圣维南方程组求解

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圣维南方程组的求解

发布时间：2012年06月23日

分类：水动力学

自从Stoker（1953）首次尝试将完整的Saint-Venant方程组用于Ohio河流的洪水计算以来，出现了大量的针对完整的Saint-Venant方程组的数学模型（动力波模型）。求解圣维南方程组的数值方法很多，按离散的基本原理可分为特征线法、有限差分法、有限元法、有限体积法和有限分析法等。

有限差分法

显式方法的先驱是Stoker（1953），其后有Liggett和Woolhiser（1967），Martin和DeFazio(l969)及Strelkoff（1970）等人，Dronkers（1969），Balloffet（1969）及Johnson （1974）将显式方法用于分析河口的潮汐运动，Garrison等(1969)，Johnson(1974)将显式方法用于模拟河道及水库的洪水，Liggett和Cunge(l975)给出了数种显式差分格式的表达式及分析结果。对于每一计算时刻，关于计算断面的未知量，显式方法可直接从代数方程组中得出结果。

隐式方法的提出是出于显式方法由于计算的稳定性要求而存在时间步长限制的考虑。隐式方法首先是由Isaacson等(1953)建议的，其后在六、七十年代很多学者在隐式方法进行了大量的研究工作。隐式方法则要求解代数方程组。代数方程组又分为线性和非线性两种，前者既可用直接法又可用迭代法求解，而后者要用迭代法求解。在迭代法中，Newton-Raphson方法以其收敛速度快的特点而较为普遍地用于求解非线性代数方程组中，该方法首先由Amein和Fang(1970)应用于Saint-Venant方程组的数值解中，其后，国内外都有将这一方法用于河网水力数值模拟中。

直接法是用差商代替导数，将微分方程化为代数方程组，再求出区域网点上的解；而特征线法是首先将质量和动量方程进行等价变换，化为由四个常徽分方程构成的方程组，再用有限差分近似来求解。特征线法既可以是矩形网格，也可以是曲线网格，见Abbott(1966)；既有显式格式，如Liggett和Woolhiser(1967)，也有隐式格式，如Amein（1966）。

对于各种隐式差分格式的数值稳定性和精度问题，Cunge(1966)，Abbott和Ionescu(1967)、，Dronkers（l969），Gunaratnam和Perkins(1970)，Fread（1974），Liggett 和Cunge(1975)以及Ponce和Simons（1977）都进行过研究。从线性化稳定性分析的角度，各种隐式差分格式都是无条件线性稳定的，即线性化的Saint-Venant方程组的隐式差分格式稳定性是与时间步长和空间步长无关的。然而Chaudhry和Contractor（1973），Fread(1974)以及Cunge(l975)发现，对于瞬间变化迅速的水流的模拟，若时间步长太大，则会出现数值不稳定；对于由截面在纵向及垂向变化迅速而引起的非线性，也会出现数值不稳定。同时时间步长还受精度、波形、Courant条件、空间步长及隐式差分格式类型的限制。

对Saint-Venant方程组的隐式差分格式，其线性方程组的求解技术是极为重要的。较为有效的是Fread(1971)的关于五对角元的压缩存贮消元法方法及Liggett和Cunge(1975)的双追赶方法。这两种方法在目前的河网水力数值模拟中使用较为普遍。然而，这两种方法均存在着绝对值较小的数作除数而引起计算中断或数值不稳定的隐患。

在众多离散格式中，Preissmann(1961)加权四点隐式格式是使用较为普遍的一种，该格式具有适用于非均匀空间步长、计算的稳定性和收敛性易于更改及处理边界条件较为简单的优点。另外还有六点格式风，但六点格式存在等空间变长网格的限制，且处理边界条件时要比四点格式复杂得多，因此使用并不普遍。

