岩土力学课件--第三章土体中的应力计算

将（3-23）沿宽度B积分，可得整个条形荷载M点引起的附加应力
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z
K
s z
p
x
K
s x
p
同理
xz
K
s xz
p
23
三、条形面积上其它分布荷载
详见表3-6
四、圆形面积竖直均布荷载作用时中心点下的附加应力计算
dp在M点引起的附加应力dz 由（3-6a）为：
d
z
3 pz3 2
dd ( 2 z2 )5/2
一、集中荷载作用下的附加应力计算
（一）、竖直集中力作用——布辛内斯克解
布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点M的6个应力
分量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向
应力2021z/2，/2只研究z
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z
3P
2
z3 R5
k
P z2
（3-8）
K称为集中应力系数
讨论z的分布特征： 1、 沿P作用线方向， z 随深
0 =（ 1 h1+ 2 h2 +…… ）/(h1+ h2 +…… ), 其中地下 水位以下的容重取浮容重，kN/m3 ;
d — 基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土 场地则应从老天然地面起算，d= h1+ h2 +…… , m
说明：当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在 沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉 降，，改取
z
z
x y
图3-5 侧限应力状态2
第二节 土体的自重应力计算
一、地基自重应力
1．假设岩体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力为
sz = z sx = sy = K0 sz
式中：z——岩体单元的深度（m）
地面
H1
地下水位
——上覆土体的容重（kN/m3）
K0——侧压力系数 若为成层土，则有
由于土的泊松比变化不大（一般 =0.3~0.4）,故参数f的大 小主要取决于变形模量的比值E1/ E2 .
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工程应用: 道路路面设计 ，
用坚硬的路面来降低应力
集中, 减小路面因不均匀变
形而破坏
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第六节 应力路径
一、应力路径的概念
应力历史：土在形成的地质年代中所经受的应力变化情况；
剪应力水平（应力水平）：在应力的变化过程中达到的最大剪应 力与抗剪强度的比值。（max/ f） 应力路径：与主应力面成450角斜面在摩尔圆上表示为一点，该 点的移动轨迹称为应力路径。为简便，在绘制应力路径时，常把
x
2 px2z (x2 z2)2
xz
zx
2 pxz2 (x2 z2)2
式中， p ——单位长度上的线荷载(kN/m)
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(二)、条形面积竖直均布荷载
取微段， d p pd ，视为线布荷载， 引起的应力按（3-19）为
d z
[(
x
2z3
)2
z
2
)2
pd
d p 在地基内M点 （3-23）
条基：在长度方向取1米
p F G P BB
P —2为021沿/2/2长度方向1米内的相应荷载值kN/m
9
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（二）、偏心荷载作用 1、单向偏心 基底压力计算公式
pm a x,m in
F G BL
(1
6ex B
)
（c）e>B/6, 应力重新分布 1/2×L ×pmax × 3K=P pmax=2P/( 3KL)
(二)、荷载及土性的影响
目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底压力按 直线分布的材料力学方法。
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二、基底压力的简化计算 （一）、中心荷载作用 矩形
p F G P BL BL
式中 P—作用于基础底面的竖直荷载
G —基础及其上回填土的重量
G=GdBL , G为砼基础及其上回填土 的平均容重 G=20kN/m3 B、L —矩形基底的宽度和长度；
2、L5B
3、纵轴方向无位移
4、2变021/形2/2发生在横截面平面内
21
（一）竖直线布荷载
将 pdy 看成是集中力，则在地基内M点
引起的应力按（பைடு நூலகம்-8）得：
d
z
3P
2
z3 R5
dy
z
3 pz3dy
2 (x2 y 2 z 2 )5/ 2
2 pz3
(x2 z2)2
（3-19）
同理，
z = Ktpt
注：求O/点下的应力时，可用竖向均 布荷载与竖直三角形荷载叠加。
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（三）、矩形面积水平均布荷载
由西罗克课题，得矩形角点下任意
深度z处的附加应力z ：
z Kh ph
式中 Kh为系数, 可查表3-4 三、条形面积上各种分布荷载作用
下的附加应力计算
平面问题假设：
1、宽度B内荷载沿长度L不变
在整个圆面积上积分：
2 r
z 0 0 d z K0 p
五、感应图法求不规则面积上竖直均布荷载作用下的附加应力
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六、影响土中应力分布的因素 （一）、非线性材料的影响 （二）、双层地基的影响
1、可压缩土层覆盖于刚性岩层上 沿荷载中心线下，地基附加应力发 生“应力集中”，与H/B成反比。
基底附加应力p0:
F
p0
p
sz
F G BL
0d
d
1 2
G
0d p
0d
p0
基坑（槽）
显然，若埋深d=0，则基底 附加应力等于基底应力， 即
p0=p
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式中 p— 基底应力，kPa;
sz — 土中自重应力，基底处sz =0d, kPa; 0 — 基础底面标高以上天然土的加权平均容重，
式中，K=B/2-e
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2、双向偏心 若基底最小压力 pmin0, 基底最大、
最小压力计算公式
式中
pm a x,m in
F G BL
Mx Wx
My Wy
Mx,My —竖直偏心荷载P对基 底x , y轴 的力矩(kNm);
Mx =P ex ; My = P ey
Wx,Wy—基底分别对x , y轴的 抵抗矩
1 M/
2
(a)
12 3 M/4
(b) 12
43
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M/
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(c)
（c）M/在荷载面外部 z = z3+ z4-z1- z2
（二）、矩形面积竖直三角形荷载
dP dxdy
x B
Pt
dP Pt x dxdy B
dP在O点下任意M处引起的竖直附加
应力dz
d
z
3 pt
2B
(x2
xz3dxdy y2 z2 )5/2
第三章 土体中的应力计算
第一节 概述
一、应力—应变关系假设
线弹性体
目前在计算地基中的应力时，
常假设土体为连续体、线弹性及均
质各向同性体。
实际上土是各向异性的、弹塑性体 二、地基中的几种应力状态 1、三维（空间）应力状态
p e
图3-1 土的应力—应变关系
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1
1、三维（空间）应力状态
ij
( 1 )]
1
（二）、有超静孔隙水压力的情况
饱和土体在不排水条件下，孔隙水压力的变化, 可用孔压系 数B和A表示。A与土的性质、应力历史、应力水平等有关。
z L2 B2 z2
ksP
式中 Ks——_为矩形竖向均布荷载角点下的应力分布系数 Ks=f(L,B,z), (注意: B为荷载面的短边宽度), 可从表3-2中查得。
2、任一点的应力—角点法
(a）M/在荷载面的边缘 z = z1+ z2
(b) M/在荷载面内部 z = z1+ z2+ z3+ z4
度而减小；
2、r>0 的竖向线上，
z ，z：0 增大 减小 3、z=cost
在P处最大，随r ， z
结论：集中力P在地基中引起 的附加应力的分布是向下、向 四周无限扩散开的。 16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
Wx = BL2/6 ，(m3)
Wy = LB2/6
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整理后得
pm a x,m in
F G BL
(1
6ex L
6ey ) B
条基：在长度方向取1米即可。 三、水平荷载作用 矩形： ph=Ph/BL
条基： ph=Ph/BL
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四、基底附加应力(p0)
基底处的地基由于建筑物建造后而增加的应力。只有基底 附加应力才能引起地基的附加应力和变形。
xy yz
xy yy
xz yz
zx zy zz
2、二维（空间）应力状态
xy 0 xz
ij
0
yy
0
zx 0 zz
3、侧限应力状态
xy 0 0
ij
0
yy
0
0 0 zz
二、土力学中应力符号规定
压为正，拉为负，剪应力以
逆时2针021/为2/2正。
地面
2、硬土层覆盖于软土层上 荷载中轴线附近，附加应力减小， “应力扩散”。
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应力扩散随上层厚度的增加而更加显著，它还与双层地基的 变形模量E、泊松比有关，即随下列参数f的增加而显著：
f
E1 E2
1 1
