大物(2)期末复习

练习一 静电场中的导体

三、计算题

1. 已知某静电场在 xy 平面内的电势函数为 U=Cx/(x 2

+y 2)3/2

,其中 C 为常

数 .求(1)x 轴上任意一点 ,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向 .

解： .

E x =

U/ x

= C[1/(x 2

+y 2)3/2

+x( 3/2)2x/(x 2

+y 2)5/2

]

= (2x 2 y 2)C /(x 2+y 2)

5/2

E y =

U/ y

= Cx( 3/2)2y/(x 2

+y 2)5/2

=3Cxy/(x 2

+y 2)5/2

x 轴上点 (y=0) E x =2Cx 2

/x 5

=2C/x 3

E y =0

E=2Ci/x 3

y 轴上点 (x=0) E x = Cy 2

/y 5

= C/y 3

E y =0

E= Ci/y 3

2．如图 ,一导体球壳 A(内外半径分别为 R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球 B(半径为 R 1)上 ,今 给 A 球带负电 Q, 求 B 球所带电荷 Q B 及的 A 球的电势 U A .

静电场中的导体答案

解： 2. B 球接地 ,有 U B =U =0, U A =U BA

U A =( Q+Q B )/(4 0R 3)

U BA =[Q B /(4

0)](1/ R 2 1/R 1)

得

Q

B =QR 1R 2/( R 1R 2+ R 2R 3 R 1R 3)

0R 3)][ 1+R 1R 2/(R 1R 2+R 2R 3 R 1R 3)]

练习二 静电场中的电介质

三、计算题

1. 如图所示 ,面积均为 S=的两金属平板 A,B 平行对称放置 ,间距为 d=1mm,今给 A, B 两板分别带电 Q 1=×10－

9C, Q 2=×10－

9

C.忽略边缘效 应,

求： (1) 两板共四个表面的面电荷密度 1, 2, 3, 4;

(2) 两板间的电势差 V=U A － U B .

解： 1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B,它们的电场强度是四

个表面的电荷产生的 ,应为零 ,有

E A = 1/(2 0)

2/(2 0)

3/(2 0)

4/(2 0)=0

U A =[ Q/ (4 = Q(R 2 R 1)/[4 0(R 1R 2+R 2R 3 R 1R 3)]

A Q 1

12

图

B Q 2

34

图

E A= 1/(2 0)+ 2/(2 0)+ 3/(2 0) 4/(2 0)=0而S(

1+ 2)=Q1 S( 3+ 4)=Q2

有

1234

=0

1+2+ 3 4=0

1+2=Q1/S

3+4=Q2/S

解得1= 4=(Q1+Q2)/(2S)=10 8C/m2

2= 3=(Q1 Q2)/(2 S)= 10 8C/m2

两板间的场强E= 2/ 0=(Q1 Q2)/(2 0S)

B

V=U A－U B E dl

A

=Ed=(Q1 Q2)d/(2 0S)=1000V

四、证明题

1. 如图所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡

后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证

明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负

感应电荷的电场线不能存在.

解： 1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应

电荷的电场线.沿电场线ACB 作环路ACBA,导体内直线BA

的场强为零,ACB 的电场与环路同向于是有

A

E dl E dl E 2 dl = E dl 0

l ACB B ACB

与静电场的环路定理E dl 0 相违背,故在

l 同一导体上不存在从正感应电荷出发，

终止于负感应电荷的电场线.

练习三电容静电场的能量

三、计算题

1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为r 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图所示.求:(1) 离球心距离为r1(r1R2)处的 D 和E；(2)离球心r1,

r2, r3,处的U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.

解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与

金属球同心的球形高斯面,有

D dS q0i

S

4 r2D= q0i 导体

图

B

A

当 r=15cm(R 1

C

得 D 2=Q/(4 r 2)=×10 8C/m 2

E 2=Q/(4 0 r r 2)= × 13

N0 /C

当 r=25cm(r>R 1+d ) q 0i =Q=× 10 8C

得 D 3=Q/(4 r 2)=×10 8C/m 2

E 3=Q/(4 0r 2)= × 14

0N/C

D 和

E 的方向沿径向 . (2) 当 r=5cm

r

R R d E 1

dr

E 2dr E 3dr

r

1

R 2

R d 3

=Q/(4 0 r R) Q/[4 0 r (R+d)]+Q/ [4

0(R+d)]

=540V

当 r=15cm

Rd

U 2= E dl E 2dr E 3dr

r r 2 R d 3

=Q/(4 0 r r) Q/[4 0 r (R+d)]+Q/ [4

0(R+d)]

=480V

当 r=25cm

U 3=

r

E dl

E 3dr =Q/(4 r

0r)=360V

(3)在介质的内外表面存在极化电

P e =

0 E=

0( r 1)E

= P e ·n

r=R 处 , 介质表面法线指向球心

=P e ·n =P e cos =

0( r 1)E

q=

S= 0( r 1) [Q/(4

0 r R

2

)]4 R 2

= ( r 1)Q/ r = ×108

C

r=R+d 处 , 介质表面法线向外

=P e ·n =P e cos0= 0( r 1)E

q = S= 0( r 1)[ Q/(4

0 r (R+d)

2

]4 (R+d)2

=( r 1)Q/ r =× 108

C

2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为 10cm ，分别充电至 200V 和 400V ，然后 用

一根细导线连接两球，使之达到等电势 . 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功 . 解 ;2.球形电容器

C=4

0R

Q 1=C 1V 1=4 0RV 1

Q 2=C 2V 2= 4

0RV 2

W 0=C 1V 12

/2+C 2V 22

/2=2 0R (V 1

2

+V 22

)

两导体相连后 C=C 1+C 2=8 0R

Q=Q 1+Q 2= C 1V 1+C 2V 2=4 0R(V 1+V 2)

W=Q 2

/(2 C)= [4

0R(V 1+V 2)]2

/(16 0R)=

0R(V 1+V 2)

2

静电力作功 A=W 0 W