损伤和断裂力学医学知识

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3
1
平面应力 平面应变
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II型和III型裂纹
对于II型和III型裂纹，裂端区 的应力场和位移场的形式也是恒定 的，而且其表达式与I型裂纹相似。 II型和III型裂纹的应力强度因子分 别用KII和KIII表示。由于II型裂纹也 是平面问题，可采用上面的坐标系 来描述，而且只有应力分量σx、σy 和τxy 存在。III型裂纹问题是反平 面剪切问题，位移分量仅有z方向 的w，应力分量仅有τxz 和τyz 。
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裂纹基本型
第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti—plane shear mode），简称III型。裂纹面上下表面的位移方 向也是刚好相反，但一个向正z方向，另一个向负z方 向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。
除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixed mode crack），它是两种以上基本型的组合。
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3-1 裂纹的基本型
一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示
张开型
滑移型
撕裂型
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裂纹基本型
第一种称为张开型（opening mode）或拉伸型（tension mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹 面法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平 面的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正 前方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问 题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板 厚，则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂， 这也是最危险的裂纹类型。
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3-2 裂端的应力场和位移场
下面考虑二维的I型裂纹 问题。图给出一个以裂纹端点为 原点的坐标系，此坐标系x方向 是裂纹正前方，y方向是裂纹面 的法线方向，z方向则是离开纸 面的方向。考虑一个离裂端很近， 位置在极坐标(r，θ）的单元， 其应力状态可以用σx、σy和τxy三 个应力分量来表示。
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3-3 应力奇异性和应力强度因子
三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应 力场有一个共同的特点，即r→0时，即在裂纹端点， 应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性 （stress singularity）。
为何会出现应力奇异性呢？这是因为裂纹端点是几何 上的不连续点的缘故。
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应力奇异性
图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷
远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集
中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。
对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为：
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裂纹基本型
第二种裂纹型称为同平面剪切型（in—plane shear mode）或者滑移型（sliding mode），简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方 向，另一个向负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的 情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问 题。
＋高次项
在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，
因而可以忽略 。
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I型裂纹的应变场
从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的 大小来决定，因此就称KI为I型裂纹的应力强度因子。裂端区的应 变场可以由弹性力学公式求得为：
ij
KI
2r
fij()i,,jx,y
我们的兴趣不在于得到精确的应变场形式，而在于知道应变分量 也只由应力强度因子来确定。
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I型裂纹的位移场
通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的
位移场为：
2uKI2r1/2(1)2sin22cos2
2vKI2r1/2(1)2co2s2sin2
这里u和v分别为x和y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊
in22c
os
2
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III型裂纹的应力场和位移场
xz
K III sin 2r 2
zy
K III cos 2r 2
w2KIII2r1/2s
in
2
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思考题
如图所示的坐标系， I型和II型裂纹的裂端区 应力场在裂纹表面有何 特点？在裂纹正前方又 分别有何特点？裂端区 位移分量在裂纹表面和 正前方又有何特点？
裂纹前沿的应力应变 场究竟是怎样的？
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I型裂纹的应力场
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
x
KI 2r
cos
2
1
sin
2
sin
3 2
y xy
KI 2r
cos 2
1 sin
2
sin
3 2
K I sin cos cos 3 2r 2 2 2
Kt 1 2
a
a为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。
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应力奇异性
由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的 程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则ρ也将趋 于零，此时应力集中系数Kt将趋于无限大。在没有特 别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲 率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂纹 面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零 时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。
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II型裂纹的应力场和位移场
x
K II
2r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
K II sin cos cos 3 2r 2 2 2
xy
K II
2r
cos
2
1 sin
2
sin
3
2
2uKII2r1/2(1)2c
o2s2s
in 2
2vKII2r1/2(1)2s
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断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端 区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若 裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发 生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析 解是个关键。
近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一工作的， 而这些解析法需要用高深的数学工具，这对于初次接触断 裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只给出一 些主要的概念和结果，并介绍一些工程近似方法。