3 2
12
式中 E1，1——上层的变形模量和泊松比；
E2，2——软弱下卧层的变形模量和泊松比。
~ 坐标改换成p~ q坐标。
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土中应力采用总应力表示时：
p=1/2*(1+ 3) , q= 1/2*(1- 3) 土中应力采用有效应力表示时(u为孔隙水压力)：
p/=p-u
q/=q
二、几种典型的加载应力路径
（一）、没有孔隙水压力的情况
初始： 1 =0 ，3=C 排水固结u=0 ,/= p=C
1 2
( 1
0)
1 2
1
q
1 2
( 1
3)
1 2
( 3
0)
1 2
1
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o C
1p
图3-60a 总应力路径 29
3、增加 1相应减少3 (图3-60路径3) 当试件上1的增加等于3的减少，即 3 1 时，
p
1 2
( 1
3 )
1 2
[
1
( 1 )]
0
q
1 2
( 1
3)
1 2
[ 1
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
（二）、水平集中力作用—西罗克课题 西罗克弹性理论解
z
3Ph
2
xz 2 R5
二、矩形面积上各种分布荷载作用
下的附加应力计算
（一）、矩形面积竖直均布荷载
1. 角点下应力
集中荷载 dP=dxdyp0, M点处d z为
d 2z02312d/2P/2
z3 R5
3
pdxdy 2
(
x
2
z3 y2
z2 )5/2
18
z
d z
3p
2
L 0
B 0
(x2
1 y2
z2 )5/2
dxdy
p[
LBz(L2 B2 2z2 )
arctan
LB
]
2 (L2 z2 )(B2 z2 ) L2 B2 z2
n
sz 1H1 2H2 i Hi i 1
地下水位以下应采用浮容重
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H2
sy
sz sx
3
若岩体视为各向同性的弹性体，x =y = 0， sx = sy 由广义虎克定律
x=1/E[x -（ y + z ）]=0
y=1/E[y - （ x + z ）]=0
由此得：
x = y = /（1- ） z = /（1- ）H
p0=p- sz
其中 为0~1的系数（《地基及基础》华南理工大学等编，中国
建筑202工1/2业/2 出版社，45~）
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第四节 地基中的附加应力计算
地基附加应力：
指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
计算方法假设：
1、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力学 解答
2、将基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响
柔性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面
2021/的2/2荷载分布形式相一致。
6
2. 弹性地基上的绝对刚性基础(EI=) 弹性解: 基础两端应力为无穷大 实际情况: 马鞍形 (图3-36)
刚性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面
2021/2/2
的荷载分布形式不相一致。
7
3. 弹塑性地基上的有限刚性的基础(0<EI<) 实际情况: 马鞍形
（3-5）
所以，侧压力系数K0= /（1- ）
K0和与土的种类、密度有关，可由试验确定，或查表4-2
二、土坝的自重应力
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4
第三节 基底压力
（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基上在地基与 基础的接触面上产生的压力（地基作用于 基础底面的反力） （2）接触压力的大小影响因素
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1、增加周围压力3 (图3-60a路径1) 初始点：p C
q0
增加 3后， 1 2 3
所以有
p
1 2
( 1
3)
1 2
(
3
3)
3
q
1 2
( 1
3)
1 2
(
3
3)
0
q
2、增加偏应力（ 1- 3 ） (路径2)
3
此时， 3 0 (1 3) 1
2
p
1 2
( 1
3 )
地基土和基础的刚度大小 荷载大小 基础埋深 地基土的性质
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一、基底压力的分布规律
（一）基础的刚基度的底影响压力的分布规律
1. 弹性地基上的完全柔性基 础(EI=0)
土坝(堤)、路基、油罐等 薄板基础、机场跑道。
可认为土坝底部的接触压 力 分布与土坝的外形轮廓 相同, 其大小等于各点以 上的土柱重量。(图3-35)