高三数学精准培优专题练习15：平行垂直关系的证明

培优点十五 平行垂直关系的证明

1．平行关系的证明

例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．

求证：

（1）EG ∥平面11BB D D ；

（2）平面BDF ∥平面11B D H ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，

因为1112

OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥，因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．

（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥

，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．

2．垂直关系的证明

例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．

=AB BC ，=2AC ，1AA ．

（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；

（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；

（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1

BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12

．【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM

．

在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，

又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．

（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，

又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．

∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM

．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △

中，

11tan tan AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝，

即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11

A M AC ⊥∵1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．

（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112

BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C

证明如下：

设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，

∴1DM CC ∥，且112

DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，

∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ，

∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．

一、单选题

1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -

中：对点增分集训

对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，

满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，

但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项．

2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α

⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ

∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α

∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α

⊥【答案】D

【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行，

∴该选项错误；

对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；

对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；

对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．

3．给出下列四种说法：

①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥；