第四章有限差分方法离散方程

2 x x
对流项
扩散项
为了便于讨论，将上述两项的影响分开来讨论 t n n 1 j 2 ( j 1 n1 2 n ) n 1 j j j 扩散项： x
由图可见，1)由于εj+1n>0, εjn<0, εj-1n>0,则 4εj+1n>0；由于εjn<0，所以，|εj+1n|<|εjn|
傅里叶级数
概念：法国数学家傅里叶发现，任何周期函 数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷 级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为 基函数是因为它们是正交的），后世称为傅 里叶级数，是一种特殊的三角级数。公式如 下： ik j x 其中kj:波数 f ( x) f (k j )e k j λ=2π/ kj i j x 相角φ= kjΔj f ( x) f ( j )e j ωj：周期
用Von Neumann法对扩散方程 （FTCS）格式进行稳定分析
2 扩散方程为： 2
用FTCS离散扩散方程
j
n1
j
n
t 2 d 设 x ，上式可整理为
t


n1 j 1

x
n j 1
n1 j 1 2
2j
n1
j
n 1
j d (
j
n 1
j
n
t
j
n 1



n j 1

x

n 1 j 1 2
n j 1 2
2j
n
若以Taylor级数展开扩散方得：
j
n
t x 2 4 1 2 2 ( 2 ) ( 2 )t ( 4 )x t x 12 x 2 t
若|εj+1n|<|εjn|，则εj+1n会形成振幅不断增大的 振动型过冲，有可能不稳定，属于动态不稳定， 可用减小Δt的办法来消除。
对流项：
n 1 j
1 t n n [ (u j 1 u j 1 )] 2 x
n j
假定对流速度u＞0，扰动是一个振荡型的。 |εjn|，则对j节点有
2 差分的基本形式及精度
用差商代替微分方程中的导数。 以空间导数 为例，微分中心 为（n,j） n n n j 1 j 向前差分 ( ) j x
j n 向后差分 ( )j x
n n j 1
n 中心差分 ( )j

n 1 j 1
2 j
n 1
类似于导数的差分形式的截断误差，扩散方 程的差分形式的截断误差为o(Δt,Δx2)。 如果 Δx，Δt →0时，截断误差o(Δt, Δx2)→0，则 称差分方程与原微分方程是相的。 当Δx，Δt 以任何形式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称无条件相容。 当Δx，Δt 以某种方式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称有条件相容。
nБайду номын сангаас
t


n j 1

x
n j 1 2
2j
n
式直接计算n+1时刻的Γ值。
隐式格式
以时间步差——空间在（n+1）层中心 差时对扩散方程离散。
j
n1
j
n
t


n1 j 1

x
n1 j 1 2
2j
n1
未知函数不可能通过上式由已知值直接 求解，它必须求解线性方程组才能求出。 此为隐式格式。
n ij
消去 e
ij
得
n

n 1
1 i i [1 c(e e ) d n (ei e i 2)] 2 n [1 ci sin 2d (cos 1)] e i e i Euler公式(cos ) 2
n1 幅度因子 G n 1 2d (cos 1) ic sin 实部 虚部
用Von Neumann法对对流扩散方程 的（FTCS）格式进行稳定分析
2 对流扩散方程： u t x 2
用FTCS离散
j j t
n
n 1
n
u

n j 1
n j 1
2x

2j
n j 1
x
n j 1 2
n

n 1 j
n j 1

n j 1
2x
上述几种差分形式可通过Taylor级 数展开的方法，得到前差分和后差分具
有一阶精度; 中心差分具有二阶精度。
3 显式差分与隐式差分
显式格式 扩散方程
j
n 1
2 以时间步差——空间中心差对上式离散
2
j
n 1
n
t 则 j j ( jn1 jn1 2 jn ) 2 x 因为nΔt时刻的Γ值为已知，可用上

1 t j u ( jn1 jn1 ) 2 x t ( jn1 jn1 2 jn ) x 2
用Von Neumann进行稳定分析

n 1 ij
e
1 e c( n ei ( j 1) n ei ( j 1) ) 2 n i ( j 1) n i ( j 1) n ij d ( e e ) 2 e )

n 1 j
1 t (u n1 u n1 ) 0 j j 2 x
即 Δεj+1n 与εjn ， |εj+1n|<|εjn|。 从而扰动随时间不断的单调增大。结果是不 稳定的。称为静态不稳定。
它不能依靠改变参数来消除，只有改 变差分差分格式才能避免。 在实际计算中，这种初始误差的产 生和分布常常是随机的，若处理不当， 会造成计算不稳定。 如果方程中对流项与扩散项同时 存在时，两者的相互牵制对时间步长 的限制条件，取决于对流项与扩散项 的相对重要程度。
n
n j 1

