全国各地高考理科数学压轴题汇总

20XX年全国各地高考数学压轴题汇总

23【2013上海理科】．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

给定常数c＞0，定义函数f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|.数列a1，a2，a2，…满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.

(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；

(2)求证：对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c；

(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

23．

解：(1)a2＝2，a3＝c＋10.

(2)f(x)＝

8,,

338,4,

8, 4.

x c x c

x c c x c

x c x c

++≥-

⎧

⎪

++--≤<-⎨

⎪---<--

⎩

当a n≥－c时，a n＋1－a n＝c＋8＞c；

当－c－4≤a n＜－c时，a n＋1－a n＝2a n＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c；

当a n＜－c－4时，a n＋1－a n＝－2a n－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.

所以，对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c.

(3)由(2)，结合c＞0，得a n＋1＞a n，即{a n}为无穷递增数列．

又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥－c，

从而，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8.

由于{a n}为等差数列，因此其公差d＝c＋8.

①若a1＜－c－4，则a2＝f(a1)＝－a1－c－8，

又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，从而a2＝0. 当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0＞－c，

所以，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，而a2＝a1＋c＋8，

故当a1＝－c－8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；

②若－c－4≤a1＜－c，则a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8，

又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，

所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8，得a1＝－c，舍去；

③若a1≥－c，则由a n≥a1得到a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，

从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．

综上，a1的取值集合为[－c，＋∞)∪{－c－8}．

【2013新课标2】

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=e x-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

【解析】考查导数求单调性、最值、构建函数与不等式综合应用。

【2013新课标1理科】

21.（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2

x ax b ++，()g x ＝()x

e cx d +，若曲线

()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

21．【解析】（Ⅰ）由已知得

(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而

()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），

()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，

有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2， （1）若21k

e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()

F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =2

1112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k

e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，

∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k

e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，

∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2

e ].

【2013湖南理科】

22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝

2x a

x a

-+.

(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；

(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x

x a

-+；

当x ＞a 时，f (x )＝

2x a

x a

-+.