循环冗余校验码(CRC)的基本原理

循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。

校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念

1、多项式与二进制数码

多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。

如生成多项式为G(x)=X^4+X^3+X+1，可转换为二进制数码11011。

而发送信息位1111，可转换为数据多项式为C(x)=X^3+X^2+X+1。

2、生成多项式

是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，

这个数始终保持不变。

在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：

a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2

除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时，应该使余数不同。

d、对余数继续做模2除，应使余数循环。

将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

N K 码距d G(x)多项式G(x)

7 4 3 x3+x+1 1011

7 4 3 x3+x2+1 1101

7 3 4 x4+x3+x2+1 11101

7 3 4 x4+x2+x+1 10111

15 11 3 x4+x+1 10011

15 7 5 x8+x7+x6+x4+1 111010001

31 26 3 x5+x2+1 100101

31 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 111011010

01

63 57 3 x6+x+1 1000011

63 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1 10100001101

01

1041 1024 x16+x15+x2+1 1100000000000

0101

图9 常用的生成多项式

3、模2除（按位除）

模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。

步骤如下：

a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余

数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。

c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

【例】1111000除以1101：

1011———商

————

1111000-----被除数

1101————除数

————

010000

1101

————

01010

1101

————

111————余数

CRC码的生成步骤

1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。

2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R

3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。

4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。

【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，

求编码后的报文。

解：

1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。

2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变

成1010000

3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

1001-------商

------------------------

1010000

1011----------除数

------------

1000

1011

------------

011-------余数（校验位）

5、编码后的报文（CRC码）：

1010000

+ 011

------------------

1010011

CRC的和纠错

在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

收到的CRC码字余数出错位

码

位A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1

正确 1 0 1 0 0 1 1

000 无

错误 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1

001010100011110111101 1234567

图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除，第二次余数为010，以后依次为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。

通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和

CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。

一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。