有限元法

对完整Saint-Venant方程组的求解方法还有有限元法，如Cooley和Moin(1976)，Gray 等（l977）。

有限元法借鉴于固体力学，在六十年代用于流体力学中，其理论基础是极值原理和剖分插值，根据有限差分中离散处理思想，同时采用了变分计算中选择逼近函数及对任意形状（三角形或四边形）的许多微小单元进行积分处理的合理方法，因而具有很强的适应性，特别适合于几何、物理条件比较复杂的问题。常见的有限元计算方法有直接法、变分法、加权余量法及能量平衡法等。有限元法适应性强，计算精度较高，但存在计算格式复杂、计算量较大，大型系数矩阵求解困难等缺点，而且在误差估计、收敛性和稳定性等方面的理论研究与有限差分法相比还显得不够成熟和完善。

Akabi和Katopodes（1988）使用有限元法模拟了洪水波在干河床上的演进；李大鸣对Galerkin有限元质量集中法进行了改进，提出了质量加权集中法，用于河道二维洪水演进；以后，韦直林对这种方法进行了改进，对时间项采用“预报-校正一迭代”的格式，在黄河的水库泥沙计算中也取得了较满意的结果。

有限元法通常用于二维非恒定流模型，对一维模型并不比四点非线性隐式格式更有益。并且有限元的数学基础要比有限差分的数学基础难度大。

特征线法

特征线法最初起自Massau对浅水方程图解积分，在x一t平面上绘制特征线，在其交点上确定因变量来依次求解。特征线法将时间离散和空间离散一起处理，其优点是能反映问题中信息沿特征传播，算法符合水流运动的物理机理，稳定性好，计算精度高，较适于双曲型和抛物型问题，对于求解周期短、变化急剧的问题效果较好。但是，由于特征线往往不在所需位置上相交，通常要在需要的位置上采用差值技术，给数值计算带来不少困难。为了避免特征线的这些缺点，哈曲(Hartree)发展了特征有限差分法，该方法是通过指定计算时段，反求相交于指定时段的特

征线，来控制计算点的分布。但特征线法求解格式复杂，尤其对高维问题更为繁琐，因此，目前很少用于数值计算，多作为了解其他数值方法的基础。

有限体积法

有限体积法又称有限控制容积积分法，其基本思路是把计算区域离散为若干点，以这些点为中心，把整个计算区域划分为若干互相连接但不重叠的控制体。在有限体积法计算中，将基本方程对每一控制体积分，得到一组以计算节点上的物理量为未知数的代数方程组，同时方程组离散沿坐标方向进行，形成的离散网格和离散方程与有限差分法相似。由于采用守恒型的微分方程并对每一计算单元进行质量和动量守恒形式的离散，使得微分方程包含的守恒性质在每一个控制容积上都得到满足，保持各单元界面两侧相邻控制体的计算输运通量相等，整个计算域上也能保持守恒性。有限体积法兼有有限差分法物理概念清晰和有限元法适应不规则网格、复杂边界情况及计算精度高的特点，因此在数值模拟中有着很大的发展潜力。

王船海等将流域水流概化为调蓄单元的零维模型、河道水流的一维模型、行洪区水流的二维模型，采用直角坐标系下非均匀网格的控制体积法进行流域的洪水模拟;谭维炎等1996年用有限体积法进行长江中下游洞庭湖防洪系统的水流模拟;胡四一1995年提出一种有限体积高性能格式，在无结构三角形或四边形单元中引入逆风概念，从而进行跨单元界面法向数值通量的逆风分解，进行二维浅水流动的模拟。

有限分析法

有限分析法是在有限元法的基础上的一种改进，是由20世纪70年代美籍华人陈景仁提出来的，该方法是在局部单元上线性化微分方程和插值近似边界的条件下，在局部单元上求微分方程的解析解，而构成整体的线性代数方程组。有限分析法将解析法与数值法相结合，是计算流体力学的一个进步。其优点是计算精度较高，并具有自动迎风特性，计算稳定性好，收敛较快，但单元系数中含有较复杂的无穷级数，给实际计算和理论分析都带来了一些困难。近年来，李炜等