数学模型试卷A答案

南昌航空大学2007—2008学年第二学期考试卷答案

（20分）某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

5年。若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。

解：设12345,,,,x x x x x 分别表示购买证卷A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为

12345max 0.0430.0270.0250.0220.045z x x x x x =++++

约束条件为；

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即

234400x x x ++≥

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即

12345

12345

225 1.4x x x x x x x x x x ++++≤++++

（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。12345

12345

9154325x x x x x x x x x x ++++≤++++

(4)投资总额为1000万

123451000x x x x x ++++≤

整理得到（以百万为单位）：

12345234123451234512345max 0.0430.0270.0250.0220.0454

6644360410230..0,1,2,3,4,510

i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x i x x x x x =++++++≥⎧⎪+--+≤⎪⎪+---≤⎨⎪≥=⎪++++≤⎪⎩

二、战争模型（共计25分）

下列方程给出了正规战争模型：00

()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y

⎧

=-⎪

⎪=-⎨

⎪==⎪⎩

，其中(),()x t y t 分别为甲、乙双方在时刻

t 的兵力，a,b 分别为乙方和甲方的战斗有效系数。假设00/8,2a b x y ==，问：乙取胜时的剩余兵力是多少？乙方取胜的时间如何确定？ 解：由模型：

00

()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y

⎧

=-⎪⎪=-⎨

⎪==⎪⎩

(1)

消去t,得到相轨线方程为：

dy bx dx ay

=， 解得：

222

2

00

,ay bx k k ay bx -==-

(1) 乙方取胜的充要条件是：当x=0时，0y >等价于2

000y b

k x a ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭

，因为

2

0011

,84

y b a x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故乙方胜，当乙方取胜时()0,x t =

从而0y y ==。 (2) 为了求得乙方取胜的时间，解方程组(1),重写为：

()0()()0()()()x t a x t x t A b y t y t y t ⎛⎫

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，00a A b -⎛⎫= ⎪-⎝

⎭

求解得到A

的特征值为12λλ==，

1λ=

对应的特征向量为1T

u ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

1λ=

1T u ⎫=⎪⎪⎭

， 从而方程组（1）的解为：

12()()11x t c c e y t ⎛⎛⎫ =+ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭

⎝⎭

（2）

从而()x t c c =-+

，12()y t c c e =-+，由初始条件

00(0),(0)x x y y ==

得到10020011,22c y c y ⎛⎫⎛⎫=

-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

000011()()()22x t x x e =

-++ (3)

当()0x t =时，解得

e =

将002,8x y a b ==

代入上式得到3e =

=+

t =

三、（传染病模型）（25分）

模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数λ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记()i t 表示时刻t 的病人人数，求()i t 所满足的微分方程，求出()i t 并对进行讨论（0(0)i i =）。

模型二：用()()i t s t 、分别表示在t 时刻传染病人数和健康人数，0(0)i i =。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为λ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，()()i t s i N +=；求t 时刻传染病人数()i t ，并对模型及()i t 进行讨论。 解：模型一：

由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()i t t i t i t t λ+∆-=∆，于是得到微分方程为

()

()(0)di t i t dt

i i λ⎧=⎪

⎨⎪=⎩ 解得0()t

i t i e λ=。

讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i →+∞，()i t →+∞，这显然不符合实际情况。 模型二：

由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()()i t t i t i t s t t λ+∆-=⨯∆，于是得到微分方程：

0()

()()(0)()()di t i t s t dt i i

s t i t N

λ⎧=⎪⎪

⎨=⎪

⎪+=⎩ 模型求解： 原方程变为

0()

()[()](0)di t i t N i t dt

i i λ⎧=-⎪

⎨⎪=⎩

，利用分离变量法得到，()()[()]di t dt i t N i t λ=-或()()[()]di t dt i t N i t λ=-⎰⎰，1111

()()()()

di t t c N i i N i t λ+=+-⎰， 或

11

{ln ()ln[()]}i t N i t t c N

λ--=+ 化简得到()1Nt Nt

CNe i t Ce

λλ=+，其中1c N

c e =，由初始条件0(0)i i =得