2 )
n j
方程的解用傅里叶分量可写成 其中： kx为波数；λ为波长，λ=2π/ kjx ，当 λ → ∞， kx→ 0.所以kx = 0 代表直线；定义相 n 角θ= kxΔx , 是波数为kx的分量在时刻n的 幅度函数。 n n ij
j e
n
n ik x jx
有限差分方法离散方程 及性能分析
主讲：董玉萍
1 基本概念
在实际问题中，我们所关心的是因 变量在空间若干特定位置的数值。 将因变量在给定点的数值直接作为 未知数系数，并求解这些数值，作为满 足实际需要的解。
离散方法比较
项目
试函数 程序难易程度 程序灵活性 精确性 计算效率 适宜的方程 主要优点 主要缺点
G
2
为了研究G（θ）取得权值的条件，将 2 G 对 cos 求二阶导数，得 2 2 d G 2 2 8d 2 c 2 d (cos ) 2 由数学分析可知，当
G
2
d2 G
d (cos )
2
0 时，
取得极小值。
在边界上 2 当 cos 1时， 1， 1 G G
1 当 cos -1时， 1 - 4d）, 只有当d 时， G （ 2
e [1 2d ( 1)] 2 n [1 2d (cos 1)] e cos 利用Euler公式： e
i
e 2
i
定义
G n
n 1
，G为幅度因子
由上式可得
G n 1 2d (1 cos )
n 1
可见，G=G（θ），由于不同的θ值代 表不同的分量，所以幅度因子对于不同的傅 里叶分量有不同的值。根据Von Neumann法 的定义，要使方程的解保持有界，对于所有 的θ值都应该有 ︳G ︳≦1 相当于
为了理解稳定性的概念，下面介绍两种类型 的不稳定。 2 u 对流扩散方程 t x 2
用FTCS离散 j
n1
j
n
t
u

n j 1
n j 1
2x
n

2j x
n1 j 1
n1 j 1 2
n1
在n时刻方程有一个稳定解 j ，由于某种原因 n 存在一个扰动，由该扰动带来解的误差 j , 假定其为线性叠加 即 n n n 待人上式
1 1 2d (1 cos ) 1
因为 cos 定义域在（-1,1）要使定义域 在上式成立，只有 d ≦1/2，-1 ≦1-4d d ≦1/2即为保持差分方程计算稳定的条件。 t 因为 x 2 d ，较稳定条件也可写成
1 x 2 t 2
不存在δ﹤0的情况。
4 有限差分格式的 相容性、收敛性及稳定性
有限差分格式的相容性
概念：从偏微分方程建立差分方程时，总 是要求τ→0，h →0时差分方程与微分方 程充分接近。 作用：研究差分方程与微分方程的关系。 分类：有条件相容和无条件相容
以扩散方程为例：
2 2
当时间步差——空间中心差得差分方程为
有限差分格式的收敛性 概念：指差分方程的解，当Δx，Δt →0时是 否逼近原始微分方程的真解。 作用：研究差分方程的解是否逼近真解的 问题。
有限差分格式的稳定性
概念：指差分方程在求解的过程中， 差分方程的解能否保持一致有界。 作用：差分方程的稳定性是其收敛性的 充分必要条件，它具有实用价值。
分类：点稳定和步稳定。
j e
将解的傅里叶分量带人差分方程
e n ij n i ( j 1) n i ( j 1) n ij e d ( e e 2 e )
消去
n 1 ij
e 得，
ij

n1
d ( e
n n n
i i
e
i i
2)
即Δεj+1n趋向于校正负的扰动εjn，同理可分析 出Δεj+1n+1<0，即Δεj+1n+1正好校正正的扰动 εj+1n 。εj+1n的幅度小于εjn ，扰动会趋向于消 失，所以扩散过程有利于计算的稳定。
2) j+1n与Δt有关，与Δt成正比，若Δt很大，随
着Δt增大，Δ |εj+1n|增大；
ε
2 n j 1 n n
n 1 j
n
n j
n
将方程变形可得

n 1 j

n j
t
1 u u 2 x
n j 1


n j 1

n j 1 2
2
n j
x
其显式解： u n1 u n1 n1 n1 2 n 1 j j j j j n 1 n j j [ ( )t ] 2
有限差分法
局部近似 很好 好 差 好 各类型 经济、程序简单 较难推广到高阶
有限元法
局部近似 好 很好 好 好 椭圆型 灵活性好 不经济
普方法
总体近似 差 差 很好 很好 椭圆型 精度高 不灵活
有限差分的概念
在采用数值计算方法求解偏微分方程时， 若将每一处导数由有限差分近似公式替代， 从而把求解偏微分方程的问题转换成求解 代数方程的问题，即所谓的有限差分法。 有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： （1）区域离散化 （2）近似替代 （3）逼近求解
可见G是一个复变量。当c →0时，即对 流扩散方程化成纯扩散方程，这个幅度因子 即转化成实幅度因子，与前述讨论的结果一致。 稳定条件可以从模︳G ︳来讨论
G
2
[1 2d (cos 1)] c sin
2 2 2
是 cos 的函数，当 cos （-1,1）内 2 变化时， G 的变化状态，进一步判别差分 的稳定性和稳定条件
2 2
才能保证G 1
2
如果在边界上满足稳定条件，则整个计算 过程都是稳定的。 c d 8d 2 2c 2 0 2
t 1 t 2 u x 2 x
→
ux

2
d
c
若定义雷诺数为 Re
j j j
( n1 ) ( j n ) ( n1 ) ( j 1 n1 ) 则有 j j j j u t 2x ( n1 ) ( j 1 n1 ) 2( j n ) j j j x
n j 1