顶点的
有向弧集。若a A(D)是一条弧，a=(u,v),u,v是顶点，则称a
从u连接到v；称v是a的头，u是a的尾。弧(u,v)也可用有向
线段u v表示。如果V('D) V(D)，A('D) A(D),则称有向
图D是D的有向子图。
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对应于每一个有向图D，可以在相同顶点集上作一个
最短有向路的算法作为其子程序。例如，通讯网络中求关
键路线问题以及背包问题，都可以化为最短有向路问题。
另外，某些加工顺序问题、中国邮递员问题、斯坦纳
(Steiner)树问题均用有向最短路算法作为其子程序。
为了讨论方便起见,若i j,约定权w>0。显然，对于弧 的权为正值的有向网络N=(V,A,W)，任意一条最短有向路
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11
14
14 1
5
10 8
86 86
1
4 2
41 41
8
86
8
8
2
41
2
4
8
8
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百度文库
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狄克斯特拉算法给出从一个指定点到其余各点的最 短有向路的计算量方法。显然只要反复使用该法，就能 求出所有点对之间的最短有向路，即第一次求点v1到v2 ，v3 ， … ，vn的最短有向路，第二次求点v2到v1，v3 ， … ，vn的最短有向路，……，第n次求点vn到点v1， … ，vn-1的最短有向路。这样做计算较大，已经有更好的算 法，限于篇幅，这里不再介绍。有兴趣的读者可参阅： E·米涅卡（李家滢、赵关旗合译）的《网络和图的最优 化算法》。
框中的数字是从v1点到vj点的最短路的长度；Tj所在列对应
的方框中的数字是从v1点到vj点的最短路中vj前一点的下标
。
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U1 U2 U3 U4 U5 U6 T1 T2 T3 T4 T5 T6
05 ∞3 ∞6 1 1 1 1 1 1
0
5 5
5
∞3 ∞6
∞
∞6
10 3 8 6
11 1 1 1 1
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最短路模型在许多方面都有应用，首先考虑如下的设备
更新问题。
例2 某单位使用一种设备，每年年初需对该设备是否更新
的长度都大于它的真子有向路的长度。
狄克斯特拉(Dijkstra)算法
这一算法可求得有向网络N=(V,A,W)中从一给定点
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v1出发到N中任一点的最短有向路及其长度。 设V={ v1, v2, …，vn}。算法的基本思路是：假定P:
v1 v2 … vi …vj… vk是从v1到vk的最短路，则它的 子路v1… vi一定从点vi出发到点vj的最短路。否则从v1 出发沿路P走到vi，然后沿vi到vj的最短路走到vj，再沿路 P从vj到vk，这样得到一条新的从v1出发到vk的路，其长 度小于从v1和vk的最短路P，与最短路的假定矛盾。基于 这一事实，我们先给网络N的每个顶点一个标号——临
（2）在Q中找k，使得Uk = mjiQn{Uj}。置
P {k} P,Q\{k} Q。
若Q Ø，进入下一步（3）；若Q Ø时，算法终止，此
时Uj (1 j n)即为点v1到vj的距离，Tj表示最短路(v1,vj)中
与vj邻接的点vTj。
5/29/20（20 3）对Q中每一个j，如果Uk+wkj<Uj,则
图的连通情况一样，若规定双向连通的点属于同一类，则
双向连通确定了V（D）的一个分类（V1, V2,…,Vk），相应 的有向分图D[V1]，D[V2],…,D[Vk]称为D的双向连通分图（ 双向分图）。如果D恰仅有一个双向分图，则称D是双向连
通的。
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D中顶点v的入次d D（v）是指以v为头的弧的数目； v的出次d D（v）是指以v为尾的弧的数目。用 (D) 、 ∆(D)、 (D)、∆ (D)分别表示D中所有顶点中的最小和 最大的入次和出次。
§2 最短路径问题的应用
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在讨论交通流量问题时，有些道路是单行道，此时必
须知道什么方向上通行是允许的。这时图与网络的概念不
能确切反映这种边的属性，为此，我们要对网络中的边指
定一个方向。这种指定边的方向的图或网络称为有向图或
有向网络。一个有向图D是指一个有序二元组(V(D)，A(D))
时标号(T标号)，然后在迭代过程中逐次修改变为永久标
号(P标号)。每一步迭代可以把某个点的T标号改变为P
标号。如果N中所有点得到永久标号，则算法终止，显
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然算法至多经过n-1次迭代即可停止。算法过程可详述如
下：
（1）给所有的点以临时标号1，然后以v1为出发点，即
：置U1=0,Uj=w1j (2 jn),Tj=1(1 j n),P={1},Q={2、3、… 、n}
w=v0a1v1a2 …akak
其中弧ai有头vi和尾vi-1，且a(1 i k) 互不相同。有向闭链
、有向路、有向圈可以类似定义。
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(a) 有向图 D
(b) D 的底图
图4
若D中存在有向路，则称点u出发可达点v。如果两个顶
点u和v互相可到达，则称u和v是双向连通（强连通）。和